結合代数

数学において、可換環（多くの場合体）K上の結合代数 Aは、環Aと、 KからAの中心への環準同型性を組み合わせたものである。したがって、これは加算、乗算、およびスカラー乗算（ Kの元の環準同型の像による乗算）を含む代数構造である。加算と乗算の演算を合わせると、 A は環の構造になり、加算とスカラー乗算の演算を合わせると、AはK上のモジュールまたはベクトル空間の構造になる。この記事では、 K上の結合代数を意味するために K代数という用語も使用する。 K代数の標準的な最初の例は、通常の行列乗算を含む、可換環K上の正方行列の環である。

可換代数とは、乗算が可換である結合代数、または、それと同等に、可換環でもある結合代数です。

この記事では、結合代数は乗法単位元 (1 と表記) を持つものと仮定します。明確にするために、結合代数は単位結合代数と呼ばれることもあります。数学の一部の分野ではこの仮定は行われず、そのような構造を非単位結合代数と呼びます。また、すべての環は単位元であり、すべての環準同型は単位元であると仮定します。

すべての環は、その中心と整数上の結合代数です。

R を可換環とする（したがってR は体でもよい）。結合的R代数A（または、より単純にR代数A）は、2つの加算（環の加算と加群の加算）が同じ演算であり、スカラー乗算が次を満たす ようなR加群で もある環 Aである。

${\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)}$

すべてのr はRに含まれ、x、y は代数に含まれる。(この定義は、環は乗法的単位元を持つはずなので、代数が環であるため単位元であることを意味します。 )

同様に、結合代数Aは、 RからAの中心への環準同型を伴う環である。f がそのような準同型であれば、スカラー乗法は( r , x ) ↦ f ( r ) xである（ここで乗法は環乗法である）。スカラー乗法が与えられれば、環準同型はr ↦ r ⋅ 1 _Aで与えられる。（下の§ 環準同型からも参照）。

すべての環は結合的なZ代数であり、ここでZ は整数の環を表します。

あ可換代数は可換環でもある結合代数です。

この定義は、単位結合R代数がR -Mod ( R -加群のモノイドカテゴリ) のモノイドオブジェクトであると言うことと同等です。定義により、環はアーベル群のカテゴリのモノイドオブジェクトです。したがって、結合代数の概念は、アーベル群のカテゴリを加群のカテゴリに置き換えることによって得られます。

この考えをさらに推し進めて、ある著者は、他のカテゴリのモノイドオブジェクトとして「一般化環」を導入しました。これは、モジュールのカテゴリのように動作します。実際、この再解釈により、代数Aの要素を明示的に参照する必要がなくなります。たとえば、結合性は次のように表現できます。モジュールのテンソル積の普遍的性質により、乗算 ( R双線形マップ) は、一意のR線形マップ に対応します。

${\displaystyle m:A\otimes _{R}A\to A}$。

結合性は、次の恒等式を指します。

${\displaystyle m\circ ({\operatorname {id} }\otimes m)=m\circ (m\otimes \operatorname {id} ).}$

結合的代数は、その像が中心にある環準同型に等しい。実際、環Aと、その像がAの中心にある環準同型η  : R → Aから始めて、定義することで AをR代数にすることができる。

${\displaystyle r\cdot x=\eta (r)x}$

すべてのr ∈ Rおよびx ∈ Aに対して。AがR代数でx = 1をとる場合、同じ式が、その像が中心にある 環準同型η  : R → Aを定義します。

環が可換であれば、それはその中心に等しいので、可換R代数は、可換環Aと可換環準同型η  : R → Aの組み合わせとして簡単に定義できます。

上に現れる環準同型η は、しばしば構造写像と呼ばれる。可換なケースでは、固定されたRに対する環準同型R → A、すなわち可換R代数をオブジェクトとし、Rのもとでの環準同型A → A ′を射とするカテゴリを考えることができる。すなわち、R → A → A ′はR → A ′である（すなわち、Rのもとでの可換環のカテゴリのコスライスカテゴリ）。次に、プライムスペクトル関数 Spec は、このカテゴリとSpec R上のアフィンスキームのカテゴリとの反同値性を決定する。

