正準量子化

物理学において、正準量子化とは、古典理論を量子化する手順であり、その際に、対称性などの古典理論の形式的な構造を可能な限り維持しようとするものである。

歴史的に見ると、これはヴェルナー・ハイゼンベルクが量子力学を得るための道筋とは少し異なりますが、ポール・ディラックは1926年の博士論文で量子化のための「古典的類推法」^{[ 1 ]}を導入し、彼の古典的なテキスト『量子力学の原理』^{[ 2 ]}で詳細に説明しています。「正準」という言葉は、システムのダイナミクスが正準ポアソン括弧によって生成される古典力学のハミルトニアンアプローチに由来しており、この構造は正準量子化では部分的にしか保持されません。

この方法は、ポール・ディラックによって量子場理論の文脈で、量子電磁力学の構築においてさらに活用された。場理論の文脈では、これは単一粒子の半古典的な第一量子化とは対照的に、場の第二量子化とも呼ばれる。

歴史

量子物理学が最初に開発されたとき、それは粒子の運動の量子化のみを扱い、電磁場は古典的であったため、量子力学という名前が付けられました。^[³^]

その後、電磁場も量子化され、粒子自体も量子化された場によって表現されるようになり、その結果、量子電磁力学（QED）や量子場理論全般が発展しました。^{[ 4 ]}したがって、慣例として、粒子量子力学の元の形式は第一量子化と呼ばれ、量子場理論は第二量子化の言語で定式化されます。

最初の量子化

単粒子系

以下の説明は、ディラックの量子力学に関する論文に基づいています。^{[ 2 ]}粒子の古典力学では、座標 ( $x$ ) と運動量 ( $p$ ) と呼ばれる動的変数があります。これらは古典系の状態を指定します。古典力学の正準構造(シンプレクティック構造とも呼ばれる)は、 ${$ $x$ $,$ $p$ $}$ $= 1$ のように、これらの変数を囲むポアソン括弧で構成されています。これらの括弧を保存する変数のすべての変換は、古典力学の正準変換として許容されます。運動自体もそのような正準変換です。

対照的に、量子力学では、粒子のすべての重要な特徴は状態に含まれている。 $|\psi \rangle$ 量子状態と呼ばれる。観測量は、このような量子状態のヒルベルト空間に作用する演算子によって表される。

演算子の固有値とその固有状態の一つは、そのように表現された粒子に対する測定値を表す。例えば、エネルギーはハミルトニアン演算子によって読み取られる。 ${\hat {H}}$ 状態に基づいて行動する $|\psi _{n}\rangle$ 結果として ${\hat {H}}|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle ,$ ここで、 $E n$ はこれに関連付けられた特性エネルギーである。 $|\psi _{n}\rangle$ 固有状態。

任意の状態は、エネルギーの固有状態の線形結合として表すことができる。例えば、 $|\psi \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}|\psi _{n}\rangle ,$ ここで、 $a n$ は定数係数である。

古典力学と同様に、すべての力学的演算子は位置と運動量の関数で表すことができ、 ${\hat {X}}$ そして ${\hat {P}}$ それぞれ。この表現とより一般的な波動関数表現との関連性は、位置演算子の固有状態によって与えられる。 ${\hat {X}}$ 位置にある粒子を表す $x$ 要素によって示される $|x\rangle$ ヒルベルト空間において、以下を満たす ${\hat {X}}|x\rangle =x|x\rangle$ 。それから、 $\psi (x)=\langle x|\psi \rangle$ 。

同様に、固有状態 $|p\rangle$ 運動量演算子の ${\hat {P}}$ 運動量表現を指定してください。 $\psi (p)=\langle p|\psi \rangle$ 。

これらの演算子間の中心的な関係は、古典力学の上記のポアソン括弧の量子版である正準交換関係である。 $[{\hat {X}},{\hat {P}}]={\hat {X}}{\hat {P}}-{\hat {P}}{\hat {X}}=i\hbar .$

$この関係は、 Δ$ $x$ $Δ$ $p$ $\geq$ $ħ$ $/2$ という形で不確定性原理を符号化し（そして形式的に導き出す）。したがって、この代数構造は、古典力学の正準構造の量子版と考えることができる。

