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「確率」という言葉は、偶然のゲームを数学的に研究する際に初めて用いられて以来、様々な意味で使われてきました。確率は、何かが起こる実際の物理的な傾向を測るものなのか、それともそれが起こると信じる強さを測るものなのか、あるいはその両方の要素を含んでいるのか。こうした疑問に答えるために、数学者は確率論における確率値を解釈します。
確率の解釈には大きく分けて「物理的確率」と「証拠的確率」の2つのカテゴリーがあります[ 1 ] [ a ] [ 2 ] 。物理的確率は、客観的確率または頻度確率とも呼ばれ、ルーレット、サイコロ、放射性原子などのランダムな物理システムに関連付けられています。このようなシステムでは、特定の種類の事象（例えば、サイコロで6が出る）は、長期間の試行において一定の割合、つまり「相対頻度」で発生する傾向があります。物理的確率は、これらの安定した頻度を説明するか、または説明するために用いられます。物理的確率の理論の主な種類は、頻度主義的説明（Venn [ 3 ]、Reichenbach [ 4 ]、von Mises [ 5 ]など）と傾向的説明（Popper、Miller、Giere、Fetzerなど）の2つです[ 6 ] 。
証拠確率（ベイズ確率とも呼ばれる）は、ランダムなプロセスが関与していない場合でも、あらゆる命題に割り当てて、その命題の合理的な主観的妥当性、つまり、その命題が利用可能な証拠によってどの程度裏付けられているかを表すことができる。ほとんどの場合、証拠確率は、特定のオッズで賭ける傾向という観点から定義される合理的な信念の度合いであると考えられている。主な4つの証拠解釈は、古典的解釈（例えばラプラスの）[ 7 ]、主観的解釈（デ・フィネッティ[ 8 ]とサベージ[ 9 ]）、認識論的または帰納的解釈（ラムジー[ 10 ] 、コックス[ 11 ]）、論理的解釈（ケインズ[ 12 ]とカルナップ[ 13 ]）である。また、グループを対象とする確率の証拠解釈もあり、これはしばしば「間主観的」と呼ばれる（ギリーズ[ 14 ]とロウボトム[ 6 ]によって提案された）。
確率の解釈の中には、推定理論や仮説検定理論など、統計的推論の手法と関連付けられるものがある。例えば、物理的解釈は、ロナルド・フィッシャー、イェジー・ネイマン、エゴン・ピアソンといった「頻度主義的」統計手法の支持者によって採用されている。反対のベイズ学派の統計学者は、頻度解釈が妥当な場合には（定義としては認めないが）概ね受け入れるが、物理的確率については意見の一致が少ない。ベイズ学派は、証拠確率の計算は統計学において妥当かつ必要であると考えている。しかし、本稿では、統計的推論の理論ではなく、確率の解釈に焦点を当てる。
このトピックの用語はかなり紛らわしい。その理由の一つは、確率が様々な学術分野で研究されているためである。「頻度主義」という言葉は特に厄介だ。哲学者にとって、それは物理的確率の特定の理論を指すが、その理論は多かれ少なかれ放棄されている。一方、科学者にとって、「頻度主義的確率」は物理的（または客観的）確率の別名に過ぎない。ベイズ推論を推進する人々は、「頻度主義統計」を、確率の頻度解釈に基づく統計的推論のアプローチと見なしており、通常は大数の法則に依拠し、「帰無仮説有意性検定」（NHST）と呼ばれる手法によって特徴づけられる。また、確率に適用される「客観的」という言葉は、ここでいう「物理的」と全く同じ意味を持つ場合もあるが、論理的確率や認識的確率など、合理的な制約によって固定された証拠的確率にも用いられる。
統計学が何らかの形で確率に基づいているという点については、誰もが同意している。しかし、確率とは何か、そしてそれが統計学とどのように関連しているのかについては、バベルの塔以来、これほどまでに意見が分かれ、意思疎通が途絶えたことはほとんどない。もっとも、意見の相違の多くは単なる用語の違いに過ぎず、十分に鋭い分析を行えば解消されるだろう。
—サベージ、1954年、p.2 [ 9 ]
確率の哲学は、主に認識論の問題と、数学の概念と非数学者が使用する日常言語と の間の不安定な接点の問題を提起します。確率論は、数学における確立された研究分野です。その起源は、17 世紀のブレーズ・パスカルとピエール・ド・フェルマーの間で行われた、偶然のゲームの数学に関する書簡にあり[ 15 ]、 20 世紀にアンドレイ・コルモゴロフによって数学の独立した分野として形式化され、公理化されました。公理形式の確率論に関する数学的記述は、他の数学的記述と同様に、数学の哲学の中で同じ種類の認識論的確信を持っています。 [ 16 ] [ 17 ]
