確率分布間の関係

確率論と統計学では、確率分布の間にはいくつかの関係があります。これらの関係は次のグループに分類できます。

• ある分布は、より広いパラメータ空間を持つ別の分布の特別なケースである
• 変換（ランダム変数の関数）
• 組み合わせ（複数の変数の関数）
• 近似（限界）関係。
• 複合関係（ベイズ推論に有用）
• 二重性^{[説明が必要]} ;
• 共役事前分布。

• パラメータn = 1 およびpを持つ二項分布は、パラメータpを持つベルヌーイ分布です。
• パラメータn = 1 およびpを持つ負の二項分布は、パラメータp を持つ幾何分布です。
• 形状パラメータα = 1 および速度パラメータβを持つガンマ分布は、速度パラメータβを持つ指数分布です。
• 形状パラメータα = v /2 および速度パラメータβ = 1/2のガンマ分布は、自由度νのカイ二乗分布です。
• 自由度 2 ( k = 2)のカイ2 乗分布は、平均値 2 (率λ = 1/2)の指数分布です。
• 形状パラメータk = 1 および速度パラメータβを持つワイブル分布は、速度パラメータβを持つ指数分布です。
• 形状パラメータα = β = 1のベータ分布は、実数 0 から 1 までの連続した一様分布です。
• パラメータnと形状パラメータα = β = 1を持つベータ二項分布は、整数 0 からnまでの離散一様分布です。
• 自由度が 1 ( v = 1)のスチューデントの t 分布は、位置パラメータx = 0 および尺度パラメータγ = 1 のCauchy 分布です。
• パラメータc = 1 およびk (およびスケールλ )を持つBurr分布は、形状k (およびスケールλ ) を持つLomax 分布です。

変数に任意の正の実定数を掛けると、元の分布の スケーリングが得られます。一部は自己複製します。つまり、スケーリングによって、異なるパラメーターではあるものの、同じ分布族が生成されます。正規分布、ガンマ分布、コーシー分布、指数分布、アーラン分布、ワイブル分布、 ロジスティック分布、誤差分布、べき乗分布、レイリー分布。

例：

• X が形状と速度パラメータ ( α、β )を持つガンマランダム変数である場合、Y  =  aXはパラメータ ( α、β / a )を持つガンマランダム変数です。

• X が形状とスケールパラメータ ( k、θ )を持つガンマランダム変数である場合、Y  =  aXはパラメータ ( k、aθ )を持つガンマランダム変数です。

アフィン変換ax + bは、元の分布の再配置とスケーリングを生成します。以下は自己複製します: 正規分布、コーシー分布、ロジスティック分布、誤差分布、べき分布、レイリー分布。

例：

• Z がパラメータ ( μ = m、σ ² = s ² )を持つ正規ランダム変数である場合、X = aZ + bはパラメータ ( μ = am + b、σ ² = a ² s ² )を持つ正規ランダム変数です。

ランダム変数Xの逆数 1/ Xは、次の場合には Xと同じ分布族のメンバーです:コーシー分布、F 分布、対数ロジスティック分布。

例:

• X がコーシー ( μ , σ ) ランダム変数である場合、1/ Xはコーシー ( μ / C , σ / C ) ランダム変数であり、 C = μ ² + σ ²となります。
• X がF ( ν ₁ , ν ₂ ) ランダム変数である場合、1/ XはF ( ν ₂ , ν ₁ ) ランダム変数です。

いくつかの分布は特定の変換に対して不変です。

例：

• X がベータ( α , β ) ランダム変数である場合、 (1 − X ) はベータ( β , α ) ランダム変数です。
• X が二項( n , p ) ランダム変数である場合、 ( n − X ) は二項( n , 1 −  p ) ランダム変数です。
• Xが累積分布関数 F _Xを持つ場合、累積分布関数Fの逆関数は
  _バツ( X ) は標準的な一様(0,1) 確率変数である
• X が正規( μ , σ ² ) 確率変数の場合、 e ^{X は}対数正規( μ , σ ² ) 確率変数です。

逆に、X が対数正規 ( μ、σ ² ) ランダム変数である場合、log  Xは正規 ( μ、σ ² ) ランダム変数です。

• X が平均βを持つ指数ランダム変数である場合、X ^{1/ γ}はワイブル( γ、β ) ランダム変数です。
• 標準正規乱数変数の二乗は、自由度が 1 のカイ二乗分布に従います。
• X が自由度νのスチューデントの t確率変数である場合、X ^2はF (1, ν ) 確率変数です。
• X が平均 0 、スケールλの二重指数ランダム変数である場合、 | X | は平均λの指数ランダム変数です。
• 幾何ランダム変数は指数ランダム変数の下限です。
• 矩形ランダム変数は、一様ランダム変数の床面です。
• 逆数ランダム変数は、一様ランダム変数の指数です。