多粒子系

多粒子系、すなわちN個の同一粒子（質量、電荷、スピンなどの量子数が同じ粒子）を含む系を扱う場合、単粒子状態関数を拡張する必要がある。 $\psi (\mathbf {r} )$ N粒子状態関数へ $\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})$ 古典力学と量子力学の根本的な違いは、同一粒子の区別不可能性という概念にある。したがって、量子物理学では、いわゆるボソンとフェルミオンという2種類の粒子しか存在できず、それぞれの粒子は以下の規則に従う。

ボソンの場合： $\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=+\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N}),$
フェルミオンの場合： $\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=-\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N}),$

ここで2つの座標を入れ替えた $(\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})$ 状態関数について。通常の波動関数は、スレーター行列式と同一粒子理論を用いて得られる。この基底を用いることで、様々な多粒子問題を解くことが可能となる。

問題点と制約事項

古典的括弧と量子的括弧

ディラックの著書^{[ 2 ]}では、ポアソン括弧を交換子に置き換えるという彼の有名な規則が詳しく説明されている。

$\{A,B\}\longmapsto {\tfrac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]~.$

この提案は、「量子化マップ」を追求すべきだと解釈できるかもしれない。 $Q$ 関数のマッピング $f$ 古典位相空間上の演算子 $Q_{f}$ 量子ヒルベルト空間上で、 $Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]$ 現在では、上記の恒等式を全ての関数に対して厳密に満たすような妥当な量子化写像は存在しないことが分かっている。 $f$ そして $g$ 。

グローネウォルドの定理

上記の不可能性主張の具体的な例の一つは、グローネウォルドの定理（オランダの理論物理学者ヒルブランド・J・グローネウォルドにちなんで名付けられた）であり、ここでは簡略化のため、自由度1のシステムについて説明する。写像に関して、以下の「基本ルール」を受け入れることにしよう。 $Q$ 。初め、 $Q$ 定数関数1を恒等演算子に送るべきである。第二に、 $Q$ 取るべき $x$ そして $p$ 通常の位置演算子と運動量演算子へ $X$ そして $P$ 。三番目、 $Q$ 多項式を取るべきである $x$ そして $p$ 多項式に $X$ そして $P$ すなわち、積の有限線形結合 $X$ そして $P$ これは任意の順序で取得できます。最も単純な形で言えば、グローネウォルドの定理は、上記の基本ルールと括弧条件の両方を満たす写像は存在しないと述べています。 $Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]$ すべての多項式について $f$ そして $g$ 。

実際、このような写像が存在しないことは、4次多項式に到達する時点で既に生じています。4次多項式2つのポアソン括弧の次数は6であるため、4次多項式上の写像が括弧条件を満たすことを要求するのは厳密には意味がありません。ただし、括弧条件が成り立つことを要求できます。 $f$ そして $g$ 次数は3である。グローネウォルドの定理^{[ 5 ]}は次のように述べることができる。

定理—量子化マップは存在しない $Q$ （上記の基本ルールに従って）次数が４以下の多項式で、 $Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]$ いつでも $f$ そして $g$ 次数が３以下である。（この場合、 $\{f,g\}$ （次数が４以下である。）

証明の概要は以下のとおりです。^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}まず、括弧条件を満たす次数が3以下の多項式上の量子化写像を見つけようとします。 $f$ 次数が2以下で、 $g$ 次数が2以下である。すると、そのような写像はちょうど1つだけ存在し、それはワイル量子化である。不可能性の結果は、次数4の同じ多項式を次数3の多項式のポアソン括弧として2つの異なる方法で記述することによって得られる。具体的には、次のようになる。 $x^{2}p^{2}={\frac {1}{9}}\{x^{3},p^{3}\}={\frac {1}{3}}\{x^{2}p,xp^{2}\}$ 一方、すでに述べたように、3次多項式に量子化写像が存在する場合、それはワイル量子化でなければなりません。つまり、上記のすべての3次多項式の唯一可能な量子化をすでに決定しています。