数学的分析は、トランプやサイコロなどのゲーム用具の挙動の観察から始まった。これらの用具は、ランダムかつ均等な要素を導入するように特別に設計されている。数学的に言えば、これらは無関心の対象である。確率的な記述が日常会話で使われるのは、これだけではない。「おそらく雨が降るだろう」と言うとき、雨が降るか降らないかの結果が、現時点では確率的に有利なランダムな要因であるという意味ではない。むしろ、そのような記述は、雨が降るという予想に一定の確信度を付記していると考える方が適切だろう。同様に、マサチューセッツ州ラドローという地名の「最も可能性の高い説明」は「ロジャー・ラドローにちなんで名付けられた」と書かれている場合、ここで意味されているのは、ロジャー・ラドローがランダムな要因によって有利になっているということではなく、他の可能性の低い説明も許容される中で、これが証拠から最ももっともらしい説明であるということなのだ。
トーマス・ベイズは、さまざまな信頼度を扱える論理体系を提供しようと試みました。そのため、ベイズ確率論は、確率的な記述を、それらが表す信念がどの程度の信頼度で保持されているかを示すものとして捉え直そうとする試みと言えます。
確率論は当初、やや平凡な動機から生まれたものでしたが、現代ではその影響力と利用範囲は広く、エビデンスに基づいた医療からシックスシグマ、確率的に検証可能な証明、そして弦理論の世界に至るまで多岐にわたります。
ピエール＝シモン・ラプラスが提唱した、確率の分野における数学的厳密性への最初の試みは、現在では古典的定義として知られている。サイコロを振るなどの偶然のゲームの研究から発展したこの定義は、これらの結果が等しく起こりうるとみなせる限り、確率はすべての可能な結果の間で均等に分配されると述べている。[ 1 ] (3.1)
確率論は、同種の事象すべてを、等しく起こりうる一定数の事象、すなわち、その存在について等しく不確実な事象に絞り込み、確率を求めたい事象にとって有利な事象の数を決定することにある。この数と起こりうるすべての事象の数の比が確率の尺度であり、したがって、分子が有利な事象の数、分母が起こりうるすべての事象の数である分数となる。
—ピエール＝シモン・ラプラス、『確率論的哲学論文』[ 7 ]
これは数学的に次のように表すことができます。ランダムな実験で互いに排他的で等確率なN個の結果が得られ、これらの結果のうちN A個が事象Aの発生につながる場合、 Aの確率は次のように定義されます。
古典的な定義には、2つの明確な限界がある。[ 18 ]第一に、それは「有限」個の可能な結果しかない状況にのみ適用可能である。しかし、表が出るまでコインを投げ続けるといった重要なランダム実験の中には、無限個の結果が生じるものもある。第二に、確率の概念に頼って循環論法の罠に陥ることなく、すべての可能な結果が等しく起こりうるという事前決定が必要となる。（「我々は等しく未決定である可能性がある」という用語を用いる際、ラプラスは「不十分な理由の原理」と呼ばれるものによって、そうでないと仮定する既知の理由がなく、明白な正当化がない限り、すべての可能な結果が等しく起こりうると仮定した。[ 19 ] [ 20 ]）
頻度主義者は、事象の確率は時間の経過に伴う相対頻度であると主張します[ 1 ]、(3.4)つまり、同様の条件下でプロセスを多数回繰り返した後に発生する相対頻度です。これは偶然確率としても知られています。事象は、原理的に十分な情報があれば予測可能な現象（決定論を参照）または本質的に予測不可能な現象のいずれかである、何らかのランダムな物理現象によって支配されていると想定されます。前者の例としては、サイコロを投げたり、ルーレットを回したりすることが挙げられます。後者の例としては、放射性崩壊があります。公平なコインを投げる場合、頻度主義者は、表が出る確率は1/2であると言いますが、これは2つの等しく起こりうる結果があるからではなく、多数の試行を繰り返すと、試行回数が無限大に近づくにつれて経験的頻度が極限値1/2に収束することが示されるからです。
と表記するとある事象の発生回数で試験の場合、私たちは言う。
頻度主義的見解にはそれなりの問題がある。もちろん、事象の確率を決定するために無作為実験を無限回繰り返すことは実際には不可能である。しかし、有限回の繰り返ししか行わない場合、異なる試行シリーズで異なる相対頻度が現れる。これらの相対頻度が確率を定義するとすれば、確率は測定するたびにわずかに異なることになる。しかし、実際の確率は毎回同じであるべきである。測定誤差を伴う確率しか測定できないという事実を認めたとしても、測定誤差は確率としてしか表現できず、まさに定義しようとしている概念であるため、やはり問題が生じる。これにより、頻度の定義さえも循環論法になってしまう。例えば、「地震の確率はどれくらいか？」[ 21 ]を参照のこと。
