互いに直交するラテン方陣

組み合わせ論において、同じサイズ（次数）の2つのラテン方陣は、重ね合わせたときに各位置の順序付きペアの要素がすべて異なる場合、直交していると言われます。すべての次数が同じで、すべてのペアが直交するラテン方陣の集合は、相互に直交するラテン方陣の集合と呼ばれます。組み合わせ論におけるこの直交性の概念は、統計学におけるブロッキングの概念と密接に関連しています。ブロッキングとは、独立変数が隠れた交絡相関なしに真に独立していることを保証する概念です。したがって、「直交」は「独立」と同義であり、ある変数の値を知っても、別の変数の可能性のある値に関する情報は得られません。

直交するラテン方陣のペアを表す古い用語は、オイラーによって導入された「グレコ・ラテン方陣」である。

ギリシャ・ラテン方陣

2 つの集合 $S$ と $T$ (同じ集合でも可)上の $n 次$ 直交ラテン方陣、オイラー方陣、または一対の直交ラテン方陣は、それぞれ $n 個$ の記号から構成され、各セルに順序対 $($ $s$ $,$ $t$ $)が含まれる$ $n$ $\times$ $n$ のセル配置であり、 $s$ は $S の$ 要素、 $t$ は $T$ の要素であり、すべての行とすべての列に $S$ の各要素と $T$ の各要素がちょうど 1 回ずつ含まれ、2 つのセルに同じ順序対が含まれない。

ギリシャ・ラテン方陣（直交するラテン方陣のペア）
注文3
注文4
5番を注文する

$s$ 座標（ラテン文字と考えることができる）と $t$ 座標（ギリシャ文字）をそれぞれ並べると、ラテン方陣ができます。したがって、ラテン方陣は2つの直交ラテン方陣に分解できます。ここでの直交性とは、デカルト積 $S$ $\times$ $T$ のすべてのペア $（ s 、 t ）$ がちょうど1回ずつ出現することを意味します。

直交ラテン方陣はレオンハルト・オイラーによって詳細に研究され、彼は2つの集合を $S = {A, B, C, ... }（$ ラテン文字の最初の $n$ 個の大文字）と $T$ $=$ ${α$ $,$ $β,$ $γ,$ $... }（$ ギリシャ文字の最初の $n$ 個の小文字）とした。そのため、ギリシャ・ラテン方陣という名前が付けられた。

存在

ギリシャ・ラテン方陣を直交するラテン方陣のペアと見なすと、それぞれのラテン方陣には直交するペアが存在すると言われます。任意のラテン方陣において、各行と各列に1つずつ、すべての要素が異なる位置の集合を、その方陣の横断線と呼びます。 ^{[ 1 ]}ギリシャ・ラテン方陣の1つのシンボルを考えてみましょう。このシンボルを含む位置はすべて異なる行と列にあり、さらにこれらの位置にある他のシンボルはすべて異なっていなければなりません。したがって、ラテン方陣のペアと見なすと、最初の方陣の1つのシンボルを含む位置は、2番目の方陣の横断線に対応します（逆もまた同様です）。

n 次ラテン方陣が直交するメイトを持つのは、n 個の互いに素な横断線を持つ場合のみである。^{[ 2 ]}

奇数位数の任意の群のケイリー表（境界なし）は、直交するメイトを持つラテン方陣を形成する。^[²^]

このように、奇数位数に対応するグループが存在するため、すべての奇数位数に対してグレコ・ラテン方陣が存在します。このようなグレコ・ラテン方陣はグループベースであると言われます。

オイラーは4の倍数の位数のグレコ・ラテン方陣を構成することができた^{[ 2 ]}し、次の結果を認識していたようである。

位数が2の奇数倍（つまり、ある正の整数 $kに対して$ $4k$ +2に等しい）の場合、グループに基づくグレコ・ラテン方陣は存在し得ない。^[³^]

歴史

オイラーは、この主題に対する独自の数学的処理で知られていますが、直交ラテン方陣は彼よりも前から存在していました。トランプを使った古いパズルの形で、^{[ 4 ]} 4 × 4 セットの構成は、1725 年にジャック・オザナムによって発表されました。 ^{[ 5 ]}問題は、標準的なトランプのデッキからすべてのエース、キング、クイーン、ジャックを取り出し、各行と各列に 4 つのスートすべてと各数字のカードが 1 つずつ含まれるように、4 × 4 のグリッドに配置することでした。この問題にはいくつかの解法があります。