可換性仮定を弱める方法は、非可換代数幾何学、および最近では導来代数幾何学の主題です。一般行列環も参照してください。

2つのR代数間の準同型はR線型環準同型である。明示的には、φ  : A1 _→ A2_が結合代数準同型であるのは、

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (r\cdot x)&=r\cdot \varphi (x)\\\varphi (x+y)&=\varphi (x)+\varphi (y)\\\varphi (xy)&=\varphi (x)\varphi (y)\\\varphi (1)&=1\end{aligned}}}$

すべてのR代数のクラスとそれらの間の代数準同型はカテゴリを形成し、R -Algと表記されることもあります。

可換R代数のサブカテゴリは、コスライスカテゴリR / CRingとして特徴付けることができます。 ここで、CRing は可換環のカテゴリです。

最も基本的な例は環自体です。環は環の中心または中心にある任意の部分環上の代数です。特に、任意の可換環は任意の部分環上の代数です。他の例は代数と数学の他の分野の両方で豊富にあります。

• 任意の環A はZ代数とみなすことができます。 ZからAへの唯一の環準同型性は、 Aの単位元に 1 を送らなければならないという事実によって決定されます。したがって、環とZ代数は、アーベル群とZ加群が同値であるのと同じように、同値の概念です。
• 同様に、特性 nの任意の環は( Z / n Z )-代数です。
• R加群Mが与えられたとき、Mの自己準同型環End _R ( M ) は、 ( r · φ )( x ) = r · φ ( x )と定義することによりR代数となる。
• 可換環R の係数を持つ任意の行列環は、行列の加算と乗算の下でR代数を形成します。これは、 M が有限生成の自由Rモジュールである場合の前の例と一致します。
  • 特に、体Kからの要素を持つn行n 列の正方行列は、 K上の結合代数を形成します。
• 複素数は実数上の2次元可換代数を形成します。
• 四元数は、実数上の 4 次元結合代数を形成します (ただし、複素数は四元数の中心にないため、複素数上の代数ではありません)。
• すべての多項式環 R [ x ₁ , ..., x _n ]は可換R代数です。実際、これは集合{ x ₁ , ..., x _n }上の自由可換R代数です。
• 集合E上の自由R代数は、 Rの係数と集合Eから取られた非可換な不定値を持つ「多項式」の代数です。
• R加群のテンソル代数は、当然結合的なR代数です。同じことが、外積代数や対称代数などの商にも当てはまります。カテゴリ的に言えば、R加群をそのテンソル代数にマップする関数は、 R代数をその基礎となるR加群に送る関数の左随伴です(乗法構造は忘れてください)。
• 可換環R上の加群Mが与えられたとき、 M が無限小元から成ると考えることで、加群R ⊕ Mの直和はR代数の構造を持ちます。つまり、乗算は( a + x )( b + y ) = ab + ay + bxとして与えられます。この概念は双対数代数と呼ばれることもあります。
• クンツとクィレンによって導入された準自由代数は、代数的に閉じた体上の自由代数と半単純代数の一種の一般化です。

• リー代数の普遍包絡代数は、与えられたリー代数を研究するために使用できる結合代数です。
• Gが群でR が可換環である場合、有限台を持つGからRへのすべての関数の集合は、畳み込みを乗算とするR代数を形成します。これはGの群代数と呼ばれます。この構成は、（離散）群の研究への応用の出発点です。
• Gが代数群（例えば、半単純複素リー群）である場合、Gの座標環はGに対応するホップ代数Aです。Gの構造の多くはAの構造に変換されます。
• 有向グラフのクィーバー代数（またはパス代数）は、グラフ内のパスによって生成される体上の自由結合代数です。

• 任意のバナッハ空間 Xが与えられたとき、連続 線型作用素 A  : X → X は結合代数（作用素の合成を乗算として使用）を形成します。これがバナッハ代数です。
• 任意の位相空間 Xが与えられると、 X上の連続した実数値または複素数値関数は実数または複素数の結合代数を形成します。ここで、関数は点ごとに加算および乗算されます。
• フィルタリングされた確率空間(Ω, F , ( F _t ) _{t ≥0} , P)上で定義されたセミマルチンゲールの集合は、確率積分の下で環を形成する。^[要出典]
• ワイル代数
• 東谷代数

