平坦な時空対称性のグループ
アンリ・ポアンカレ ポアンカレ群は 、 アンリ・ポアンカレ （1905） にちなんで名付けられ、 [1] ヘルマン・ミンコフスキー （1908）によって ミンコフスキー時空 の 等長群 として初めて定義されました 。 [2] [3]これは、 物理学 の最も基本的な基礎を理解するためのモデルとして重要な、 10次元の 非可換 リー群 です。
概要 ポアンカレ群は、 イベント 間の 時空間隔を 変えない ミンコフスキー空間 のすべての 座標変換 から構成されます。たとえば、2 つのイベントと、イベントからイベントへ移動するためにたどった経路を含め、すべてが 2 時間延期された場合、携帯しているストップウォッチで記録されるイベント間の時間間隔は同じになります。または、すべてが西に 5 キロメートル移動した場合、または右に 60 度回転した場合も、間隔に変化は見られません。 オブジェクトの
適切な長さも、このようなシフトの影響を受けないことがわかります。
全体として、このような変換には 10の自由度 があります 。これらは、時間または空間を介した変換 (4 度、各次元につき 1 つ)、平面を介した反射 (3 度、この平面の方向の自由度)、または 3 つの空間方向のいずれかへの「 ブースト 」 (3 度) として考えることができます。変換の合成はポアンカレ群の演算であり、 回転は 偶数回の反射の合成として生成されます。
古典物理学 では 、 ガリレイ群は 絶対時間と空間 に作用する同等の 10 パラメータ群です 。ブーストの代わりに、 共動参照フレームを関連付けるための
シアー マッピングを特徴としています。
一般相対性理論 、つまり 重力 の影響下では 、ポアンカレ対称性は局所的にのみ適用されます。一般相対性理論における対称性の扱いは、この記事の範囲外です。
ポアンカレ対称性 ポアンカレ対称性は 特殊相対性理論 の完全な対称性です 。これには以下が含まれます。
最後の 2 つの対称性 J と K は 、一緒に ローレンツ群を構成します ( ローレンツ不変性 も参照 )。時空変換群とローレンツ群の 半直積は、ポアンカレ群を生成します。この群の下で不変なオブジェクトは、 ポアンカレ不変性 または 相対論的不変性 を持つと言われます 。
ポアンカレ対称性に関連する10個の生成子（4つの時空次元内）は、 ノイマンの定理 により、10個の保存則を意味する： [4] [5]
1 エネルギー – 時間の経過に伴う翻訳に関連する 3 運動量 – 空間次元を通じた移動に関連する 3 角運動量 – 空間次元間の回転に関連する 3 質量中心の速度を含む量 - 各空間次元と時間の間の双曲回転に関連する
ポアンカレ群 ポアンカレ群はミンコフスキー時空等長 写像 の群である。これは 10 次元の 非コンパクトな リー群である。 時空 並進 の 4 次元 アーベル群は 正規部分群 であり 、6 次元 ローレンツ群 も部分群であり、原点の 安定化群である。ポアンカレ群自体は、すべての並進と ローレンツ変換を 含む アフィン群 の極小部分群である。より正確には、 時空並進群とローレンツ群の
半直積 である。
R
1
,
3
⋊
O
(
1
,
3
)
,
{\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)\,,}
グループ乗算付き
(
α
,
f
)
⋅
(
β
,
g
)
=
(
α
+
f
⋅
β
,
f
⋅
g
)
{\displaystyle (\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)}
[6 ] 別の言い方をすると、ポアンカレ群は ローレンツ群 のベクトル 表現 による 群拡張 であり、非公式には 非同次ローレンツ群と呼ばれることもあります。また、 ド・ジッター半径が 無限大に近づくにつれて、 ド・ジッター群 SO(4, 1) ~ Sp(2, 2)の 群 縮約としても得 られます。
その正エネルギーのユニタリ既約 表現は、 質量 （非負数）と スピン （ 整数 または半整数）によってインデックス付けされ、 量子力学 の粒子に関連付けられています （ ウィグナーの分類を 参照）。
エルランゲン計画 によれば 、ミンコフスキー空間の幾何学はポアンカレ群によって定義されます。ミンコフスキー空間は 群の
同次空間として考えられます。
場の量子論 では 、ポアンカレ群の普遍被覆
R
1
,
3
⋊
SL
(
2
,
C
)
,
{\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} ),}
二重カバーで識別できる
R
1
,
3
⋊
Spin
(
1
,
3
)
,
{\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {Spin} (1,3),}
の表現はスピン 1/2 の場、つまりフェルミオン を記述できない ため、 がより重要です 。ここでは、 ローレンツ署名スピン群 と同型の、単位行列式を持つ 複素行列の群があります 。
SO
(
1
,
3
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (1,3)}
SL
(
2
,
C
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )}