この問題の一般的なバリエーションは、16枚のカードを、行と列の制約に加えて、各対角線上に4つの絵柄と4つのスートすべてが含まれるように配置することだった。

1959年11月の「Mathematical Games」コラムでこの問題の変種を取り上げたマーティン・ガードナーによれば^[⁶^]、ラウズ・ボールは異なる解の数を72と誤って述べていた。この間違いは、キャスリーン・オレレンショーが正しい値144を見つけるまで何年も続いた。144の解はそれぞれ8回の反射と回転を持ち、合計1152の解となる。144 × 8の解は、次の2つの同値類に分類できる。

2つの解それぞれについて、4つのスートと4つの絵札をそれぞれ独立して並べ替えることで、24 ² = 576通りの解を導き出すことができます。スートと絵札が異なるため、どの並べ替えによっても2つの解を相互に変換することはできません。

36人の警官の問題

上記のカード問題に似た問題が1700年代後半にサンクトペテルブルクで出回っており、言い伝えによると、当時宮廷に滞在していたオイラーがエカチェリーナ2世からその解決を依頼されたという。 ^{[ 7 ]}この問題は36人の将校問題として知られており、^{[ 8 ]}オイラーは次のように紹介した。^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

長らく多くの人々の知恵を絞ってきた非常に興味深い問題が、私を以下の研究へと導きました。この研究は、特に組み合わせの研究という新たな分析分野を開拓するものと思われます。その問題とは、6つの異なる連隊から選ばれた36人の将校を正方形に配置し、各行（水平方向と垂直方向の両方）に異なる階級と異なる連隊の将校が6人ずつ並ぶようにすることです。

—レオンハルト・オイラー

オイラーは問題を解決できなかったが、この研究で、 $n$ が奇数または4の倍数である場合のグレコ・ラテン方陣の構成法を示した。2次の方陣が存在しないこと、および6次の方陣を構成できないことに気付き、任意の奇偶数 $n\equiv2 （ mod 4）に対しては存在しないと推測した。6$ 次の方陣の非存在は、1901年にガストン・タリーが網羅的証明によって確認した。^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}しかし、オイラーの予想は1950年代後半まで解決されず、この問題は組み合わせ論における重要な研究につながった。^{[ 13 ]}

1959年、RC BoseとSS Shrikhandeは、数学的洞察を用いて、次数22の反例（オイラーのスポイラーと呼ばれる）をいくつか構築した。 ^{[ 14 ]} その後、ET Parkerは、 Remington RandのUNIVAC部門で働いていたときに、UNIVAC 1206ミリタリーコンピュータで1時間のコンピュータ検索を使用して、次数10の反例を発見した（これは、デジタルコンピュータで解決された最も初期の組み合わせ論の問題の1つである）。

1959 年 4 月、パーカー、ボーズ、シュリカンデは、オイラー予想が $n \geq 7の場合すべて偽であることを示す論文を発表した。$ ^{[ 15 ]} $したがって、 n$ $= 2、6 を$ 除くすべての次数 $n > 1$ に対してグレコ・ラテン方陣が存在する。1959年 11 月号のサイエンティフィック・アメリカン誌で、マーティン・ガードナーはこの結果を発表した。^[⁶^]表紙は、オイラー予想の 10 × 10 反駁である。

36人の警察官が巻き込まれた問題

相互に直交するラテン方陣の量子領域への拡張は、2017 年以来研究されてきました。^{[ 17 ]} これらの設計では、記号の一意性の代わりに、配列の要素は、行と列で互いに直交しなければならない量子状態です。2021 年に、インドとポーランドの物理学者チーム (Rather、Burchardt、Bruzda、Rajchel-Mieldzioć、Lakshminarayan、Życzkowski ) は、サイズ 6 の相互に直交する量子ラテン方陣の例を提供する量子状態の配列、または同等に、もつれ合う 36 人の役員の配置を発見しました。^{[ 16 ]}^{[ 18 ]}^{[ 19 ]} この設定は、36人のオイラーの将校問題の一般化を解決するとともに、新しい量子エラー検出コードを提供し、6レベルのシステムを1つのエラーの発生を証明する3つの6レベルのシステムにエンコードすることを可能にします。

