変換平面

数学において、並進平面は特定の対称性群（後述）を許容する射影平面である。ヒューズ平面やフィゲロア平面とともに、並進平面は既知の非デザルグ平面の中で最もよく研究されており、既知の非デザルグ平面の大部分は並進平面であるか、または双対化や微分を連続的に繰り返すことで並進平面から得られるものである。^[1]

射影平面において、 $P が$ 点、 $l が$ 直線を表すものとする。中心 $P$ と軸 $l$ を持つ中心共線は、 $l$ 上のすべての点と $P を$ 通るすべての直線を固定する共線である。 $Pが$ $l$ 上にある場合、それは共線と呼ばれ、そうでない場合はホモロジーと呼ばれる。中心 $P$ と軸 $l$ を持つ中心共線は群を形成する。^[2]射影平面 $Π$ の直線 $lは、軸$ $l$ を持つすべての共線群が、平面 $Π$ 、 $Π$ $l$ ( $Π$ のアフィン微分)から $l を$ 取り除いて得られるアフィン平面の点に推移的に作用する場合、平行移動直線である。平行移動直線を持つ射影平面は平行移動平面と呼ばれる。

平行移動線を取り除いて得られるアフィン平面は、アフィン平行移動平面と呼ばれます。射影平面を扱う方が簡単な場合が多いですが、この文脈では、アフィン平行移動平面を意味するために平行移動平面という用語を使用する著者もいます。^[3]^[4]

座標を使った代数的構成

すべての射影平面は、少なくとも 1 つの平面三元環で座標付けできます。^{[5]平行移動平面では、常に}準体で座標付けできます。^[6]ただし、いくつかの準体は追加の代数的性質を満たし、対応する平面三元環は追加の対称性を許容する平行移動平面を座標付けます。これらの特別なクラスには次のものがあります。

近接場平面 -近接場によって調整されます。
半体平面 -半体によって調整され、半体平面は、その双対も変換平面であるという特性を持ちます。
ムーファン平面-交互分割環によって座標付けられたムーファン平面は、少なくとも 2 本の平行移動線を持つ平行移動平面です。すべての有限ムーファン平面はデザルグ平面であり、すべてのデザルグ平面はムーファン平面ですが、デザルグ平面ではない無限ムーファン平面 (ケーリー平面など) も存在します。

演算 + (加算) と (乗算) を持つ擬似体を考えると、平面三元環を定義して変換平面の座標を作成できます。しかし、点をペアとして定義することで擬似体から直接アフィン平面を作成する方が一般的です。ここで、とは擬似体の要素であり、線は、およびが擬似体の要素上で変化するとき、形式の方程式を満たす点の集合であり、また、擬似体の要素上で変化するとき、形式の方程式を満たす点の集合です。 ^[7] $\cdot$ $(a,b)$ $a$ $b$ $(x,y)$ $y=m\cdot x+b$ $m$ $b$ $(x,y)$ $x=a$ $a$

スプレッドによる幾何学的構成 (Bruck/Bose)

並進平面は、ブルック・ボーズ構成によって奇数次元射影空間の広がりと関連付けられる。 ^[8] $PG(2$ $n$ $+1,$ $K$ $)$ の広がりは、が整数で $K が$ 分割環である場合、空間を互いに素な $n$ 次元部分空間に分割したものである。有限の場合、 $PG(2$ $n$ $+1,$ $q$ $)$ の広がりは、交差する 2 つがない $q$ $n$ $+1$ $+ 1 個の$ $n$ 次元部分空間の集合である。 $n\geq 1$

$PG(2$ $n$ $+1,$ $K$ $)$ の広がり $S$ が与えられた場合、ブルック・ボーズ構造は次のように変換平面を生成します。PG(2 n +1, K ) を PG(2 n +2, K ) の超平面として埋め込みます $。PG$ $($ $2$ $n$ $+2$ $,$ $K$ $)$ $の$ $点$ はPG $($ 2 $n$ $+2$ , K ) の ( n +1) 次元部分空間上になく、PG(2 n +2, K ) の ( n +1) 次元部分空間が S の要素で交わる「線」である「点」を含む入射構造 $A$ $($ $S$ $)$ $を$ $定義$ します $。$ $すると$ $、$ $A$ $($ S $)$ $は$ $アフィン$ $変換$ 平面になります $。$ $有限$ $の$ $場合、この手順により$ $q$ $n$ $+1$ 次変換平面が生成されます。 $\Sigma$ $\Sigma$ $\Sigma$

この命題の逆は、ほとんど常に真である。^[9]核 $K$ （ $K$ は必然的に分割環である）上の有限次元の準体によって座標付けられた任意の変換平面は、ブルック・ボーズ構成を使用して $PG(2 n +1, K)$ の広がりから生成することができる。ここで、 $（ n +1）$ は、その核上のモジュールとして考えられた準体の次元である。この結果の即座の帰結は、あらゆる有限変換平面がこの構成から得られるということである。