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
Spin
(
1
,
3
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)}
ポアンカレ代数 ポアンカレ 代数は、ポアンカレ群の リー代数 である 。これは、 ローレンツ群のリー代数の リー代数拡張で ある。より具体的には、ローレンツ部分群（その 恒等成分 ）の固有（ ）、 直交 （ ）部分 は恒等成分 に接続されており、したがって この リー代数の べき乗 によって提供される。成分形式では、ポアンカレ代数は交換関係によって与えられる： [7] [8]
det
Λ
=
1
{\textstyle \det \Lambda =1}
Λ
0
0
≥
1
{\textstyle {\Lambda ^{0}}_{0}\geq 1}
S
O
(
1
,
3
)
+
↑
{\textstyle \mathrm {SO} (1,3)_{+}^{\uparrow }}
exp
(
i
a
μ
P
μ
)
exp
(
i
2
ω
μ
ν
M
μ
ν
)
{\textstyle \exp \left(ia_{\mu }P^{\mu }\right)\exp \left({\frac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right)}
[
P
μ
,
P
ν
]
=
0
1
i
[
M
μ
ν
,
P
ρ
]
=
η
μ
ρ
P
ν
−
η
ν
ρ
P
μ
1
i
[
M
μ
ν
,
M
ρ
σ
]
=
η
μ
ρ
M
ν
σ
−
η
μ
σ
M
ν
ρ
−
η
ν
ρ
M
μ
σ
+
η
ν
σ
M
μ
ρ
,
{\displaystyle {\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },P_{\rho }]&=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]&=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,,\end{aligned}}}
ここで、 は変換の 生成元 、 はローレンツ変換の生成元、はミンコフスキー計量 です （ 符号規則 を参照）。
P
{\displaystyle P}
M
{\displaystyle M}
η
{\displaystyle \eta }
(
+
,
−
,
−
,
−
)
{\displaystyle (+,-,-,-)}
ポアンカレ代数の交換構造の図。図の辺は、生成子と非ゼロの交換子を接続します。 底部の交換関係は、回転、およびブースト、 からなる（「同次」）ローレンツ群である 。この表記法では、ポアンカレ代数全体が非共変（ただしより実用的な）言語で次のように表現できる。
J
i
=
1
2
ϵ
i
m
n
M
m
n
{\textstyle J_{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{imn}M^{mn}}
K
i
=
M
i
0
{\textstyle K_{i}=M_{i0}}
[
J
m
,
P
n
]
=
i
ϵ
m
n
k
P
k
,
[
J
i
,
P
0
]
=
0
,
[
K
i
,
P
k
]
=
i
η
i
k
P
0
,
[
K
i
,
P
0
]
=
−
i
P
i
,
[
J
m
,
J
n
]
=
i
ϵ
m
n
k
J
k
,
[
J
m
,
K
n
]
=
i
ϵ
m
n
k
K
k
,
[
K
m
,
K
n
]
=
−
i
ϵ
m
n
k
J
k
,
{\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{m},P_{n}]&=i\epsilon _{mnk}P_{k}~,\\[][J_{i},P_{0}]&=0~,\\[][K_{i},P_{k}]&=i\eta _{ik}P_{0}~,\\[][K_{i},P_{0}]&=-iP_{i}~,\\[][J_{m},J_{n}]&=i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\\[][J_{m},K_{n}]&=i\epsilon _{mnk}K_{k}~,\\[][K_{m},K_{n}]&=-i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\end{aligned}}}
ここで、2つのブーストの底辺の交換子はしばしば「ウィグナー回転」と呼ばれる。この簡略化により、 ローレンツ部分代数を次のように簡約し、それに関連する 表現 を効率的に扱うことができる 。物理的パラメータに関しては、
[
J
m
+
i
K
m
,
J
n
−
i
K
n
]
=
0
{\textstyle [J_{m}+iK_{m},\,J_{n}-iK_{n}]=0}
s
u
(
2
)
⊕
s
u
(
2
)
{\textstyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}
[
H
,
p
i
]
=
0
[
H
,
L
i
]
=
0
[
H
,
K
i
]
=
i
ℏ
c
p
i
[
p
i
,
p
j
]
=
0
[
p
i
,
L
j
]
=
i
ℏ
ϵ
i
j
k
p
k
[
p
i
,
K
j
]
=
i
ℏ