総当たり計算によって議論は終了する。 ${\frac {1}{9}}[Q(x^{3}),Q(p^{3})]$ 一致しない ${\frac {1}{3}}[Q(x^{2}p),Q(xp^{2})].$ したがって、値に関して2つの矛盾する要件があります。 $Q(x^{2}p^{2})$ 。

量子化の公理

$Q が古典位相空間の関数$ $f$ に作用する量子化マップを表す場合、通常、次の特性が望ましいと考えられています。^{[ 8 ]}

$Q_{x}\psi =x\psi$ そして $Q_{p}\psi =-i\hbar \partial _{x}\psi ~~$ （基本的な位置／運動量演算子）
$f\longmapsto Q_{f}~~$ 線形マップ
$[Q_{f},Q_{g}]=i\hbar Q_{\{f,g\}}~~$ （ポアソン括弧）
$Q_{g\circ f}=g(Q_{f})~~$ （フォン・ノイマン則）

However, not only are these four properties mutually inconsistent, any three of them are also inconsistent!^[9] As it turns out, the only pairs of these properties that lead to self-consistent, nontrivial solutions are 2 & 3, and possibly 1 & 3 or 1 & 4. Accepting properties 1 & 2, along with a weaker condition that 3 be true only asymptotically in the limit $ħ \to0$ (see Moyal bracket), leads to deformation quantization, and some extraneous information must be provided, as in the standard theories utilized in most of physics. Accepting properties 1 & 2 & 3 but restricting the space of quantizable observables to exclude terms such as the cubic ones in the above example amounts to geometric quantization.

Second quantization: field theory

Quantum mechanics was successful at describing non-relativistic systems with fixed numbers of particles, but a new framework was needed to describe systems in which particles can be created or destroyed, for example, the electromagnetic field, considered as a collection of photons. It was eventually realized that special relativity was inconsistent with single-particle quantum mechanics, so that all particles are now described relativistically by quantum fields.

When the canonical quantization procedure is applied to a field, such as the electromagnetic field, the classical field variables become quantum operators. Thus, the normal modes comprising the amplitude of the field are simple oscillators, each of which is quantized in standard first quantization, above, without ambiguity. The resulting quanta are identified with individual particles or excitations. For example, the quanta of the electromagnetic field are identified with photons. Unlike first quantization, conventional second quantization is completely unambiguous, in effect a functor, since the constituent set of its oscillators are quantized unambiguously.

歴史的に見ると、単一粒子の古典理論を量子化することで波動関数が生まれました。場の古典的な運動方程式は、通常、その場の量子の一つである波動関数の（量子）方程式と形式的に同一です。例えば、クライン・ゴルドン方程式は自由スカラー場の古典的な運動方程式であると同時に、スカラー粒子の波動関数の量子方程式でもあります。このことから、場の量子化は、すでに量子化されている理論をさらに量子化することに似ているように見え、初期の文献では「第二量子化」という奇抜な用語が用いられました。この用語は、現代の解釈は異なりますが、現在でも場の量子化を説明するために使われています。

相対論的場の正準量子化における一つの欠点は、時間依存性を決定するためにハミルトニアンに依存するため、相対論的不変性がもはや明確に示されないことである。したがって、相対論的不変性が失われていないことを確認する必要がある。あるいは、相対論的場の量子化にはファインマン積分法が利用可能であり、これは明らかに不変である。凝縮系物理学などで用いられるような非相対論的場の理論では、ローレンツ不変性は問題にならない。

現場作業員

量子力学的には、場の変数（例えば、ある点における場の振幅）は、ヒルベルト空間上の演算子によって表されます。一般に、すべての観測量はヒルベルト空間上の演算子として構成され、演算子の時間発展はハミルトニアンによって支配されます。ハミルトニアンは正の演算子でなければなりません。 $|0\rangle$ ハミルトニアンによって消滅した状態は真空状態として識別されなければならず、これは他のすべての状態を構築するための基礎となる。相互作用のない（自由）場理論では、真空は通常、粒子がゼロの状態として識別される。相互作用する粒子を含む理論では、真空の識別はより微妙であり、これは真空偏極のためであり、量子場理論における物理的な真空は決して実際には空ではないことを意味する。詳細については、量子力学的真空と量子色力学の真空に関する記事を参照のこと。正準量子化の詳細は、量子化される場と、それが自由場か相互作用場かによって異なる。

実スカラー場

スカラー場理論は、正準量子化手順の良い例を提供する。^{[ 10 ]}古典的には、スカラー場は無限個の振動子の正規モードの集合である。1+1次元の時空を考慮すれば十分である。 $\mathbb {R} \times S_{1},$ in which the spatial direction is compactified to a circle of circumference 2 $π$ , rendering the momenta discrete.