主観主義者（ベイズ主義者、あるいは認識的確率論の支持者とも呼ばれる）は、確率を特定の状況の不確実性を評価する個人の「合理的な信念の度合い」の尺度とみなすことで、確率という概念に主観的な地位を与えている。認識的確率、あるいは主観的確率は、傾向確率を表す「チャンス」という用語とは対照的に、「確信度」と呼ばれることもある。
認識的確率の例としては、提案された物理法則が真であるという命題に確率を割り当てることや、提示された証拠に基づいて容疑者が犯罪を犯した可能性を判断することなどが挙げられる。
ベイズ確率の使用は、それが信念の正当な正当化に貢献できるかどうかという哲学的議論を引き起こします。ベイズ主義者は、主観的信念が首尾一貫している（合理的である）ためには、確率の法則に従わなければならないことを証明するものとして、ラムジー[ 10 ]（p 182）とデ・フィネッティ[ 8 ]（p 103）の研究を指摘しています。[ 22 ]
証拠は、個々の人間が日常的に一貫した信念を適用しているかどうかに疑問を投げかけており、[ 23 ] [ 24 ]彼らがしばしばベイズ確率に従っていないことを示している。
ベイズ確率を用いる場合、事前確率を指定する必要があります。これは、必要な事前確率が、壺モデルや思考実験に関連付けられた参照確率よりも大きいか小さいかを検討することによって得られます。問題は、与えられた問題に対して複数の思考実験が適用可能であり、どれを選択するかは判断に委ねられる場合があることです。つまり、異なる人が異なる事前確率を割り当てる可能性があり、これは参照クラス問題として知られています。「日の出問題」はその一例です。
傾向理論家は、確率を、特定の種類の物理的状況が特定の種類の結果を生み出す、またはそのような結果の長期的な相対頻度を生み出す物理的傾向、性質、または傾向として考えている。[ 25 ]この種の客観的な確率は、「偶然」と呼ばれることもある。
傾向、または確率は相対頻度ではなく、観察された安定した相対頻度の原因とされるものです。傾向は、特定の種類の実験を繰り返すと、傾向または確率として知られる特定の結果タイプが持続的な割合で生成される理由を説明するために用いられます。頻度主義者は、相対頻度はコインを1回投げたときには存在せず、大きな集合または集団の場合にのみ存在するため、このアプローチを取ることができません（上の表の「単一のケースが可能」を参照）。[ 2 ]対照的に、傾向主義者は、大数の法則を使用して、長期的な頻度の挙動を説明することができます。確率の公理の結果であるこの法則は、（たとえば）コインを何度も繰り返し投げ、各投げで表が出る確率が同じで、結果が確率的に独立している場合、表の相対頻度は各投げで表が出る確率に近くなることを示しています。この法則は、安定した長期的な頻度が、不変な単一事例確率の現れであることを可能にする。安定した相対頻度の出現を説明することに加えて、傾向という概念は、量子力学における単一事例確率の帰属、例えば特定の原子が特定の時間に崩壊する確率などを理解したいという願望によって動機づけられている。
傾向理論が直面する最大の課題は、傾向が何を意味するのかを正確に定義することである。（そしてもちろん、このように定義された傾向が必要な性質を備えていることを示すことでもある。）残念ながら、現状では、広く認められている傾向に関する理論のどれも、この課題に十分に対応できていない。
確率の傾向理論はチャールズ・サンダース・パースによって提唱された。[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]しかし、C.S.パースの著作にはほとんど精通していなかった哲学者カール・ポパーが、後に傾向理論を提唱した。 [ 26 ] [ 27 ]ポパーは、物理実験の結果は特定の「生成条件」によって生み出されると指摘した。よく言われるように、実験を繰り返すということは、実際には（多かれ少なかれ）似たような生成条件で別の実験を行うということである。生成条件が結果Eを生み出す傾向pを持つということは、それらの条件を無限に繰り返すと、 Eが相対頻度pで発生する結果系列が生成されることを意味する。ポパーにとって、決定論的な実験では、生成条件は各試行で同じ結果をもたらすため、各結果に対する傾向は0または1となる。言い換えれば、非自明な傾向（0と1とは異なる傾向）は、真に非決定論的な実験においてのみ存在する。