c
H
δ
i
j
[
L
i
,
L
j
]
=
i
ℏ
ϵ
i
j
k
L
k
[
L
i
,
K
j
]
=
i
ℏ
ϵ
i
j
k
K
k
[
K
i
,
K
j
]
=
−
i
ℏ
ϵ
i
j
k
L
k
{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\mathcal {H}},p_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},L_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},K_{i}\right]&=i\hbar cp_{i}\\\left[p_{i},p_{j}\right]&=0\\\left[p_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}p_{k}\\\left[p_{i},K_{j}\right]&={\frac {i\hbar }{c}}{\mathcal {H}}\delta _{ij}\\\left[L_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\\\left[L_{i},K_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}K_{k}\\\left[K_{i},K_{j}\right]&=-i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\end{aligned}}}
この代数のカシミール不変量は で あり 、 は パウリ・ルバンスキー擬ベクトル です 。これらは群の表現のラベルとして機能します。
P
μ
P
μ
{\textstyle P_{\mu }P^{\mu }}
W
μ
W
μ
{\textstyle W_{\mu }W^{\mu }}
W
μ
{\textstyle W_{\mu }}
ポアンカレ群は、 相対論的場の理論 の完全な対称群である。その結果、すべての 素粒子は この群の表現 に当てはまる 。これらは通常、各粒子の 4 元運動 量の 2 乗（つまり質量の 2 乗）と固有 量子数 によって指定される。ここで、 は スピン 量子数、 は パリティ 、 は 電荷共役 量子数である 。実際には、電荷共役とパリティは多くの 量子場の理論 で破られており、これが発生する と 失われる。CPT 対称性は量子場の理論では 不変で あるため 、 時間反転量子数は これらの与えられた数から構成できる。
J
P
C
{\textstyle J^{PC}}
J
{\displaystyle J}
P
{\displaystyle P}
C
{\displaystyle C}
P
{\displaystyle P}
C
{\displaystyle C}
位相空間 として 、この群は4つの連結成分を持つ：恒等成分、時間反転成分、空間反転成分、そして時間反転かつ空間反転した成分である。 [9]
その他の次元 上記の定義は任意の次元に簡単に一般化できる。d 次元 ポアンカレ群は同様に半直積で定義される。
IO
(
1
,
d
−
1
)
:=
R
1
,
d
−
1
⋊
O
(
1
,
d
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {IO} (1,d-1):=\mathbf {R} ^{1,d-1}\rtimes \operatorname {O} (1,d-1)}
同様の乗算で
(
α
,
f
)
⋅
(
β
,
g
)
=
(
α
+
f
⋅
β
,
f
⋅
g
)
{\displaystyle (\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)}
[6 ] リー代数はその形を維持し、指数 µ と νは 0 から d − 1 までの値を取る。J i と K i による代替表現は、 高 次元では類似するものがない。
参照
注記
^ Poincaré, Henri (1905-12-14)、 「Sur la dynamique de l'électron」 、 Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 、 21 : 129–176、 Bibcode :1906RCMP...21..129P、 doi :10.1007/ bf03013466、 hdl :2027/uiug.30112063899089、 S2CID 120211823 ( Wikisource 翻訳: 電子のダイナミクスについて)。この論文で定義された群は、現在ではスカラー乗数を持つ同次ローレンツ群として記述される。 ^ Minkowski, Hermann、 「Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern」 、 Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、数学物理学講座 : 53–111 (Wikisource 翻訳: 運動物体における電磁気過程の基本方程式)。 ^ ミンコフスキー、ヘルマン、 「Raum und Zeit」 、 Physikalische Zeitschrift 、 10 : 75–88 ^ 「対称性と保存則の調査：さらなるポアンカレ」 （PDF） 。