独立したランダム変数の合計の分布は、それらの分布の畳み込みです。 が、それぞれ確率質量関数を持つ独立したランダム変数の合計であるとします。すると、 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle f_{X_{i}}(x)}$

$${\displaystyle Z=\sum _{i=1}^{n}{X_{i}}.}$$

元の変数と同じ分布族からの分布を持つ場合、その分布族は畳み込みに対して閉じていると言われます。多くの場合 (常に?)、これらの分布は安定分布でもあります (離散安定分布も参照)。

このような一変量分布の例としては、正規分布、ポアソン分布、二項分布（共通の成功確率を持つ）、負の二項分布（共通の成功確率を持つ）、ガンマ分布（共通の割合パラメータを持つ）、カイ二乗分布、コーシー分布、超指数分布が挙げられます。

例: ^{[3] [4]}

• • X ₁とX _{2 がそれぞれ平均}μ ₁とμ _{2 を持つ}ポアソン確率変数である場合、X ₁ + X ₂は平均μ ₁ + μ _2を持つポアソン確率変数です。
  • ガンマ( α _i , β ) 確率変数の合計は、ガンマ(Σ α _i , β ) 分布を持ちます。
  • X ₁がコーシー( μ ₁、σ ₁ ) ランダム変数であり、X ₂がコーシー ( μ ₂、σ ₂ ) である場合、X ₁ + X _2はコーシー( μ ₁ + μ ₂、σ ₁ + σ ₂ ) ランダム変数です。
  • X ₁と X _{2 が}それぞれ自由度ν ₁と ν _2を持つカイ二乗ランダム変数である場合、X ₁ + X ₂は自由度ν ₁ + ν _2を持つカイ二乗ランダム変数です。
  • X ₁が法線( μ ₁、σ​²
    ₁) 確率変数であり、X ₂は正規 ( μ ₂ , σ²
    ₂) 確率変数の場合、X ₁ + X ₂は正規( μ ₁ + μ ₂ , σ²
    ₁+ σ²
    ₂) ランダム変数。
  • N個のカイ二乗(1)確率変数の合計は、自由度Nのカイ二乗分布に従います。

他の分布は畳み込みに対して閉じていませんが、その合計は既知の分布を持ちます。

• n 個の ベルヌーイ(p) ランダム変数の合計は二項( n、p ) ランダム変数です。
• 成功確率がpであるn 個の幾何ランダム変数の合計は、パラメータnとp を持つ負の二項ランダム変数です。
• n個の 指数( β ) ランダム変数の合計はガンマ( n、β ) ランダム変数です。n は整数なので、ガンマ分布もアーラン分布です。
• N 個の 標準正規乱数変数の二乗の合計は、自由度 N のカイ二乗分布に従います。

独立したランダム変数XとYの積は、XとYと同じ分布族、つまりベルヌーイ分布と対数正規分布に属する場合があります。

例：

• X ₁とX _{2 が}パラメータ（μ ₁、σ ）を持つ独立した対数正規分布のランダム変数である場合、²
  ₁) および ( μ ₂ , σ²
  ₂）の場合、X ₁ X ₂は、パラメータ（μ ₁ + μ ₂、σ）を持つ対数正規分布のランダム変数である。²
  ₁+ σ²
  ₂）。

(製品の配布も参照してください。)

一部の分布では、複数の独立したランダム変数の最小値は、異なるパラメータを持つ同じファミリーのメンバーです。 ベルヌーイ分布、幾何分布、指数分布、極値分布、パレート分布、レイリー分布、ワイブル分布。

例:

• X ₁とX _{2 が}それぞれ成功確率p ₁とp _{2 を}持つ独立した幾何ランダム変数である場合、min( X ₁ , X ₂ ) は成功確率p = p ₁ + p ₂ − p ₁ p ₂を持つ幾何ランダム変数です。この関係は失敗確率で表現するとより単純になります: q = q ₁ q ₂。
• X ₁とX _{2 がそれぞれレート}μ ₁とμ _{2 を}持つ独立した指数ランダム変数である場合、min( X ₁ , X _{2 ) はレート}μ = μ ₁ + μ ₂を持つ指数ランダム変数です。

同様に、複数の独立したランダム変数の最大値が同じ分布族のメンバーである 分布には、ベルヌーイ分布、べき乗分布が含まれます。

• XとY が独立した標準正規乱数変数である場合、X / Yはコーシー(0,1) 乱数変数です。
• X ₁とX _{2 がそれぞれ自由度}ν ₁とν ₂を持つ独立したカイ2乗確率変数である場合、( X ₁ / ν ₁ )/( X ₂ / ν _{2 ) は}F ( ν ₁ , ν ₂ ) 確率変数です。
• Xが標準正規乱数変数で、U が自由度νの独立したカイ 2 乗乱数変​​数である場合、 はスチューデントのt ( ν ) 乱数変数です。${\displaystyle {\frac {X}{\sqrt {(U/\nu )}}}}$
• X _1がガンマ( α ₁ , 1) ランダム変数であり、 X _{2 が}独立ガンマ(α ₂ , 1) ランダム変数である場合、X 1 _/ ( X ₁ + X ₂ ) はベータ( α ₁ , α ₂ ) ランダム変数です。より一般的には、X ₁がガンマ ( α ₁ , β ₁ ) ランダム変数であり、X _{2 が}独立ガンマ ( α ₂ , β ₂ ) ランダム変数である場合、 β ₂ X ₁ /( β ₂ X ₁ + β ₁ X ₂ ) はベータ ( α ₁ , α ₂ ) ランダム変数です。
• XとY が平均 μ の独立した指数ランダム変数である場合、X  −  Y は平均 0 とスケール μ の二重指数ランダム変数です。
• X _{i が}独立したベルヌーイ確率変数である場合、それらのパリティ(XOR) は、積み重ね補題によって記述されるベルヌーイ変数です。