• 幾何学や物理学で役立つクリフォード代数。
• 局所有限 半順序集合の接続代数は、組合せ論で考慮される結合代数です。
• 分割代数とその部分代数。これにはBrauer 代数とTemperley-Lieb 代数が含まれます。
• 微分次数代数は、次数と微分を伴う結合代数です。たとえば、多様体M上の微分p形式で構成されるde Rham 代数は 、微分次数代数です。${\textstyle \Omega (M)=\bigoplus _{p=0}^{n}\Omega ^{p}(M)}$${\textstyle \Omega ^{p}(M)}$

• ポアソン代数は、リー代数の構造を伴った体上の可換結合代数であり、リー括弧 {,} はライプニッツ則を満たします。つまり、{ fg , h } = f { g , h } + g { f , h }です。
• ポアソン代数 が与えられたとき、上の形式的冪級数のベクトル空間を考えます。 が 乗法を伴う結合代数の構造を持ち、 に対して、 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}[\![u]\!]}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}[\![u]\!]}$${\displaystyle *}$${\displaystyle f,g\in {\mathfrak {a}}}$

  ${\displaystyle f*g=fg-{\frac {1}{2}}\{f,g\}u+\cdots ,}$

はの変形量子化と呼ばれます。${\displaystyle {\mathfrak {a}}[\![u]\!]}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

• 量子化された包絡代数。このような代数の双対は結合代数となり（§ 結合代数の双対を参照）、哲学的に言えば、量子群の（量子化された）座標環となる。
• ゲルステンハーバー代数

部分代数

R代数Aの部分代数は、Aの部分環と部分加群の両方であるAの部分集合です。つまり、加算、環乗算、スカラー乗算に対して閉じており、 Aの単位元を含んでいなければなりません。

商代数

A をR代数とする。Aの任意の環論的イデアル I は、 r · x = ( r 1 _A ) xであるため、自動的にR加群となる。これにより、商環A / I はR加群の構造を持ち、実際はR代数となる。したがって、Aの任意の環準同型像もR代数となる。

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R代数の族の直積は、環論的直積である。これは、明らかなスカラー乗算を持つR代数になる。

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群の自由積と同様の方法で、 R代数の自由積を形成できます。自由積は、R代数のカテゴリにおける余積です。

テンソル積

2 つのR代数のテンソル積も、自然な形でR代数です。詳細については、代数のテンソル積を参照してください。可換環Rと任意の環Aが与えられた場合、テンソル積 R  ⊗ _Z  A は、 r · ( s ⊗ a ) = ( rs ⊗ a )を定義することによってR代数の構造を持つことができます。AをR ⊗ _Z Aに送る関数は、R代数をその基になる環に送る関数の左随伴です(モジュール構造は忘れてください)。参照:環の変更。

自由代数

自由代数は、記号によって生成される代数です。交換法則を適用すると、つまり交換子による商を取ると、多項式代数が得られます。

A を可換環R上の結合代数とします。Aは特にモジュールなので、Aの双対モジュールA ^*を取ることができます。 事前に、双対A ^{* は}結合代数の構造を持つ必要はありません。 ただし、A には追加の構造 (つまり、ホップ代数の構造) が付属している可能性があり、その場合は双対も結合代数になります。

例えば、A をコンパクト群G上の連続関数の環とします。すると、A は結合代数であるだけでなく、共乗法Δ( f )( g , h ) = f ( gh )と共単位ε ( f ) = f (1)も伴います。^[1]「共」は、これらが代数公理における通常の乗法と共単位の双対を満たすという事実を指します。したがって、双対A ^*は結合代数です。共乗法と共単位は、結合代数の表現のテンソル積を形成するためにも重要です (以下の§ 表現を参照)。

可換環R上の結合代数Aが与えられたとき、Aの包絡代数A ^eは代数A ⊗ _R A ^opまたはA ^op ⊗ _R Aである（著者によって異なる）。^[2]