過去の作品および自主研究：チェ・ソクジョン

直交ラテン方陣の歴史が特に注目すべきなのは、その概念が一度ではなく二度、しかも何世紀も隔てて、遠く離れた場所で独立して発見されたことである。崔錫鼎（1646年 - 1715年）は朝鮮王朝の有力な政治家で、首相に相当する王国の最高官職である永義政（영의정）を複数期務めた。しかし、政治家としてのキャリアと並行して、彼は並外れた深みのある数学的業績を残した。1700年頃に出版された著書『九数略（구수략）』の中で、崔は9次の直交ラテン方陣のペアを構成した。これは、レオンハルト・オイラーがこの主題について研究する少なくとも67年も前の偉業である。 ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}崔は、新儒教、易経の哲学、古典的な東洋数学に根ざした全く異なる知的伝統を通じてこの構造に到達し、当時のヨーロッパの学問との関連は知られていない。彼の構築は『九九母数変宮陽図』で九九母数変宮陽図（구구모수변궁양도）と呼ばれ、行、列、対角線の合計が369になる9次の魔方陣を作るために応用された。今日、崔は学者によって朝鮮時代の最も偉大な数学者とみなされており、政治的権力と数学的業績の両方で頂点に達した稀有な人物である。

相互直交ラテン方陣（MOLS）の例

同じ次数を持つラテン方陣の集合で、すべてのペアが直交している（つまり、グレコ・ラテン方陣を形成する）ものは、相互直交ラテン方陣（またはペアワイズ直交ラテン方陣）の集合と呼ばれ、次数が明示されている場合は通常、MOLSまたはMOLS( n )と略記されます。

例えば、MOLS(4)のセットは次のように与えられます。^{[ 23 ]}

{\begin{matrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\4&3&2&1\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\\2&1&4&3\\3&4&1&2\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\\4&3&2&1\\2&1&4&3\end{matrix}}.

そしてMOLS(5)のセット：^{[ 24 ]}

{\begin{matrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&1\\3&4&5&1&2\\4&5&1&2&3\\5&1&2&3&4\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1&2&3&4&5\\3&4&5&1&2\\5&1&2&3&4\\2&3&4&5&1\\4&5&1&2&3\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1&2&3&4&5\\5&1&2&3&4\\4&5&1&2&3\\3&4&5&1&2\\2&3&4&5&1\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1&2&3&4&5\\4&5&1&2&3\\2&3&4&5&1\\5&1&2&3&4\\3&4&5&1&2\end{matrix}}.

MOLSは、例えばギリシャ・ラテン方陣に似た「複合」行列形式で表現することも可能ですが、

上記の MOLS(5) の例では、MOLS を直交配列としてコンパクトに表現するのが一般的です (下記参照)。^{[ 25 ]}

これまで挙げた MOLS の例では、各マスに同じアルファベット (記号セット) が使用されていますが、ギリシャ語とラテン語のマスが示すように、これは必ずしも必要ではありません。実際には、MOLS の各マスにまったく異なる記号セットを使用できます。たとえば、

これは、上記の複合MOLS(5)の例を表したもので、4つのMOLSはそれぞれ次のアルファベットを持ちます。

したがって、上記の表では、完全な要因計画で必要とされる625（= 5 ^⁴）回の観測ではなく、わずか25回の観測で4つの異なる次元それぞれについて5つの値をテストできます。5つの単語はアルファベット26文字すべてを網羅しているため、この表ではアルファベットの各文字を5つの異なる書体と色の組み合わせで調べることができます。

互いに直交するラテン方陣の数

MOLS の集合の相互直交性は、

すべての正方形の行を同時に並べ替えると、
すべての正方形の列を同時に並べ替え、
任意のマス目の要素を、それぞれ独立して並べ替える。

これらの操作を使用すると、任意の MOLS セットを標準形式に変換できます。つまり、すべての正方形の最初の行は同一で、通常は自然な順序で並べられ、1 つの正方形の最初の列もこの順序になります。^{[ 26 ]}このセクションの冒頭にある MOLS(4) と MOLS(5) の例は標準形式に変換されています。