The classical Lagrangian density describes an infinity of coupled harmonic oscillators, labelled by $x$ which is now a label (and not the displacement dynamical variable to be quantized), denoted by the classical field $φ$ , ${\mathcal {L}}(\phi )={\tfrac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}-{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-V(\phi ),$ where $V (φ)$ is a potential term, often taken to be a polynomial or monomial of degree 3 or higher. The action functional is $S(\phi )=\int {\mathcal {L}}(\phi )dxdt=\int L(\phi ,\partial _{t}\phi )dt\,.$ The canonical momentum obtained via the Legendre transformation using the action $L$ is $\pi =\partial _{t}\phi$ , and the classical Hamiltonian is found to be $H(\phi ,\pi )=\int dx\left[{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}+{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+V(\phi )\right].$

Canonical quantization treats the variables $φ$ and $π$ as operators with canonical commutation relations at time $t$ = 0, given by $[\phi (x),\phi (y)]=0,\ \ [\pi (x),\pi (y)]=0,\ \ [\phi (x),\pi (y)]=i\hbar \delta (x-y).$ Operators constructed from $φ$ and $π$ can then formally be defined at other times via the time-evolution generated by the Hamiltonian, ${\mathcal {O}}(t)=e^{itH}{\mathcal {O}}e^{-itH}.$

However, since $φ$ and $π$ no longer commute, this expression is ambiguous at the quantum level. The problem is to construct a representation of the relevant operators ${\mathcal {O}}$ on a Hilbert space ${\mathcal {H}}$ and to construct a positive operator $H$ as a quantum operator on this Hilbert space in such a way that it gives this evolution for the operators ${\mathcal {O}}$ as given by the preceding equation, and to show that ${\mathcal {H}}$ contains a vacuum state $|0\rangle$ on which $H$ has zero eigenvalue. In practice, this construction is a difficult problem for interacting field theories, and has been solved completely only in a few simple cases via the methods of constructive quantum field theory. Many of these issues can be sidestepped using the Feynman integral as described for a particular $V (φ)$ in the article on scalar field theory.

In the case of a free field, with $V (φ) = 0$ , the quantization procedure is relatively straightforward. It is convenient to Fourier transform the fields, so that $\phi _{k}=\int \phi (x)e^{-ikx}dx,\ \ \pi _{k}=\int \pi (x)e^{-ikx}dx.$ The reality of the fields implies that $\phi _{-k}=\phi _{k}^{\dagger },~~~\pi _{-k}=\pi _{k}^{\dagger }.$ The classical Hamiltonian may be expanded in Fourier modes as $H={\frac {1}{2}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\pi _{k}\pi _{k}^{\dagger }+\omega _{k}^{2}\phi _{k}\phi _{k}^{\dagger }\right],$ where $\omega _{k}={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}$ .

このハミルトニアンは、古典的な正規モード振動子励起 $φ k$ の無限和として認識でき、それぞれの励起は標準的な方法で量子化されるため、自由量子ハミルトニアンは同じように見える。φ $k$ は、 $標準的な交換関係$ $[$ $φ$ $k$ $,$ $π$ $k$ $†$ $] = [$ $φ$ $k$ $†$ $,$ $π$ $k$ $] =$ $iħ$ に従う演算子となり、他のすべての演算子は消滅する。これらの振動子の集合的なヒルベルト空間は、これらのモードから構築された生成消滅演算子を使用して構築される。 $a_{k}={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}+i\pi _{k}\right),\ \ a_{k}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}^{\dagger }-i\pi _{k}^{\dagger }\right),$ ただし、すべての $kに対して$ $[a k, a k †] = 1 で$ あり、他のすべての交換子は消滅する。