デイヴィッド・ミラーやドナルド・A・ギリーズをはじめとする他の多くの哲学者も、ポパーの理論とやや類似した傾向理論を提唱している。
他の傾向理論家（例えばロナルド・ギエレ[ 30 ]）は、傾向を明示的に定義するのではなく、科学における理論的な役割によって傾向を定義すると考えています。例えば、電荷のような物理量は、より基本的な事柄によって明示的に定義することはできず、他の電荷を引き付けたり反発したりするなどの働きによってのみ定義できると主張しました。同様に、傾向とは、科学において物理的確率が果たす様々な役割を担うものなのです。
科学において物理的確率はどのような役割を果たしているのでしょうか。その性質は何でしょうか。偶然の中心的な性質の 1 つは、それが既知であれば、合理的な信念が同じ数値をとるように制約されるということです。デイビッド・ルイスはこれを主原理[ 1 ] (3.3 および 3.5) と呼び、哲学者たちは大部分この用語を採用しています。たとえば、偏りのある特定のコインが投げるたびに 0.32 の確率で表が出ることが確実だとします。コインが表になったら 1 ドル、そうでなければ何も出ない賭けの正しい価格はいくらでしょうか。主原理によれば、公正な価格は 32 セントです。
「確率」という用語は、物理的なランダム性とは全く関係のない文脈で使用されることがあることは広く認識されています。例えば、恐竜の絶滅は巨大な隕石が地球に衝突したことが原因だったという主張を考えてみましょう。「仮説Hはおそらく正しい」といった記述は、（現在入手可能な）経験的証拠（例えばE）がHを高い程度で支持しているという意味に解釈されてきました。EによるHのこの支持の程度は、Eが与えられた場合のHの論理的、認識論的、または帰納的確率と呼ばれています。
これらの解釈の違いはごくわずかで、取るに足らないように見えるかもしれない。主な相違点の1つは、確率と信念の関係にある。論理的確率は（例えばケインズの『確率論』[ 12 ]のように）命題（または文）間の客観的な論理的関係として捉えられており、したがって信念には一切依存しない。それらは（部分的）含意の度合い、あるいは論理的帰結の度合いであって、信念の度合いではない。（しかしながら、後述するように、それらは適切な信念の度合いを規定する。）一方、フランク・P・ラムジーは、そのような客観的な論理的関係の存在に懐疑的で、（証拠的）確率は「部分的信念の論理」であると主張した。 [ 10 ]（157ページ）言い換えれば、ラムジーは、認識的確率は単に合理的信念の度合いを制約する論理的関係ではなく、単に合理的信念の度合いであると主張した。
もう一つの意見の相違点は、与えられた知識状態における証拠確率の一意性に関するものである。例えば、ルドルフ・カルナップは、論理原理は、いかなる証拠に対しても、いかなる命題に対しても、常に一意の論理確率を決定すると主張した。これに対し、ラムジーは、信念の度合いは（確率の公理など、ただしこれらに限定されない）いくつかの合理的な制約を受けるものの、これらの制約は通常、一意の値を決定するものではないと考えた。言い換えれば、合理的な人々は、たとえ全員が同じ情報を持っていたとしても、信念の度合いにおいて多少の違いが生じる可能性があるということである。
確率の別の説明では、予測の役割、つまり観測不可能なパラメータではなく過去の観測に基づいて将来の観測を予測することを強調しています。現代の形では、主にベイズの流れを汲んでいます。これは20世紀以前の確率の主な機能でしたが[ 31 ] 、天体力学のように誤差を伴って観測される物理システムとして現象をモデル化するパラメトリックアプローチと比較して人気がなくなりました。
現代の予測アプローチは、ブルーノ・デ・フィネッティによって開拓され、その中心となる考え方は交換可能性、つまり将来の観測は過去の観測と同じように振る舞うべきであるというものでした。[ 31 ]この見解は、1974年にデ・フィネッティの著書[ 31 ]が翻訳されたことで英語圏の注目を集め、その後、シーモア・ガイサーなどの統計学者によって提唱されました。
確率の数学は、いかなる解釈にも依存しない、完全に公理的な基盤に基づいて展開することができる。詳細については、確率論および確率の公理に関する記事を参照されたい。
「確率の解釈についてはいくつかの学派が存在するが、いずれも欠陥、内部矛盾、あるいは逆説を孕んでいる。」(p 1129) 「確率の解釈には標準的な分類はなく、より一般的なものでさえ、文献によって微妙な違いが生じる可能性がある。」(p 1130)
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