$MOLS( n$ )の集合を標準形式にし、各正方形の 2 行目と 1 列目のエントリを調べると、 $n$ − 1個を超える正方形は存在しないことがわかります。 ^{[ 27 ]} $n$ − 1 個の MOLS( $n$ )の集合は、 MOLS の完全集合と呼ばれます。完全集合は、 $n が$ 素数または素数のべき乗である場合に存在することが知られています(下記の有限体構成を参照)。ただし、一般的な $nに対して、与えられた順序$ $n$ に対して存在する可能性のある MOLS の数はわかっておらず、組み合わせ論の研究分野となっています。

射影平面

$n$ − 1 個の MOLS( $n$ )の集合は、 $n$ 位の有限アフィン平面と等価である(下記のNets を参照)。^[¹⁰^]すべての有限アフィン平面は、同じ位の有限射影平面に一意に拡張できるため、この等価性は、これらの射影平面の存在によっても表現できる。^[²⁸^]

前述のように、 $n が素数または素数のべき乗の場合、MOLS($ $n$ ) の完全な集合が存在するため、そのような位数の射影平面が存在する。これらとは異なる位数の有限射影平面、したがってそのような位数の MOLS の完全な集合は、存在することが知られていない。^[¹⁰^]

有限射影平面の非存在に関する唯一の一般的な結果は、ブルック・ライザーの定理であり、 $n$ 位の射影平面が存在し、 $n$ ≡ 1 (mod 4)または $n$ ≡ 2 (mod 4) である場合、 $n$ は 2 つの (整数) 平方数の和でなければならないと述べている。^{[ 29 ]} $これは、たとえば 6 位と 14 位の射影平面を排除するが、 n が$ 条件を満たす場合に平面の存在を保証するものではない。特に、 $n$ = 10 は条件を満たすが、非常に長いコンピュータ検索によって示されたように、10 位の射影平面は存在しない。^{[ 30 ]}これは、10 位の 9 つの MOLS が存在しないことを意味する。

他に存在が確認された事例はない。2020年現在、完全な MOLS セットの存在が未確定となる最小の次数は 12 である。^{[ 10 ]}

マクネイシュの定理

$MOLS( n$ )の最小数は、 $n$ =2または6の場合を除いて2であることが知られています $。n$ =2または6の場合は1です。しかし、さらに言うことができます。すなわち、^[³¹^]

マクネイシュの定理：もし $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ は、整数 $n$ を異なる素数のべき乗に因数分解したものです。 $p_{1},p_{2},\cdots ,p_{r}$ それから

MOLSの最小数(

n

)

\geq {\underset {i}{\operatorname {min} }}\{p_{i}^{\alpha _{i}}-1\}.

マクネイシュの定理は、例えば $n$ ≡ 2 (mod 4)、つまり素因数分解に 2 が 1 つだけ含まれる場合、下限値として 1 を与えますが、 $n$ > 6 の場合はこの値よりも低い値になります。一方、 $n が$ 素数のべき乗である場合は、正しい値を与えます。

$一般的な合成数については、 MOLS$ の数は不明です。n = 2、3、4... から始まる最初のいくつかの値は、1、2、3、4、1、6、7、8、... です( OEISのシーケンスA001438 )。

$MOLS( n$ ) の正確な数が不明な最小ケースは $n$ = 10 です。グレコ・ラテン方陣の構成から、少なくとも 2 つ存在する必要がありますが、位数 10 の射影平面が存在しないことから、9 つ未満です。実際、Shrikhande は ( n = 4 を除いて) n – 3 MOLSの存在はn – 1 MOLS (したがって射影平面)の存在を意味することを証明しました^{[ 32 ]} 。したがって、位数 10 の MOLS は 7 つ未満です。多くの研究者がそのような集合を発見しようと試みましたが、3 つの MOLS(10) の集合はこれまで発見されていません。^{[ 33 ]}

$n$ が十分に大きい場合、MOLSの数は以下より大きくなります。 ${\sqrt[{14.8}]{n}}$ $したがって、すべてのk$ に対して、 MOLS の数が $kとなる$ $n$ は有限個しか存在しない。^[³⁴^]さらに、最小値はすべての $n$ > 90 に対して 6 である。

有限体構成

$qが素数または素数のべき乗である場合、MOLS($ $q$ )の完全な集合が存在します。これは、 $q$ が素数または素数のべき乗の場合にのみ存在する有限体GF ( $q$ )に基づく構成から導かれます。 ^[³⁵^] GF ( $q$ )の乗法群は巡回群であり、生成元 λ を持ちます。つまり、体のすべての非ゼロ要素は λ の異なるべき乗として表現できます。GF ( q $)$ の $q$ 要素を次のように命名します。