frankwilczek.com 。 2021年2月14 日 閲覧 。 ^ Barnett, Stephen M (2011-06-01). 「光学角運動量の6つの成分について」. Journal of Optics . 13 (6): 064010. Bibcode :2011JOpt...13f4010B. doi :10.1088/2040-8978/13/6/064010. ISSN 2040-8978. S2CID 55243365. ^ ab Oblak, Blagoje (2017-08-01). 三次元におけるBMS粒子。Springer。p. 80。ISBN 9783319618784 。 ^ NN Bogolubov (1989). 量子場理論の一般原理（第2版）。Springer。p. 272。ISBN 0-7923-0540-X 。 ^ T. Ohlsson (2011). 相対論的量子物理学: 高度な量子力学から入門的な量子場理論まで。ケンブリッジ大学出版局。p. 10。ISBN 978-1-13950-4324 。 ^ 「トピック：ポアンカレ群」 www.phy.olemiss.edu . 2021年7月18日 閲覧 。
参考文献
ウィキブックの 結合的合成代数には、 ポアンカレ群 に関するページがあります。
Wu-Ki Tung (1985)。 物理学における群論 。World Scientific Publishing。ISBN 9971-966-57-3 。 ウェインバーグ、スティーブン（1995）。 場の量子論 。第1巻。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-0-521-55001-7 。 LH ライダー (1996)。量子場理論 (第 2 版)。ケンブリッジ大学出版局。p. 62。ISBN 0-52147-8146 。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu } ,P_{\rho }]&=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]&=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\イータ_{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,,\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c467531b0b1bec3124586a9ad9bcd62a7b16422)
![{\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{m},P_{n}]&=i\epsilon _{mnk}P_{k}~,\\[][J_{i},P_{0}]&=0~,\\[][K_{i},P_{k}]&=i\eta _{ik}P_{0}~,\\[][K_{i},P_{0}]&=-iP_{i}~,\\[][J_{m},J_{n}]&=i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\\[][J_{m},K_{n}]&=i\epsilon _{mnk}K_{k}~,\\[][K_{m},K_{n}]&=-i\epsilon _{mnk}J_{k}~、\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd79be626e42dc8b5e015a4467278c2ffa4e1bf)
![{\textstyle [J_{m}+iK_{m},\,J_{n}-iK_{n}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50aaf1fcdbd0eb83c8bec785960878156d3c20c9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\mathcal {H}},p_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},L_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},K_{i}\right]&=i\hbar cp_{i}\\\left[p_{i},p_{j}\right]&=0\\\left[p_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}p_{k}\\\left[p_{i},K_{j}\right]&={\frac {i\hbar }{c}}{\mathcal {H}}\delta _{ij}\\\left[L_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\\\left[L_{i},K_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}K_{k}\\\left[K_{i},K_{j}\right]&=-i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9d399d3cce4a3fa5ed6480aaaeb54e9f2807a9)
