非デザルグ平面

数学において、非デザルグ平面とは、デザルグの定理（ジラール・デザルグにちなんで名付けられた）を満たさない射影平面、つまりデザルグ平面ではない平面のことである。デザルグの定理は、次元が 2 でないすべての射影空間で成り立つ。 ^[1]言い換えれば、次元が 2 でない射影空間は、体（または分割環）上の古典的な射影幾何学のみである。しかし、デイヴィッド・ヒルベルトは、いくつかの射影平面がこの定理を満たさないことを発見した。^{[2] [3]}これらの例に関する現在の知識は完全ではない。^[4]

有限および無限の非デザルグ平面 の例は数多くあります。無限の非デザルグ平面の既知の例には次のものがあります。

• モールトンのかんな。
• 八元数上の射影平面など、結合的でない代替除算代数上のMoufang 平面。すべての有限代替除算環は体 ( Artin–Zorn 定理) であるため、非デザルグ Moufang 平面は無限です。

有限の非デザルグ平面に関しては、高々8の位数を持つすべての射影平面はデザルグ平面であるが、位数9の非デザルグ平面の例が3つあり、それぞれ91個の点と91本の直線を持つ。^[5]これらは以下の通りである。

• 9次のヒューズ平面。
• 9 次ホール平面。この平面は当初ヴェブレンとウェダーバーンによって発見され、マーシャル・ホールによって無限の平面族に一般化されました。ホール平面は、より一般的なアンドレ平面のサブクラスです。
• 9次のホール平面の双対。

有限および無限の非デザルグ平面の他の構成は数多く知られています。たとえば、Dembowski (1968) を参照してください。有限非デザルグ平面の既知の構成はすべて、位数が真素数冪、つまりp ^eの形式の整数である平面を生成します。ここで、 pは素数で、e は1 より大きい整数です。

ハンフリート・レンツは1954年に射影平面の分類体系を提示し^[6] 、これは1957年にアドリアーノ・バルロッティによって改良された。 ^[7]この分類体系は平面の共線群によって許される点と線の推移性のタイプに基づいており、レンツ・バルロッティ射影平面の分類として知られている。53種類のリストはデンボウスキー（1968、pp. 124-125）に掲載されており、有限および無限の場合の両方で当時知られていた存在結果（共線群とそのような共線群を持つ平面の両方）の表が126ページに掲載されている。2007年現在、「そのうち36は有限群として存在し、7から12は有限射影平面として存在し、14または15は無限射影平面として存在する。」^[4]

他にも分類体系は存在する。最も単純なものの一つは、射影平面を座標化するために使用できる特殊なタイプの平面三元環（PTR）に基づくものである。これらのタイプには、体、スキュー体、交互分割環、半体、近傍体、右近傍体、準体、右準体がある。^[8]

デザルグ射影平面では、円錐はいくつかの異なる方法で定義することができ、それらは同等であることが証明できる。非デザルグ平面ではこれらの証明はもはや有効ではなく、異なる定義は同等でないオブジェクトを生み出す可能性がある。^{[9]セオドア・G・オストロムはこれらの円錐状図形に}コニコイドという名前を提案したが、正式な定義は提供しておらず、この用語は広く使用されていないようだ。^[10]

デザルグ平面で円錐曲線を定義する方法はいくつかあります。

1. 極性の絶対点の集合は、フォン・シュタウトの円錐曲線として知られています。平面が特性2の体上で定義されている場合、退化した円錐曲線のみが得られます。
2. 射影的には関連しているが、透視的には関連していない 2 本の線分の対応する線の交点の集合は、シュタイナー円錐曲線として知られています。線分が透視的に関連している場合、円錐曲線は退化しています。
3. 座標が 2 次既約同次方程式を満たす点の集合。

さらに、有限デザルグ平面では次のようになります。

4. PG(2, q )内の 3 点が同一直線上にないq + 1点の集合を楕円と呼びます。q が奇数の場合、セグレの定理により、 PG(2, q )内の楕円は、上記 3 の意味で円錐曲線になります。
5. オストロム円錐は調和集合の一般化に基づいています。

Artzyは、Moufang平面におけるSteiner円錐の例を示しており、これはvon Staudt円錐ではない。^[11] Garnerは、有限半体平面におけるOstrom円錐ではないvon Staudt円錐の例を示している。^[9]

• アルバート、A. エイドリアン; サンドラー、ルーベン (1968)、『有限射影平面入門』、ニューヨーク: ホルト、ライナーハート、ウィンストン
• コルボーン、チャールズ J.、ディニッツ、ジェフリー H. (2007)、コンビナトリアル デザイン ハンドブック(第 2 版)、ボカラトン: チャップマン & ホール/CRC、ISBN 1-58488-506-8
• デンボウスキー、ピーター（1968）、有限幾何学、ベルリン：シュプリンガー出版社
• ホール、マーシャル (1943)、「射影平面」、アメリカ数学会誌、54 (2)、アメリカ数学会: 229–277、doi : 10.2307/1990331、ISSN  0002-9947、JSTOR  1990331、MR  0008892
• ヒューズ、ダニエル R.; パイパー、フレッド C. (1973)、射影平面、ニューヨーク: シュプリンガー出版社、ISBN 0-387-90044-6
• Kárteszi, F. (1976)、Introduction to Finite Geometries、アムステルダム：North-Holland、ISBN 0-7204-2832-7
• リューネブルク、ハインツ (1980)、Translation Planes、ベルリン: Springer Verlag、ISBN 0-387-09614-0
• ルーム、TG; カークパトリック、PB (1971)、ミニ四元数幾何学、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-07926-8
• シドロフ、LA (2001) [1994]、「非デザルグ幾何学」、数学百科事典、EMS プレス
• スティーブンソン、フレデリック W. (1972)、射影平面、サンフランシスコ: WH フリーマン アンド カンパニー、ISBN 0-7167-0443-9
• ワイベル、チャールズ（2007）「非デザルグ平面の調査」、AMSの通知、54（10）：1294–1303