α ₀ = 0、α ₁ = 1、α ₂ = λ、α ₃ = λ ²、...、α _{$q$ -1} = λ ^{$q$ -2}。

ここで、λ ^{$q$ -1} = 1 であり、α に関する 2 つの非ゼロ要素の積の規則は α _$i$ α _$j$ = α _$t$であり、 $t$ – 1 = $i$ – 1 + $j$ – 1 (mod $q$ – 1) です。ラテン方陣は次のように構成され、ラテン方陣 L _$r$ ( $r \neq 0) の ($ $i, j$ ) 番目の要素はL _$r$ ( $i,j$ ) = α _$i$ + α _$r$ α _$j$であり、すべての演算はGF ( $q$ ) で行われます。体が素体 ( $q$ = $p$ が素数) であり、体の要素が通常の方法で $p を$ 法とする整数として表現される場合、上記の命名規則は省略でき、構成規則は L _$r$ ( $i,j$ ) = $i$ + $rj$ に簡略化できます。ここで $r$ ≠ 0 であり、 $i$ 、 $j$ 、 $r は$ GF ( $p$ )の要素であり、すべての演算はGF ( $p$ )で行われます。上記の MOLS(4) および MOLS(5) の例は、アルファベットの変更はあるものの、この構成から生じました。

すべての完全な MOLS の集合がこの構成から生じるわけではありません。この体構成から得られる完全な MOLS の集合に関連付けられている射影平面は、特殊なタイプであるデサルグ射影平面です。非デサルグ射影平面が存在し、それらに対応する完全な MOLS の集合は有限体からは得られません。^{[ 36 ]}

直交配列

強度2、インデックス1の直交配列OA(k,n)は、サイズnの集合からのエントリを持つn 2 × k配列A（k ≥ 2、n ≥ 1、整数）であり、Aの任意 $の$ $2$ つ $の列（強度$ ） $内$ で $、$ すべて $の$ $順序$ 付きシンボルペアが $A$ のちょうど1つの行（インデックス）に現れる。^[³⁷^]

OA( $s$ + 2, $n )は$ $s$ MOLS( $n$ )と同等である。^{[ 37 ]} 例えば、上記で示し、ここでも繰り返すMOLS(4)の例、

{\begin{matrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\4&3&2&1\\&L_{1}&&\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\&L_{2}&&\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\\4&3&2&1\\2&1&4&3\\&L_{3}&&\end{matrix}}

OA(5,4)を形成するために使用できます。

ここで、rとcというラベルの付いた列のエントリは、正方形内の位置の行と列を表し、固定されたrとc の値に対して、行の残りの部分は、各ラテン方陣のその位置のエントリで埋められます。このプロセスは可逆です。s ≥ 3 の OA( $s$ , $n$ )が与え $られ$ た場合、任意の 2 つの列を選択してrとcの役割を果たさせ、残りの列のエントリでラテン方陣を埋めます。

より一般的な直交配列は、相互に直交するラテンキューブなど、MOLSの概念を一般化したものである。

ネット

（幾何学的）（ $k,n ）ネットは、$ 点と呼ばれる $n$ ²個の要素の集合と、線またはブロックと呼ばれる $kn$ 個の部分集合の集合であり、各部分集合のサイズは $nで、2つの異なる線が最大1点で交差するという性質を持ちます。さらに、線は$ $k$ 個の並列クラス（どの2つの線も交わらない）に分割でき、各クラスには $n$ 本の線が含まれます。^[³⁸^]

( $n$ + 1, $n )-ネットは$ $n$ 次のアフィン平面です。

$k個$ のMOLS( $n$ )の集合は、( $k$ +2, $n$ )-ネットに相当する。^{[ 10 ]}

$k$ MOLS( $n$ )から( $k$ + 2, $n$ )-ネットを構築するには、MOLS を直交配列 OA( $k$ + 2, $n$ ) として表現します (上記参照)。直交配列の各行の $r$ と $c$ の列のエントリの順序対は、ネットの $n$ ²点の座標とみなされます。その他の各列 (つまり、ラテン方格) は、並列クラスの線を定義するために使用されます。L _iの列によって決定される $n本の線は$ l _ijで表されます。l _ij上の点は、 L _i列のエントリが $j$ である行に対応する座標を持つ点です。r $列$ と $c$ 列に対応する 2 つの追加の並列クラスがあります。線 $r$ _jと $c$ _j $は、それぞれ最初の座標がj$ である点、または 2 番目の座標が $j$ である点で構成されます。この構成は可逆です。^[³⁹^]

