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幾何学において、ルース・ムーファンにちなんで名付けられたムーファン平面は、射影平面の一種であり、より具体的には特別な種類の並進平面である。並進平面は、並進直線、つまり直線上のすべての点を固定する自己同型群が、直線上にない平面上の点に推移的に作用するという性質を持つ直線を持つ射影平面である。 [1]平面のすべての直線が並進直線である場合、並進平面はムーファンである。[2]
特徴
ムーファン平面は、小デザルグ定理が成り立つ射影平面としても記述できます。[3]この定理は、デザルグ定理の制限された形式が平面上のすべての直線に対して成り立つことを述べています。[4] たとえば、すべてのデザルグ平面はムーファン平面です。[5]
代数的に言えば、任意の交代分割環上の射影平面はムーファン平面であり[6]、これは交代分割環の同型類とムーファン平面の同型類の間に1:1の対応を与える。
代数的アルティン・ツォルンの定理によれば、すべての有限交代分割環は体であるため、すべての有限ムーファン平面はデザルグ平面となるが、一部の無限ムーファン平面は非デザルグ平面となる。特に、八元数上の無限ムーファン射影平面であるケーリー平面は、八元数が分割環を形成しないため、非デザルグ平面の1つである。[7]
プロパティ
射影平面P上の以下の条件は同値である: [8]
- Pはムーファン機です。
- 任意の直線上のすべての点を固定する自己同型群は、その直線上にない点に対して推移的に作用します。
- 平面上のいくつかの三元環は代替分割環である。
- P は交代分割環上の射影平面に同型です。
また、Moufang の飛行機では、
- 自己同型群は四角形に対して推移的に作用する。[9] [10]
- 平面上の任意の2 つの三元環は同型です。
参照
注記
- ^ つまり、この直線とそのすべての点を射影平面から除去することによって形成されるアフィン平面上で、群は推移的に作用します。
- ^ ヒューズ＆パイパー 1973、101ページ
- ^ ピッカート 1975、186 ページ
- ^ この制限されたバージョンは、2 つの三角形が特定の直線上の点から透視され、対応する 2 組の辺もこの直線上で交わる場合、3 組目の対応する辺もこの直線上で交わることを示しています。
- ^ ヒューズ＆パイパー 1973、153ページ
- ^ ヒューズ＆パイパー 1973、139ページ
- ^ ワイベル、チャールズ（2007）「非デザルグ平面の調査」、AMSの通知、54（10）：1294–1303
- ^ H. クライン ムーファング プレーン
- ^ Stevenson 1972、392ページ StevensonはMoufangカンナを代替カンナと呼んでいます。
- ^ 推移的を鋭推移的と置き換えると、平面はパッピアンになります。
参考文献
- ヒューズ、ダニエル R.; パイパー、フレッド C. (1973)、射影平面、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-90044-6
- Pickert、Günter (1975)、Projektive Ebenen (Zweite Auflage 編)、Springer-Verlag、ISBN 0-387-07280-2
- スティーブンソン、フレデリック W. (1972)、射影平面、WH フリーマン & Co.、ISBN 0-7167-0443-9
さらに読む
- ティッツ、ジャック、ワイス、リチャード M. (2002)、Moufang 多角形、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-43714-7、MR 1938841