最初の量子化

第一量子化は、古典的な粒子方程式を量子波動方程式に変換する手順です。第二量子化の概念は、古典的な場の方程式を量子場の方程式に変換します。^[1]

しかし、必ずしもそうである必要はありません。特に、相互作用する場とそれに関連するポテンシャルを乗算演算子として解釈することで、理論の完全な量子バージョンを作成できます。ただし、そのポテンシャルは、標準的な古典力学のユークリッド座標と互換性のある標準座標で記述されている必要があります。^[2]第一量子化は、単一の量子力学システム（単一の粒子システムと混同しないでください。単一の量子波動関数は、任意の数の複雑な構成要素を持つ可能性のある単一の量子システムの状態を記述し、その発展は1つの分離したシュレーディンガー方程式によって与えられるためです）を研究するのに適しています。その装置は、古典力学によって支配される実験装置、たとえば旧式の電圧計（量子理論に依存する最新の半導体デバイスがない電圧計。ただし、これで十分ではありますが、必須ではありません）、単純な温度計、磁場発生器などによって制御されます。

1901年に発表されたマックス・プランクは、ウィーンの変位法則、統計力学、電磁気学理論のみを考慮して、現在彼の名前が付けられている定数の存在と値を導きました。^[3] 4年後の1905年、アルバート・アインシュタインは、この定数と、光電効果で放出された電子の停止電位との深い関係をさらに解明しました。^[4]光電効果におけるエネルギーは、入射光子の数（光の強度）だけでなく、光の周波数にも依存していました。これは当時としては新しい現象であり、アインシュタインは1921年のノーベル物理学賞を受賞しました。^[5]したがって、これが量子化、つまり物質を基本構成要素に離散化する重要な始まりであったと結論付けることができます。

それから約8年後の1913年、ニールス・ボーアは有名な3部構成の論文集を発表し、基本的に独断で水素と水素のような金属の角運動量の量子化を仮定した。^{[6] [7] [8]}ここで、（価）電子の軌道角運動量は という形を取り、 は整数 と仮定される。最初の発表では、電子の軌道角運動量は、プランク定数を2πで割ったものは、量子数、つまり「静止点間の通過回数を数えること」は、ボーアが最初に と述べたように と名付けられていた。詳細については上記の参考文献を参照のこと。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle L=l\hbar }$${\displaystyle l}$${\displaystyle 0,\,1,\,2,\,3,\,\ldots \,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle \tau }$

この仮定は完全に正しいわけではないことが後に示されましたが、実際には量子数 の大きな値に対して軌道角運動量演算子の（固有値）量子数の正しい表現にかなり近くなり、これは確かにボーア自身の仮定の一部でした。ボーアの仮定 の結果を考慮し、今日 として知られる正しいバージョンと比較してください。明らかに、 が大きい の場合、違いはほとんどありません。同様に、 の場合も、同値性は正確です。これ以上の歴史的詳細には立ち入らず、ここで量子化の歴史におけるこの時代を「古い量子論」と見なすだけで十分です。これは、物理学の歴史において、主要な物理的観測量の離散化という必然的な結論をもたらした物理的実験の結果を理解する上で、素粒子の粒子的性質がますます重要な役割を果たし始めた時期を意味します。しかし、以下で第一量子化の時代として説明される時代とは異なり、この時代はウィーンの変位法則、熱力学、統計力学、電磁気学などの純粋に古典的な議論のみに基づいていました。実際、分光学の歴史における水素のバルマー系列の観測は1885年にまで遡ります。^[9]${\displaystyle l}$${\displaystyle L^{2}=l^{2}\hbar ^{2}}$${\displaystyle L^{2}=l(l+1)\hbar ^{2}}$${\displaystyle l}$${\displaystyle l=0}$

それにもかかわらず、最初の量子化の時代を意味することになる重要な出来事は、1925年から1928年にかけての重要な年に起こった。同時に、1925年12月にボルンとジョーダンが発表し、^[10]同じく1925年12月にディラックが発表し、^[11]続いて1926年1月にシュレーディンガーが発表し、^[12]それに続いて1926年8月にボルン、ハイゼンベルク、ジョーダンが発表し、^[13]最後に1928年にディラックが発表した。^[14]これらの出版物の結果は3つの理論的形式論であり、そのうち2つは同等であることが証明され、ボルン、ハイゼンベルク、ジョーダンの理論はシュレーディンガーの理論と同等であったが、ディラックの1928年の理論は前の2つの理論の相対論的バージョンと見なされるようになった。最後に、1929年のハイゼンベルクとパウリの論文^[15]は「第二量子化」の最初の試みとみなすことができる。この用語は、1943年にパウリがアメリカ物理学会の論文でそのまま使用した。^[16]