スプレッドを使った代数的構成 (アンドレ)

André ^{[10] は、}ブルック/ボーズと基本的に同じ (アフィン) 平行移動平面の代数的表現を以前に与えた。 $V を$ 体 $F$ 上の $2 n$ 次元ベクトル空間とする。 $V$ の広がりは、 $V$ の非ゼロベクトルを分割する $Vの$ $n$ 次元部分空間の集合 $Sである。$ $S$ のメンバーは広がりの成分と呼ばれ、 $V$ $i$ と $V$ $j$ が異なる成分であれば、 $V$ $i$ $\oplus$ $V$ $j$ $=$ $V$ となる。 $A を、点が$ $V$ のベクトルで線が成分の剰余類、つまり $v$ $+$ $U の$ 形式の集合( $vは$ $V$ のベクトル、 $Uは広がり$ $S$ の成分)である入射構造とする。すると、次のようになる: ^[11]

A はアフィン平面であり、

V

における

w

の変換群

x \to x + w

はこの平面上の点に正則に作用する自己同型群です。

有限の場合

$F = GF(q) = F q$ $（位数q$ の有限体）と、 $次のように表される$ $F$ 上の2 $n$ 次元ベクトル空間 $V$ とします。

V=\{(x,y)\colon x,y\in F^{n}\}.

$M 0, M 1, ..., M q n - 1を、$ $i$ $\neq$ $jのときは必ず$ $M$ $i$ $-$ $M$ $j$ が非特異であるという性質を持つ $F上の$ $n \times n$ 行列とする。i = $0, 1, ...,$ $q$ $n$ $- 1に対して$ $、$ 次のように定義する。

V_{i}=\{(x,xM_{i})\colon x\in F^{n}\},

$通常、サブスペース「 y = xM i$ 」と呼ばれます。また、次のように定義します。

V_{q^{n}}=\{(0,y)\colon y\in F^{n}\},

部分空間「 $x = 0$ 」。

集合

{V 0, V 1, ..., V q n

} はV

の広がりです。

$この構成で使用される行列M i$ の集合はスプレッド集合と呼ばれ、この行列の集合は射影空間で直接使用して幾何学的な意味でのスプレッドを作成することができます。 $PG(2n-1,q)$

レギュリとレギュラースプレッド

を整数に対する射影空間 $PG($ $2n$ $+1,$ $K$ $)$ とし、 $Kを$ 分周環とする。Rにおけるレギュラス^[12] $R$ は、次の性質を持つ $n$ 次元部分空間の集合である。 $\Sigma$ $n\geq 1$ $\Sigma$

$R$ には少なくとも3つの要素が含まれる
$R$ の3つの要素に交わる線は横断線と呼ばれ、 $R$ のあらゆる要素に交わる。
$R$ への横断線上のすべての点は $R$ の何らかの要素上にある

における互いに素な 3 つの $n$ 次元部分空間は、一意のレグルスに含まれる。 ^[13]の広がり $Sが正則であるとは、$ $S$ の任意の3 つの異なる $n$ 次元部分空間について、それらによって決定される一意のレグルスのすべての要素が $S$ に含まれることである。2つ以上の元を持つ任意の分割環 $K$ $について、 PG(2$ $n$ $+1,$ $K$ $)$ の広がり $S$ が正則であれば、その広がりによってアンドレ/ブルック-ボーズ構成を介して作成される平行移動平面は、ムーファン平面である。やや弱い逆も成り立ち、平行移動平面がパッピアンである場合、それは正則広がりからアンドレ/ブルック-ボーズ構成を介して生成できる。^[14] $\Sigma$ $\Sigma$

有限の場合、 $K は$ の順序体でなければならず、ムーファン平面、デザルグ平面、パッピアン平面の類はすべて同一であるため、この定理は、アンドレ/ブルック-ボーズ構成によるその広がりによって作成される変換平面がデザルグ平面である場合にのみ、 $PG(2$ $n$ $+1,$ $q$ $)$ の広がり $S$ が正則であると述べるように改良できます。 $q>2$

$K$ が体の場合、レギュラスは3つの要素しか含まないので、 $PG(2n$ $+$ $1,2)$ のすべての広がりは自明に正則である。8次の唯一の平行移動平面はデザルグ平面であるが、すべての整数に対して $2$ $次$ の非デザルグ平面が存在することが知られている。^[15] $GF(2)$ $e\geq 4$

非デザルグ変換平面のファミリー

ホール平面- 1 つのレグルスがそのレグルスへの横断線の集合 (反対のレグルスと呼ばれる) に置き換えられたの正規の広がりから Bruck/Bose によって構築されます。 $PG(3,q)$
準正則平面 -一対の互いに素なレギュライのセットがそれらの反対のレギュライに置き換えられた正規の広がりから Bruck/Bose によって構築されます。 $PG(3,q)$
アンドレ・プレーンズ
ニアフィールドプレーン
半フィールド平面

