粒子数演算子

量子力学 では、粒子の総数が保存されない可能性があるシステムの場合、数演算子は粒子の数を数える 観測可能なものになります。

以下は括弧記法で表すと次のようになる。数演算子はフォック空間に作用する。

$${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }}$$

フォック状態は、フォック空間の基礎となるヒルベルト空間の基底から抽出された単一粒子状態で構成される。対応する生成および消滅演算子とが与えられている場合、数演算子を次のように定義する 。${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi _{i})}$${\displaystyle a(\phi _{i})\,}$

$${\displaystyle {\hat {N_{i}}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})}$$

そして私たちは

$${\displaystyle {\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }}$$

ここで は状態 にある粒子の数である。上記の等式は、 次の 式によって証明できる。 ${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$$${\displaystyle {\begin{matrix}a(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i },\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\ \a^{\ダガー }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i -1}、\phi _{i}、\phi _{i+1}、\cdots 、\phi _{n}\rangle _{\nu }\end{行列}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }&=&a^{\dagger }(\phi _{i})a( \phi _{i})\left|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\right\rangle _{\nu }\\[1ex]&=&{\sqrt {N_{i}}}a^{\dagger }( \phi _{i})\left|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\right\rangle _{\nu }\\[1ex]&=&{\sqrt {N_{i}}}{\sqrt {N_{i}}}\left|\phi _{1} 、\phi _{2}、\cdots 、\phi _{i-1}、\phi _{i}、\phi _{i+1}、\cdots 、\phi _{n}\right\rangle _{\nu }\\[1ex]&=&N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }\\[1ex]\end{array}}}$$

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• ブルース、ヘンリック、フレンスバーグ、カーステン（2004）。凝縮系物理学における多体量子論：入門。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-856633-6。
• フラドキンによる第2量子化ノート