例えば、上記のセクションのOA(5,4)は、(5,4)ネット（4次のアフィン平面）を構築するために使用できます。各線上の点は次のように与えられます（以下の各行は平行な線群です）。

横断的なデザイン

サイズ $nとインデックス λ の$ $k 個$ のグループを持つ横断的デザインは、T[ $k$ , λ; $n$ ] と表記され、次の 3 つ ( $X, G, B$ ) で表されます。^[⁴⁰^]

$Xは$ $kn個$ の多様体の集合である。
$G = {G 1, G 2, ..., G k$ $} は、 X$ の分割を形成する $kn$ 個の集合 (グループと呼ばれますが、代数的な意味ではありません)の族です。
$Bは、$ $k$ 個の集合 (ブロックと呼ばれる) からなる多様体の族であり、 $B$ 内の各 $k$ 個の集合は、各グループ $G$ $i$ とちょうど 1 つの多様体で交差し、異なるグループに属する多様体の任意のペアは、 $B$ 内のちょうど λ 個のブロックで一緒に出現する。

T[ $k$ ,1; $n ] デザインの存在は、$ $k$ -2 MOLS( $n$ )の存在と同等である。^{[ 41 ]}

横断的設計 T[ $k$ ,1; $n$ ] は、( $k,n )-ネットの$ 双対接続構造です。つまり、 $nk$ 個の点と $n$ ²個のブロックを持ちます。各点は $n 個の$ ブロックに属し、各ブロックには $k$ 個の点が含まれます。点は、サイズ $nの$ $k$ 個の同値類 (グループ)に分類され、同じグループ内の 2 つの点はブロックに含まれず、異なるグループ内の 2 つの点はちょうど 1 つのブロックに属します。^[⁴²^]

例えば、前のセクションの (5,4) ネットを使用して、T[5,1;4] 横断デザインを構築できます。ネットの点 ( $i, j ) に関連付けられたブロックは$ $b$ _ijと表記されます。デザインの点は、次のスキームから得られます: $r$ _i ↔ $i$ 、 $c$ _j ↔ 5 $j$ 、および $l$ _ij ↔ 5 $i$ + $j$ 。したがって、デザインの点は整数 1、...、20 で表されます。デザインのブロックは次のとおりです。

5つの「グループ」は以下のとおりです。

グラフ理論

$k$ MOLS( $n$ )の集合は、完全な ( $k$ + 2) 分割グラフK _{n ,..., n} $を次数k$ + 2の完全な部分グラフに分割することと同等である。^[¹⁰^]

アプリケーション

互いに直交するラテン方陣は、非常に多様な用途があります。統計的実験計画法、トーナメントスケジューリング、誤り訂正符号や誤り検出符号などの構築の出発点として用いられます。オイラーがラテン方陣に興味を持ったのは、魔方陣を構築したいという願望からでした。フランスの作家ジョルジュ・ペレックは、 1978年の小説『人生：ユーザーマニュアル』を10 × 10のラテン方陣を中心に構成しました。

注記

↑これは文献において、オイラーの公式、ディレクトリックス、 1置換、対角線など、いくつかの名称で呼ばれてきた。（Dénes & Keedwell 1974 、p. 29）
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参考文献

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外部リンク

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ワイスタイン、エリック W. 「36 士官問題」。マスワールド。
収束におけるオイラーのラテン方陣とオイラー方陣に関する研究
ギリシャ・ラテン方陣の構築を支援するJavaツール（ツール自体は構築しません）
正方形以外のもの：魔法陣から数独まで
歴史的事実と魔方陣との関連性、1x1から10x10までのグレコ・ラテン方陣を解くJavaScriptアプリケーション、および関連するソースコード（FirefoxブラウザのJavaScriptとHTML5モバイルデバイス）
グライム、ジェームズ（2020年5月8日）。「オイラースクエア」（動画）。YouTube 。ブレイディ・ハラン。 2021年12月12日のオリジナルからアーカイブ。 2020年5月9日取得。

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