A上の双加群はまさにA ^e上の左加群であることに注意してください。

A を可換環R上の代数とする。このとき、代数Aは、作用x ⋅ ( a ⊗ b ) = axb を伴うA ^e  := A ^op ⊗ _R A上の右^[a]加群である。このとき、定義により、乗法写像A ⊗ _R A → A  : x ⊗ y ↦ xy がA ^e -線型写像^[3]として分解する場合、 Aは可分であると言われる。ここで、A ⊗ Aは、 ( x ⊗ y ) ⋅ ( a ⊗ b ) = ax ⊗ ybによりA ^e -加群である。同様に、^[b] AがA ^e上の射影加群である場合、 A は可分である。したがって、AのA ^e -射影次元は、 Aの二次元とも呼ばれ、可分性の失敗を測る尺度となる。

A を体k上の有限次元代数とする。このとき、Aはアルティン環である。

Aはアルティン体なので、可換であれば、アルティン局所環の有限積となり、その剰余体は基底体k上の代数となる。ここで、被約アルティン局所環は体であり、したがって以下は同値である^[4]

1. ${\displaystyle A}$分離可能です。
2. ${\displaystyle A\otimes {\overline {k}}}$は簡約され、ここではkの何らかの代数的閉包である。${\displaystyle {\overline {k}}}$
3. ${\displaystyle A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}}$あるnに対して。
4. ${\displaystyle \dim _{k}A}$は-代数準同型写像の数です。${\displaystyle k}$${\displaystyle A\to {\overline {k}}}$

kの有限ガロア拡大のprofinite 群をとする。このとき は、有限次元可分k代数のカテゴリと、連続 -作用を持つ有限集合のカテゴリの反同値である。^[5]${\displaystyle \Gamma =\operatorname {Gal} (k_{s}/k)=\varprojlim \operatorname {Gal} (k'/k)}$${\displaystyle A\mapsto X_{A}=\{k{\text{-algebra homomorphisms }}A\to k_{s}\}}$${\displaystyle \Gamma }$

単純アルティン環は分割環上の（完全な）行列環なので、Aが単純代数であれば、A はk上の分割代数D上の（完全な）行列代数です。つまり、A = M _n ( D )です。より一般的には、A が半単純代数であれば、それは（さまざまな分割k代数上の）行列代数の有限積であり、この事実はアルティン・ウェダーバーンの定理として知られています。

Aがアルティン環であるという事実は、ヤコブソン根基の概念を単純化します。アルティン環の場合、Aのヤコブソン根基は、すべての (両側の) 極大イデアルの交差です (対照的に、一般に、ヤコブソン根基は、すべての左極大イデアルの交差、またはすべての右極大イデアルの交差です)。

ウェッダーバーンの主定理は次のように述べている。^[6]有限次元代数Aとべき零イデアルIに対して、包絡代数( A / I ) ^e上の加群としてのA / Iの射影次元が高々1であれば、自然射影p  : A → A / I は分裂する。つまり、Aには部分代数Bが含まれ、p | _B  : B 〜→ A / Iは同型である。Iをヤコブソン根号とすると、この定理は特に、ヤコブソン根号が半単純代数によって補完されることを述べている。この定理は、リー代数に対するレヴィの定理の類似物である。

R を分数体K（例えば、Z、Q）を持つノイザン整域とする。有限次元Kベクトル空間V内の格子 L は、 Vを張るVの有限生成Rサブモジュールである。言い換えると、L ⊗ _R K = Vである。

A _{K を}有限次元K代数とする。A _Kの順序はR部分代数であり、格子である。一般に、順序の数は格子の数よりはるかに少ない。例えば、⁠1/2⁠ ZはQの格子であるが順序ではない（代数ではないため）。^[7]