歴史を通じて進化してきた用語の明確化と理解のためには、 1925年から1926年にかけてボルン、ハイゼンベルク、ジョーダンが提唱した行列力学と1926年にシュレーディンガーが提唱した波動方程式の等価性を認めるのに役立った主要な出版物で終わるだけで十分である。ジョン・フォン・ノイマンの収集・拡張された研究は、2つの理論が数学的に等価であることを示しており、^[17]この認識が今日では第一量子化として理解されている。^{[注 1] [18] [注 2]}

第一量子化という用語を理解するには、まず量子であるとはどういうことかを理解する必要があります。ニュートンの古典理論は、質量のシステムの決定論的な軌道を与える2 次非線形 微分方程式です。ニュートンの運動の第二法則における加速度は、システムの位置を時間の関数として 2 次導関数にしたものです。したがって、少なくとも 2 次微分可能なニュートン方程式の解を求めるのは自然なことです。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F=ma}$

量子論は、システムの位置、観測が行われた時間、観測の瞬間のシステムの質量、速度などの物理的観測可能値を演算子観測可能値の概念に置き換えるという点で、量子論と大きく異なります。演算子を観測可能値とすることで、測定可能値の概念が変わり、マックス ボルンの確率論の避けられない結論が導き出されます。この非決定論の枠組みでは、システムが特定の観測可能状態にある確率は、シュレーディンガー方程式の解の絶対値の二乗として定義される動的確率密度によって与えられます。確率密度が積分可能で、1 に正規化可能であるという事実は、シュレーディンガー方程式の解が二乗積分可能である必要があることを意味します。その二乗を合計すると収束級数になる無限シーケンスのベクトル空間は、(「リトル エル ツー」と発音) として知られています。これは、ユークリッド空間から複素平面までの、2乗可積分関数の無限次元ベクトル空間 と一対一に対応しています。このため、と はしばしば区別なく「その」ヒルベルト空間と呼ばれます。これはむしろ誤解を招きます。なぜなら、 は、ユークリッド内積で装備され完備化された場合、有限次元空間ではあるものの、 ヒルベルト空間でもあるからです。${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

ニュートン理論とシュレーディンガー理論はどちらも質量パラメータを持っているため、質量の集合または単一の総質量を持つ単一の構成システム、および理想的な単一質量システムを持つ理想的な単一粒子の進化を記述できます。以下は、さまざまな種類のシステムの例です。

一般に、1 粒子状態は、 で表される完全な量子数のセットで記述できます。たとえば、水素原子のようなクーロン ポテンシャル内の電子に関連付けられた3 つの量子数は、完全なセットを形成します (スピンは無視します)。したがって、状態は と呼ばれ、ハミルトン演算子の固有ベクトルです。 を使用して、状態の状態関数表現を取得できます。エルミート演算子のすべての固有ベクトルは完全な基底を形成するため、完全性関係を満たす 任意の状態を構築できます。${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle n,l,m}$${\displaystyle |\nu \rangle }$${\displaystyle \psi _{\nu }(\mathbf {r} )=\langle \mathbf {r} |\nu \rangle }$${\textstyle |\psi \rangle =\sum _{\nu }|\nu \rangle \langle \nu |\psi \rangle }$

${\displaystyle \sum _{\nu }|\nu \rangle \langle \nu |=\mathbf {I} }$

多くの人は、粒子のすべての性質は、ここではディラック・ブラケット記法で表現されるこのベクトル基底を使って知ることができると感じてきました。しかし、これは必ずしも真実ではありません。^[19]

N粒子系、すなわち質量、電荷、スピンなどの同じ物理的パラメータで特徴付けられるN個の 同一粒子を含む系に目を向けると、単一粒子状態関数をN粒子状態関数に拡張する必要がある。^{[20]古典力学と量子力学の根本的な違いは、同一粒子の}区別不能性の概念に関係している。したがって、量子物理学では、ボソンとフェルミオンと呼ばれる2種類の粒子のみが可能であり、これらは次の規則に従います。 ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})}$

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r_{N}} )=+\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{N})}$（ボソン）、

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r_{N}} )=-\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{N})}$（フェルミオン）。

ここでは、状態関数の2 つの座標を交換しています。通常の波動関数は、スレーター行列式と同一粒子理論を使用して取得されます。この基礎を使用すると、単一の波動関数と単一のシステム全体の対角化可能な状態によって明確かつ正確に記述できる任意の多粒子問題を解決することができます。この観点から、最初の量子化は真の多粒子理論ではありませんが、「システム」の概念も単一の粒子で構成されている必要はありません。 ${\displaystyle (\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})}$

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