切断された射影平面

幾何学において、切断射影平面（TPP）は、双対アフィン平面とも呼ばれ、次のように構築される特殊な種類のハイパーグラフまたは幾何学的構成です。 ^{[1] [2]}

• 有限射影平面をとります。
• 平面内の点（頂点）の 1 つを削除します。
• その点を含むすべての線 (エッジ) を削除します。

これらのオブジェクトは、多くの場合互いに独立して、さまざまな設定で研究されてきたため、多くの用語が開発されてきました。また、さまざまな領域では、これらのオブジェクトについてさまざまなタイプの質問がされる傾向があり、同じオブジェクトのさまざまな側面に興味があります。

次数 2 の射影平面である ファノ平面を考えます。この平面には 7 つの頂点 {1,2,3,4,5,6,7} と 7 つの辺 {123, 145, 167, 246, 257, 347, 356} があります。

これは、例えば頂点 7 とそれを含む辺を削除することで切り詰めることができます。残ったハイパーグラフは、次数 2 の TPP です。6 つの頂点 {1,2,3,4,5,6} と 4 つの辺 {123, 154, 624, 653} があります。これは、辺 {1,6}、{2,5}、{3,4} (削除された頂点 7 の隣接辺) を持つ 3 部ハイパーグラフです。これは、パシュの公理との関連から、パシュ ハイパーグラフとも呼ばれます。^{[3] : 4}

これは 2正規ハイパーグラフ(各頂点は正確に 2 つのエッジにあります) であり、最大マッチングのサイズは 1 です (2 つのエッジがすべて交差します)。

位数nの有限射影平面には、すべての直線上にn + 1 個の点があります(ハイパーグラフの記述ではn + 1 = r )。合計でn ² + n + 1個の点があり、直線の数も同じです。各点はn + 1 本の直線上にあります。2 つの異なる点はすべて一意の直線上にあり、2 つの異なる直線はすべて一意の点で交わります。

点と、その点を通るすべての線分を除去すると、n ² + n 個の点、n ²本の線分が残る配置となり、各点はn本の線分上にあり、各線分にはn + 1 個の点が含まれます。異なる線分の各ペアは、依然として 1 つの点で交わりますが、2 つの異なる点は最大で 1 本の線分上にあります。したがって、この双対アフィン平面は、( ( n ² + n ) _n ( n ² ) _{n + 1} )型の配置となります。

点はn点ずつn + 1組に分割することができ、同じ分割集合内の2点は線で結ばれない。これらの集合はアフィン平面の平行線の類に類似しており、一部の著者は構造の二重性に合わせて分割片内の点を平行点と呼んでいる。 ^[4]

有限体から構成される射影平面(デザルグ平面)には、平面の点に対して推移的に作用する自己同型群があるため、これらの平面では、双対アフィン平面を形成するために削除される点は重要ではなく、異なる点を選択した場合の結果は同型です。ただし、非デザルグ平面も存在し、それらの平面で削除する点を選択すると、同じパラメータを持つ非同型の双対アフィン平面が生じる可能性があります。

アフィン平面は、射影平面から直線とその直線上のすべての点を削除することによって得られます。射影平面は自己双対構成であるため、アフィン平面の双対構成は、射影平面から点とその点を通るすべての直線を削除することによって得られます。これが、この構成の名前の由来です。

r -1 が素数累乗であるときは常に、r -1次射影平面が存在することが知られています。したがって、TPP についても同じことが言えます。

r -1次数の有限射影平面にはr ² - r +1 個の頂点とr ² - r +1 個の辺が含まれます。したがって、 r -1次数 TPP にはr ² - r 個の頂点とr ² - 2r +1 個の辺が含まれます。

r -1次 TPP はr部ハイパーグラフです。つまり、頂点はr個の部分に分割でき、各ハイパーエッジには各部分の頂点が 1 つだけ含まれます。たとえば、2 次 TPP では、3 つの部分は {1,6}、{2,5}、{3,4} です。一般に、r個の部分のそれぞれにはr -1 個の頂点が含まれます。

TPP 内の各エッジは他のすべてのエッジと交差します。したがって、最大マッチング サイズは 1 です。

${\displaystyle \nu (H)=1}$。

一方、TPP のすべての辺をカバーするには、いずれかの部分のr -1 個の頂点すべてが必要です。したがって、最小の頂点カバー サイズはr -1 です。

${\displaystyle \tau (H)=r-1}$。

したがって、TPPはライザー予想の極値ハイパーグラフである。^{[5] [1] [6]}

TPP の最小の部分頂点カバー サイズもr -1 です。各頂点に 1/ rの重みを割り当てると(各ハイパーエッジにはr 個の頂点が含まれているため、これは頂点カバーです)、サイズ ( r ² - r )/ r = r -1の部分カバーが生成されます。

の最大分数マッチングサイズもr -1です。各ハイパーエッジ（各頂点がr -1個のエッジに含まれているためマッチング）に1/( r-1 )の重みを割り当てると、サイズ( r ² - 2r +1)/( r -1)= r -1の部分マッチングが生成されます。したがって、^[7]

${\displaystyle \tau ^{*}(H)=\nu ^{*}(H)=r-1}$。

上記の分数マッチングは、そのサイズがr部ハイパーグラフの各部分の頂点の数に等しいため、完全であることに注意してください。ただし、完全なマッチングは存在せず、さらに、最大マッチング サイズは 1 のみです。これは、完全な分数マッチングが完全なマッチングの存在を意味する 2 部グラフの状況とは対照的です。

双対アフィン平面は射影平面の点剰余として見ることができる^[8] 1-設計として見ることができる^[9]また、より古典的には、戦術的構成として見ることができる^[10]。

これらはペアワイズバランス設計（PBD）ではないため、設計理論の観点からは広く研究されていません。しかし、戦術的構成は幾何学、特に有限幾何学の中心的なトピックです。

Dembowski (1968, p. 5)によると、「戦術的構成」という用語は1896年にEH Mooreによって使用されたようです。 ^[11]双対構成の歴史については、双対性(射影幾何学)#歴史を参照してください。

• ベス、トーマス、ユングニッケル、ディーター、レンツ、ハンフリード（1986）、デザイン理論、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 3-411-01675-2
• Dembowski、Peter (1968)、有限幾何学、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、Band 44、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 3-540-61786-8、MR  0233275