一般化多角形

数学において、一般化多角形は、 1959 年にジャック・ティッツによって導入された接続構造です。一般化n角形には、特殊なケースとして、射影平面(一般化三角形、n = 3) と一般化四角形( n = 4) が含まれます。多くの一般化多角形はリー型 の群から生じますが、この方法では得られない特殊な多角形も存在します。ムーファン特性と呼ばれる技術的条件を満たす一般化多角形は、ティッツとワイスによって完全に分類されています。n が偶数の一般化n角形はすべて、近似多角形でもあります。

一般化された2角形 (または二角形) は、少なくとも 2 つの点と 2 つの線があり、各点が各線に接する 接続構造です。

一般化されたn角形の場合、は接続構造( ) であり、 は点の集合、は直線の集合、 は接続関係であり、次のようになります。 ${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle P,L,I}$${\displaystyle P}$${\displaystyle L}$${\displaystyle I\subseteq P\times L}$

• それは部分線型空間です。
• の部分幾何学として通常のm角形は存在しません。${\displaystyle 2\leq m<n}$
• 通常のn角形をサブジオメトリとして持ちます。
• 任意の n 角形に対して、となる通常のn角形と同型な部分幾何学 ( ) が存在する。${\displaystyle \{A_{1},A_{2}\}\subseteq P\cup L}$${\displaystyle P',L',I'}$${\displaystyle \{A_{1},A_{2}\}\subseteq P'\cup L'}$

これらの条件を表現する同等だが場合によってはより簡単な方法は、頂点セットと、点と線の入射ペアを接続する辺を持つ 二部 入射グラフを考えることです。${\displaystyle P\cup L}$

• 入射グラフの周囲の長さは、入射グラフの直径 nの 2 倍です。

このことから、一般化多角形の発生グラフはムーアグラフであることが明らかである。

一般化多角形の順序が(s,t)である場合:

• の元に対応する接続​​グラフのすべての頂点は、ある自然数sに対して同じ次数s + 1 を持ちます。言い換えると、すべての線にはちょうどs + 1 個の点が含まれます。${\displaystyle L}$
• の要素に対応する接続​​グラフのすべての頂点は、ある自然数tに対して同じ次数t + 1 を持ちます。言い換えると、すべての点はちょうどt + 1 本の線上にあります。${\displaystyle P}$

一般化多角形は、すべての点 (線) が少なくとも 3 本の線 (点) と交差する場合に太いとされます。すべての太い一般化多角形には順序があります。

一般化されたn角形 ( )の双対は、点と線の概念が逆転した接続構造であり、接続関係はの逆の関係とみなされます。これが再び一般化されたn角形であることが簡単に示されます。 ${\displaystyle P,L,I}$${\displaystyle I}$

• 一般化二角形の接続グラフは完全な二部グラフK _{s +1, t +1}です。
• n ≥ 3 の任意の自然数について、 n辺を持つ通常の多角形の境界を考えます。多角形の頂点を点、辺を線と宣言し、包含関係を接続関係とします。これにより、s = t = 1の一般化されたn角形が生成されます。
• 階数 2 のリー型グループ Gごとに、nが 3、4、6、または 8 である一般化 n 角形 X が関連付けられていて、GはXの旗の集合に対して推移的に作用します。有限の場合、n = 6 のとき、 G ₂ ( q )に対して( q、q )次数の分割ケイリー六角形と、 ³ D ₄ ( q ³ )に対して( q ³、q )次数のねじれ三角形が得られ、 n = 8 のとき、² F ₄ ( q )に対して ( q、q ² )次数のリー・ティッツ八角形がq = 2 ^{2 n +1}で得られます。双対性を除き、これらは唯一知られている厚い有限の一般化六角形または八角形です。

ウォルター・フェイトとグラハム・ヒグマンは、s  ≥ 2、t ≥ 2の次数( s、t ) の有限一般化n角形は、 n が次の値の場合にのみ存在できることを証明しました。

2、3、4、6、または 8。Feit-Higman の結果の別の証明は、Kilmoyer と Solomon によって与えられました。

これらの値の一般化された「n」角形は、一般化された二角形、三角形、四角形、六角形、八角形と呼ばれます。

フェイト-ヒグマン定理をヘーマース-ルース不等式と組み合わせると、次の制限が得られます。

• n = 2の場合、接続グラフは完全な二部グラフであるため、「s」、「t」は任意の整数になります。
• n = 3の場合、構造は有限射影平面であり、s = tです。
• n = 4の場合、構造は有限の一般化四角形となり、t ^1/2 ≤ s ≤ t ^{2 と}なります。
• n = 6の場合、st は正方形であり、t ^1/3 ≤ s ≤ t ³です。
• n = 8の場合、2st は平方数であり、t ^1/2 ≤ s ≤ t ²です。
• sまたはt が1 になることが許可され、構造が通常のn角形でない場合は、すでにリストされているnの値の他に、n = 12 のみが可能です。

s , t > 1 のとき、位数 ( s , t )の既知の有限一般化六角形はすべて位数

• ( q , q ): 分割されたケーリー六角形とその双対、
• ( q ³ , q ): ねじれた三角六角形、または
• ( q , q ³ ): 双対ねじれ三角六角形、

ここでqは素数累乗です。

s , t > 1 の位 数 ( s , t )の既知のすべての有限一般化八角形は位数

• （q、q ²）：リー・ティッツ八角形または
• ( q ² , q ): 双対リー・ティッツ八角形、

ここでqは2の奇数乗です。

sとtが両方とも無限大の場合、2 以上の各nに対して一般化多角形が存在します。パラメータの 1 つが有限 (かつ1より大きい) で、もう 1 つが無限大である一般化多角形が存在するかどうかは不明です (これらのケースは半有限と呼ばれます)。Peter Cameron は、各線上に 3 つの点がある半有限の一般化四角形が存在しないことを証明し、Andries Brouwerと Bill Kantor はそれぞれ独立に、各線上に 4 つの点がある場合を証明しました。各線上に 5 つの点がある場合の非存在結果は、G. Cherlin によってモデル理論を使用して証明されました。^[1]一般化された六角形や八角形については、各線上に 3 つの点がある最小の場合であっても、それ以上の仮定を行わない限り、そのような結果はわかっていません。

前述のように、一般化多角形の接続グラフには重要な特性があります。たとえば、次数(s,s)のすべての一般化n角形は(s+1,2n)ケージです。これらは優れた拡張特性を持つため、拡張グラフとも関連があります。 ^[2]いくつかのクラスの極値拡張グラフは、一般化多角形から得られます。^[3]ラムゼー理論では、一般化多角形を使用して構築されたグラフは、非対角ラムゼー数に関する最もよく知られている構成的下限のいくつかを与えます。^[4]

• 建物（数学）
• (B, N) ペア
• リーグループ
• 牟芳多角形
• 近くのポリゴン

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