真空 $|0\rangle$ はすべて $a k$ によって消滅するものとみなされ、 ${\mathcal {H}}$ $無限に広がる生成演算子a k$ ^†の任意の組み合わせをに適用することによって構築されるヒルベルト空間は、 $|0\rangle$ このヒルベルト空間はフォック空間と呼ばれます。各 $kに対して、この構成は$ 量子調和振動子と同一です。量子場は量子振動子の無限配列です。量子ハミルトニアンは次のようになります。 $H=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}a_{k}^{\dagger }a_{k}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}N_{k},$ ここで、 $N k は$ $運動量k$ を持つ状態にある粒子の数を表す数演算子と解釈できます。

このハミルトニアンは、各調和振動子の零点エネルギー $ħω$ $k$ $/2$ を減算することで、前の式と異なっています。これは、上記の指数演算による演算子の時間発展に影響を与えることなく、 $Hが真空を消滅させるという条件を満たします。この$ 零点エネルギーの減算は、量子演算子の順序付けの曖昧さを解消するものと考えることができます。なぜなら、これはハミルトニアンの展開において、すべての生成演算子が消滅演算子の左側に現れることを要求するのと同等だからです。この手順は、ウィック順序付けまたは正規順序付けとして知られています。

その他の分野

他のすべての場は、この手順を一般化することで量子化できます。ベクトル場やテンソル場は単純に成分が多くなり、各独立成分に対して独立した生成演算子と消滅演算子を導入する必要があります。場に内部対称性がある場合は、その対称性に関連する場の各成分に対しても生成演算子と消滅演算子を導入する必要があります。ゲージ対称性がある場合は、等価な構成を重複して数えないように、場の独立成分の数を慎重に分析し、必要に応じてゲージ固定を適用できます。

交換関係は、任意の状態の占有数が無制限であるボソンの量子化にのみ有用であることが判明しました。パウリの排他原理を満たすフェルミオンを量子化するには、反交換子が必要です。これらは ${$ $A$ $,$ $B$ $} =$ $AB$ $+$ $BA$ で定義されます。

フェルミオンを量子化すると、場は生成消滅演算子 $θ k †$ 、 $θ k$ で展開され、これらは次の式を満たす。 $\{\theta _{k},\theta _{l}^{\dagger }\}=\delta _{kl},\ \ \{\theta _{k},\theta _{l}\}=0,\ \ \{\theta _{k}^{\dagger },\theta _{l}^{\dagger }\}=0.$

国家は真空の上に構築されている $|0\rangle$ $θ k$ によって消滅し、フォック空間は生成演算子 $θ k †のすべての積を$ | 0 ⟩に適用することによって構築されます。パウリの排他原理は満たされます。 $(\theta _{k}^{\dagger })^{2}|0\rangle =0$ 反交換関係により。

凝縮物

上記のスカラー場状態の構築では、ポテンシャルが $φ$ = 0 で最小化されていると仮定したため、ハミルトニアンを最小化する真空は $⟨ φ ⟩ = 0$ を満たし、場の真空期待値(VEV) がゼロであることを示しています。自発的対称性の破れを伴う場合、ポテンシャルが $φ$ = $v$ の値で最小化されるため、ゼロでない VEV を持つことができます。これは、たとえば、 $V (φ) = gφ 4 - 2 m 2 φ 2 ($ $g > 0$ および $m 2 > 0)$ の場合に発生し、この場合、最小エネルギーは $v = \pm m / \sqrt g$ $で見つかります。これらの真空の 1 つにおけるv$ の値は、場 $φの$ 凝縮とみなすことができます。すると、シフトされた場 $φ$ $($ $x$ $,$ $t$ $) -$ $v$ に対して正準量子化を行うことができ、シフトされた場を量子化することによって、シフトされた真空に対する粒子の状態が定義される。この構成は、素粒子物理学の標準模型におけるヒッグス機構で利用されている。