最大順序とは、すべての順序の中で最大の順序です。

K上の結合代数は、 2 つの入力 (乗数と被乗数) と 1 つの出力 (積)を持つ双線型写像A × A → Aと、乗法単位元のスカラー倍を識別する射K → Aを備えた K ベクトル空間Aによって与えられます。双線型写像A × A → Aを線型写像 (つまり、Kベクトル空間のカテゴリの射) A ⊗ A → A (テンソル積の普遍的性質による) として再解釈すると、K上の結合代数を、代数公理に要約される特定の条件を満たす2 つの射 (形式A ⊗ A → Aの 1 つと形式K → Aの 1 つ) を備えたKベクトル空間Aと見なすことができます。これら 2 つの射は、代数公理を記述する可換図のすべての矢印を反転することによって、カテゴリ双対性を使用して双対化できます。これにより、余代数の構造が定義されます。

Fが関数である、F -余代数という抽象的な概念もあります。これは、上で説明した余代数の概念と漠然と関連しています。

代数Aの表現は、 Aから何らかのベクトル空間 (または加群) Vの自己準同型代数への代数準同型ρ  : A → End( V )です。 ρが代数準同型であるという性質は、 ρ が乗法演算を保存すること (つまり、Aのすべてのxとyについてρ ( xy ) = ρ ( x ) ρ ( y ) )、およびρ がAの単位を End( V )の単位に送る (つまり、 Vの恒等自己準同型に送る) ことを意味します。

AとB が2 つの代数であり、ρ  : A → End( V )とτ  : B → End( W )が 2 つの表現である場合、ベクトル空間V ⊗ W上のテンソル積代数 A ⊗ B の(標準的な) 表現A ⊗ B → End( V ⊗ W )が存在します。しかし、何らかの追加条件を課すことなしに、単一の結合代数の 2 つの表現のテンソル積を、結果が同じ代数の表現 (それ自身とのテンソル積ではない) となるように定義する自然な方法は存在しません。ここで、表現のテンソル積によって、通常の意味が意図されています。つまり、結果は積ベクトル空間上の同じ代数の線型表現である必要があります。このような追加の構造を課すと、通常、以下に示すように、ホップ代数またはリー代数のアイデアにつながります。

例えば、2つの表現σ  : A → End( V )とτ  : A → End( W )を考えてみましょう。積ベクトル空間にどのように作用するかに応じて、テンソル積表現ρ  : x ↦ σ ( x ) ⊗ τ ( x )を形成しようとすると、

${\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w)).}$

しかし、そのような地図は線形ではない。

${\displaystyle \rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)}$

k ∈ Kに対してである。代数準同型Δ : A → A ⊗ Aを定義し、テンソル積表現を次のように定義する ことで、追加の構造を課すことで、この試みを救い、線形性を回復することができる。

${\displaystyle \rho =(\sigma \otimes \tau )\circ \Delta .}$

このような準同型 Δ は、特定の公理を満たす場合、共乗法と呼ばれます。結果として得られる構造は双代数と呼ばれます。結合代数の定義と一致するように、余代数は共結合的でなければならず、代数が単位代数である場合、余代数も共単位代数でなければなりません。ホップ代数は、追加の構造部分 (いわゆる対掌体) を持つ双代数であり、これにより、2 つの表現のテンソル積を定義できるだけでなく、2 つの表現の Hom モジュールも定義できます (これも、群の表現論で行われる方法と同様です)。

テンソル積をより巧妙に定義してみることもできる。例えば、

${\displaystyle x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)}$

テンソル積空間への作用は次のように与えられる。

${\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)}$。

この写像は明らかにxに関して線形なので、前の定義の問題は発生しません。ただし、乗算は保存されません。

${\displaystyle \rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}$。

しかし、一般的には、これは

${\displaystyle \rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}$。

これは、テンソル積のこの定義が単純すぎることを示しています。明らかな修正は、中間の 2 つの項が打ち消されるように、テンソル積を反対称として定義することです。これにより、リー代数の概念が生まれます。

一部の著者は、必ずしも乗法単位元を持たない構造を指すために「結合代数」という用語を使用し、したがって必ずしも単位元ではない準同型を考慮します。

非単位結合代数の一例は、x が無限大に近づくときの極限が 0 になるすべての関数f  : R → Rの集合によって与えられます。

もう1つの例は、連続周期関数のベクトル空間と畳み込み積です。

• 抽象代数
• 代数構造
• 体上の代数
• 環空間上の代数の一種である代数層
• ホックシルトコホモロジーに関するドリーニュ予想