任意に大きい

数学において、 「任意に大きい」「任意に小さい」「任意に長い」という表現は、対象がそれぞれ、ほとんど制限や制約なく大きい、小さい、長いという事実を明確にするために用いられます。「任意に」という表現は、実数（およびその部分集合）の文脈でよく用いられますが、その意味は「十分に」や「無限に」とは異なる場合があります。

声明

「${\displaystyle f(x)}$は任意の大きな値に対して非負である${\displaystyle x}$。

これは以下の略語です。

「すべての実数に対して${\displaystyle n}$、${\displaystyle f(x)}$ある値に対しては非負である${\displaystyle x}$より大きい${\displaystyle n}$。

一般的に、「任意に長い」という用語は、数列の文脈でよく使われます。例えば、「任意に長い素数の等差数列が存在する」と言うことは、無限に長い素数の等差数列が存在する（存在しない）という意味でも、何らかの意味で「任意に長い」特定の素数の等差数列が存在するという意味でもありません。むしろ、この表現は、数がどれほど大きくても、${\displaystyle n}$つまり、少なくとも長さの素数の等差数列が存在する。${\displaystyle n}$[ ^{1 ]​}

任意に大きいのと同様に、次のフレーズも定義できます。${\displaystyle P(x)}$は任意の小さな実数に対して成り立つ」と、次のように述べられています。^{[ 2 ]}

${\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb {R} _{+},\,\exists x\in \mathbb {R}$ :|x|<\epsilon \land P(x)}

言い換えると：

どんなに小さな数でも、${\displaystyle x}$それよりも小さいので${\displaystyle P(x)}$保持する。

似ているようでいて、「任意に大きい」は「十分に大きい」とは同義ではありません。例えば、素数は任意に大きくすることができます（ユークリッドの定理により無限に存在するため）が、十分に大きい数がすべて素数であるとは限りません。

別の例として、次の声明は${\displaystyle f(x)}$は任意の大きな値に対して非負である${\displaystyle x}$。は次のように書き換えることができます。

$\displaystyle \forall n\in \mathbb {R} {\mbox{, }}\exists x\in \mathbb {R} {\mbox{ such that }}x>n\land f(x)\geq 0}$

しかし、「十分に大きい」という表現を使うと、同じフレーズが次のようになります。

$\displaystyle \exists n\in \mathbb {R} {\mbox{ such that }}\forall x\in \mathbb {R} {\mbox{, }}x>n\Rightarrow f(x)\geq 0}$

さらに、「任意に大きい」とは「無限に大きい」という意味ではありません。例えば、素数は任意に大きくなることができますが、無限に大きい素数は存在しません。なぜなら、すべての素数（およびその他のすべての整数）は有限だからです。

場合によっては、「提案」などのフレーズ${\displaystyle P(x)}$は任意の大きな値に対して真である${\displaystyle x}$「 は主に強調のために使用されます。例: 」${\displaystyle P(x)}$すべてに当てはまる${\displaystyle x}$どんなに大きくても${\displaystyle x}$これらの場合、「任意に大きい」というフレーズは、上記で示した意味を持ちません（つまり、「どんなに大きな数であっても、それよりも大きな数が存在し、${\displaystyle P(x)}$依然として有効である。」^{[ 3 ]}）。代わりに、この場合の使用法は実際には論理的に「すべて」と同義である。

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