数学的量子化

変形量子化

古典理論は、時空の空間的葉層構造を用いて記述され、各スライスの状態はシンプレクティック多様体の要素によって記述され、時間発展はシンプレクティック多様体上のハミルトニアン関数によって生成されるシンプレクトモルフィズムによって与えられる。演算子の量子代数は、シンプレクティック空間上の滑らかな関数の代数の $ħ$ 変形であり、位相空間定式化で表現される交換子 $[$ $A$ $,$ $B$ $]$ の $ħ$ 上のテイラー展開の主項は $iħ$ ${$ $A$ $,$ $B$ $}$ である。（ここで、中括弧はポアソン括弧を表す。副項はすべて、ポアソン括弧の適切な量子変形であるモヤル括弧に符号化されている。）一般に、関係する量（観測量）に対して、そのような括弧の引数を与えると、ħ変形は非常に非一意的である。量子化は「技術」であり、物理的な文脈によって規定される。（2つの異なる量子系は、同じ古典的極限 $ħ$ $\to0$ の、 2つの異なる、非等価な変形を表している可能性がある。）

ここで、この量子代数のユニタリ表現を探します。このようなユニタリ表現に関して、古典理論におけるシンプレクティック同相写像は、（メタプレクティックな）ユニタリ変換に変形します。特に、古典ハミルトニアンによって生成される時間発展シンプレクティック同相写像は、対応する量子ハミルトニアンによって生成されるユニタリ変換に変形します。

さらに一般化すると、古典理論ではシンプレクティック空間の代わりにポアソン多様体を考慮し、対応するポアソン代数またはポアソン超多様体のħ変形を実行することになる。

幾何学的量子化

上述の変形量子化理論とは対照的に、幾何学的量子化は実際のヒルベルト空間とその上の演算子を構築しようとする。シンプレクティック多様体から出発して $M$ まず、適切な線束の二乗可積分な切断の空間からなる前量子ヒルベルト空間を構築する。 $M$ この空間では、すべての古典的な観測量を量子化前のヒルベルト空間上の演算子にマッピングすることができ、交換子はポアソン括弧に正確に対応します。しかし、量子化前のヒルベルト空間は明らかに大きすぎて、 $M$ 。

次に偏光を選択する、つまり（おおよそ） $n$ 変数 $2n$ 次元位相空間。量子ヒルベルト空間は、のみに依存するセクションの空間である。 $n$ 選択された変数とは、他の変数において共変的に一定であるという意味である。 $n$ 方向。選択された変数が実数の場合、伝統的なシュレーディンガー・ヒルベルト空間のようなものが得られます。選択された変数が複素数の場合、セガル・バーグマン空間のようなものが得られます。

参考文献

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↑この解説は主に、 Connes, Alain ; Marcolli, Matilde (2008). Noncommutative Geometry, Quantum Fields, and Motives (PDF) . American Mathematical Society. ISBN の第 1 章に基づいています。 978-0-8218-4210-22009年12月29日にオリジナル（PDF）からアーカイブされました。2010年5月16日に取得。

歴史的参考文献

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一般的な技術参考文献

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量子場理論入門、ME ペスキンおよび HD シュローダー著、ISBN 0-201-50397-2
フランツ・シュヴァーブル著『高度量子力学』、ベルリンほか、シュプリンガー、2009年ISBN 978-3-540-85061-8

外部リンク

量子場理論の学習補助資料このサイトの第1章と第2章のリンクをクリックすると、第2量子化に関する包括的かつ簡略化された入門書をご覧いただけます。第1章の1.5.2節、第2章の2.7節および章の要約をご覧ください。

[1] ディラック、PAM (1925)。「量子力学の基本方程式」。Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences。109 ( 752 ) : 642–653。Bibcode : 1925RSPSA.109..642D。doi : 10.1098 / rspa.1925.0150。

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[10] この解説は主に、 Connes, Alain ; Marcolli, Matilde (2008). Noncommutative Geometry, Quantum Fields, and Motives (PDF) . American Mathematical Society. ISBN の第 1 章に基づいています。 978-0-8218-4210-22009年12月29日にオリジナル（PDF）からアーカイブされました。2010年5月16日に取得。

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歴史