（比率分布も参照してください。）

近似または限定関係とは

• 無限個のiidランダム変数の組み合わせが何らかの分布に従う傾向があるか、
• または、パラメータが特定の値に向かう限界が、異なる分布に近づくことを意味します。

iidランダム変数の組み合わせ:

• 特定の条件が与えられれば、それぞれが有限の平均と分散を持つ十分に大きな数の iid ランダム変数の合計 (つまり平均) は、ほぼ正規分布します。これが中心極限定理(CLT) です。

分布パラメータ化の特殊なケース:

• X は超幾何( m , N , n ) ランダム変数です。nとmがNに比べて大きく、p = m / Nが 0 または 1 に近くない場合、X は近似的に二項( n , p ) 分布に従います。
• X はパラメータ ( n、α、β ) を持つベータ二項ランダム変数です。p = α /( α + β ) とし、α + βが大きいと仮定すると、X は近似的に二項( n、p ) 分布に従います。
• X が二項( n、p ) ランダム変数であり、nが大きくnpが小さい場合、 X は近似的にポアソン( np ) 分布に従います。
• X が負の二項ランダム変数で、 rが大きく、P が1 に近く、r (1 −  P ) = λである場合、X は平均λのポアソン分布に近似的に従います。

CLT の結果:

• X が平均の大きいポアソン確率変数である場合、整数jとkに対して、 P( j ≤ X ≤ k ) はP ( j − 1/2 ≤ Y ≤ k + 1/2)にほぼ等しくなります。ここで、 YはXと同じ平均と分散を持つ正規分布です。
• X が大きなnpとn (1 −  p ) を持つ二項( n、p ) ランダム変数である場合、整数jとkに対して、 P( j ≤ X ≤ k ) は P( j − 1/2 ≤ Y ≤ k + 1/2) にほぼ等しくなります。ここで、Y はXと同じ平均と分散を持つ正規ランダム変数、つまりnpとnp (1 −  p )です。
• X がパラメータαとβが等しく大きいベータランダム変数である場合、 X は近似的に同じ平均と分散を持つ正規分布に従います。つまり、平均α /( α + β ) と分散αβ /(( α + β ) ² ( α + β + 1)) です。
• X がガンマ( α、β ) ランダム変数であり、形状パラメータαがスケールパラメータβに比べて大きい場合、X は近似的に同じ平均と分散を持つ正規ランダム変数になります。
• Xが自由度νが大きいスチューデントのt確率変数である場合、X は近似的に標準正規分布に従います。
• X がωが大きいF ( ν , ω ) ランダム変数である場合、νX は自由度νを持つカイ 2 乗ランダム変数として近似的に分布します。

分布の 1 つ以上のパラメータがランダム変数である場合、複合分布は変数の周辺分布になります。

例:

• X  |  Nが二項( N、p ) ランダム変数であり、パラメーターNが負の二項 ( m、r ) 分布を持つランダム変数である場合、Xは負の二項( m、r /( p + qr ))として分布します。
• X  |  Nが二項( N、p ) ランダム変数であり、パラメーターNがポアソン ( μ ) 分布のランダム変数である場合、X はポアソン( μp )として分布します。
• X  |  μがポアソン( μ ) ランダム変数であり、パラメータμがガンマ ( m、θ ) 分布 ( θはスケールパラメータ) に従うランダム変数である場合、Xは負の二項分布( m、θ /(1 +  θ ) )として分布します。これはガンマポアソン分布と呼ばれることもあります。

いくつかの分布は、ベータ二項分布、ベータ負二項分布、ガンマ正規分布など、特に複合分布として名付けられています 。

例:

• X が二項( n、p ) ランダム変数であり、パラメーター p がベータ( α、β ) 分布を持つランダム変数である場合、X はベータ二項( α、β、n ) として分布します。
• X が負の二項 ( r、p ) ランダム変数であり、パラメーターp がベータ ( α、β ) 分布を持つランダム変数である場合、Xはベータ負の二項分布( r、α、β )として分布します。

• 中心極限定理
• 複合確率分布
• 確率分布の畳み込みの一覧

• インタラクティブ グラフィック: 単変量分布関係
• ProbOnto - 確率分布のオントロジーと知識ベース: ProbOnto
• 確率分布図プロジェクトには、分布間の再構成と分布メタデータのための計算機、シミュレーター、実験、ナビゲーターが含まれます。