小さなオーダーの有限並進平面

8 次以下の射影平面はデザルグ平面のみであることはよく知られており、素数次数の非デザルグ平面は知られていない。^[16]有限並進平面は素数べき次数を持たなければならない。9 次射影平面は 4 つあり、そのうち 2 つは並進平面である。デザルグ平面とホール平面である。次の表は、現在の知識の状態を詳述している。

注記

^ エリック・ムーアハウスは、射影平面を見つけるためにコンピュータによる広範な検索を実行しました。 25 次では、ムーアハウスは 193 個の射影平面を発見しました。そのうち 180 個は、反復微分法および/または双対化によって変換平面から取得できます。 49 次では、既知の 1349 個の変換平面から、この手順で取得できる平面は 309,000 個を超えます。
^ ジオメトリ変換平面 2007年6月13日取得
^ ヒューズ＆パイパー 1973、100ページ
^ ジョンソン、ジャー、ビリオッティ 2007、p.5
^ ホール 1943
^ 平面三元環は座標の基となる四角形に依存するため、準体を与えない平行移動平面の座標化方法は多数ある。しかし、平行移動平面の場合、準体を与える座標化が常に存在する。
^ Dembowski 1968、p. 128。準体は技術的には左準体または右準体のいずれかであり、乗算が左から分配されるか右から分配されるかによって決まります (半体は両方の分配法則を満たします)。Wikipediaでの準体の定義は左準体ですが、Dembowski は右準体を使用しています。一般にこの区別は省略されます。なぜなら、カイラルに「間違った」準体を使用すると、単に変換平面の双対が生成されるからです。
^ ブルック＆ボーズ 1964
^ ブルック＆ボーズ 1964、97ページ
^ アンドレ 1954
^ ムーアハウス 2007、13 ページ
^ この概念は、 3次元空間の1枚の双曲面上の2つの支配線族のうちの1つである古典的なレグルスの一般化である。
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参考文献

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さらに読む

Mauro Biliotti、Vikram Jha、Norman L. Johnson (2001) Foundations of Translation Planes、Marcel Dekker ISBN 0-8247-0609-9。

外部リンク

射影幾何学の講義ノート
キース・メリンガーの出版物

[1] エリック・ムーアハウスは、射影平面を見つけるためにコンピュータによる広範な検索を実行しました。 25 次では、ムーアハウスは 193 個の射影平面を発見しました。そのうち 180 個は、反復微分法および/または双対化によって変換平面から取得できます。 49 次では、既知の 1349 個の変換平面から、この手順で取得できる平面は 309,000 個を超えます。

[2] ジオメトリ変換平面 2007年6月13日取得

[3] ヒューズ＆パイパー 1973、100ページ

[4] ジョンソン、ジャー、ビリオッティ 2007、p.5

[5] ホール 1943

[6] 平面三元環は座標の基となる四角形に依存するため、準体を与えない平行移動平面の座標化方法は多数ある。しかし、平行移動平面の場合、準体を与える座標化が常に存在する。

[7] Dembowski 1968、p. 128。準体は技術的には左準体または右準体のいずれかであり、乗算が左から分配されるか右から分配されるかによって決まります (半体は両方の分配法則を満たします)。Wikipediaでの準体の定義は左準体ですが、Dembowski は右準体を使用しています。一般にこの区別は省略されます。なぜなら、カイラルに「間違った」準体を使用すると、単に変換平面の双対が生成されるからです。

[8] ブルック＆ボーズ 1964

[9] ブルック＆ボーズ 1964、97ページ

[10] アンドレ 1954

[11] ムーアハウス 2007、13 ページ

[12] この概念は、 3次元空間の1枚の双曲面上の2つの支配線族のうちの1つである古典的なレグルスの一般化である。

[13] ブルック＆ボーズ 1966年、163ページ

[14] ブルック＆ボーズ 1966、p. 164、定理12.1

[15] クヌース 1965年、541ページ

[16] 「小さな順序の射影平面」ericmoorhouse.org . 2020年11月8日閲覧。

[17] 「Projective Planes of Order 16」. ericmoorhouse.org . 2020年11月8日閲覧。

[18] ライファート 1984

[19] 「Projective Planes of Order 25」. ericmoorhouse.org . 2020年11月8日閲覧。

[20] ドーバー 2019

[21] チェルウィンスキー＆オークデン 1992

[22] 「Projective Planes of Order 27」. ericmoorhouse.org . 2020年11月8日閲覧。

[23] デンプウォルフ 1994

[24] 「Projective Planes of Order 32」. ericmoorhouse.org . 2020年11月8日閲覧。

[25] マソン＆ロイル 1995

[26] 「Projective Planes of Order 49」. ericmoorhouse.org . 2020年11月8日閲覧。

[27] McKay & Royle 2014。これは 2 次元の非デザルグ変換平面の完全な数です。多くの高次元平面が存在することが知られています。