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統計学において、単純無作為標本（またはSRS）とは、より大きな集合（母集団）から無作為に選ばれた個体のサブセット（標本）であり、そのサブセットはすべて同じ確率で選ばれます。これは、無作為に標本を選択するプロセスです。SRSでは、k個の個体の各サブセットは、他のk個の個体のサブセットと同様に、標本として選択される確率が同じです。[ 1 ]単純無作為抽出は基本的なサンプリング方法であり、他のより複雑なサンプリング方法の構成要素となることがあります。[ 2 ]
単純無作為抽出の原理は、同じ数の項目を持つすべての集合が選ばれる確率が同じであるというものです。例えば、10人の大学生がバスケットボールの試合のチケットを欲しがっているが、チケットは6枚しかないとします。そこで、誰がチケットを入手できるかを公平に決める方法を考えます。まず、全員に1から10までの範囲の番号を割り当て、電子的に、または乱数表から乱数を生成します。1から10の範囲外の番号や、以前に選ばれた番号は無視されます。最初の6つの番号によって、幸運なチケット当選者が特定されます。
小規模な母集団、そして多くの場合大規模な母集団においても、このようなサンプリングは通常「非復元抽出」で行われます。つまり、母集団のどのメンバーも複数回選択しないように意図的に行います。単純無作為抽出は復元抽出で行うこともできますが、これはあまり一般的ではなく、通常は「復元抽出による単純無作為抽出」とより詳細に説明されます。非復元抽出はもはや独立ではありませんが、交換可能性は満たされるため、数学統計学のほとんどの結果は依然として有効です。さらに、大規模な母集団からの小規模なサンプルでは、同じ個人を2回選択する確率が低いため、非復元抽出は復元抽出とほぼ同じです。調査方法論の教科書では、一般的に、他のサンプリング手法の相対的な効率を計算するためのベンチマークとして、非復元抽出による単純無作為抽出が考慮されています。[ 3 ]
多数のサンプルが抽出された場合、平均的なサンプルが母集団を正確に代表するように、偏りのない無作為抽出が重要です。しかし、これは特定のサンプルが母集団を完全に代表していることを保証するものではありません。単純な無作為抽出では、サンプルに基づいて母集団全体について外部的に妥当な結論を導き出すことしかできません。この概念は、母集団が地理的領域である場合にも拡張できます。[ 4 ]この場合、領域サンプリングフレームが関係します。
概念的には、単純無作為抽出法は確率抽出法の中で最も単純な手法です。ただし、完全な標本抽出枠が必要となりますが、大規模な母集団の場合、そのような枠が入手できない、あるいは構築が困難な場合があります。たとえ完全な標本抽出枠が入手できたとしても、母集団内の各要素に関するその他の有用な情報があれば、より効率的な手法が可能な場合もあります。
利点としては、分類エラーがなく、フレーム以外の母集団に関する事前知識が最小限で済む点が挙げられます。また、その簡便さから、この方法で収集されたデータの解釈も比較的容易です。こうした理由から、単純無作為抽出法は、母集団に関する情報が少なく、無作為に分布した項目に対して効率的にデータ収集を行える場合、あるいはサンプリングコストが十分に小さく、効率性よりも簡便性が重視される場合に最適です。これらの条件が満たされない場合は、層化抽出法やクラスター抽出法の方が適しているかもしれません。
個々の対象単位が選択される確率が等しいサンプリング方法を等確率サンプリング（略してEPSEM）と呼びます。
単純無作為抽出法を用いると必ず epsem になりますが、すべての epsem サンプルが SRS であるとは限りません。たとえば、教師が 5 行 6 列のクラスを持っていて、5 人の生徒の無作為サンプルを取りたい場合、6 列のうちの 1 つを無作為に選択するかもしれません。これは epsem サンプルになりますが、ここでは 5 人の生徒のすべてのサブセットが等しく選ばれるわけではありません。単一の列として配置されているサブセットのみが選択対象となります。また、最終的なサンプルが epsem になるものの、SRS ではない多段階サンプリングを構築する方法もあります。 [ 5 ]たとえば、系統的無作為抽出法では、各個々の単位が包含される確率は同じですが、異なる単位のセットが選択される確率が異なるサンプルが生成されます。
epsem のサンプルは自己重み付けされており、各サンプルの選択確率の逆数が等しいことを意味します。
1000人の生徒がいる学校を考えてみましょう。ある研究者が、さらに研究するためにそのうち100人を選びたいとします。生徒全員の名前をバケツに入れ、そこから100人の名前を取り出すことができます。各人が選ばれる確率は等しいだけでなく、サンプルサイズ（ n）と母集団（N ）がわかっているので、特定の人が選ばれる確率（ P ）を簡単に計算することもできます。
1. ある人物が一度しか選ばれない場合（つまり、選ばれた人物は選考対象者リストから除外される場合）：
2. 選ばれた人物が再び選考対象者リストに戻された場合（つまり、複数回選ばれる可能性がある場合）：
これはつまり、この方法を用いると、学校の生徒全員が約10分の1の確率で選ばれる可能性があるということである。さらに、100人の生徒のどの組み合わせでも、選ばれる確率は同じである。
ランダムサンプリングに体系的なパターンを導入すると、「体系的（ランダム）サンプリング」と呼ばれます。例として、学校の生徒の名前に 0001 から 1000 までの番号が付けられていて、ランダムな開始点 (例えば 0533) を選択し、その後 10 番目ごとに名前を選択して 100 名のサンプルを得る (0993 に達したら 0003 から再び開始する) 場合が挙げられます。この意味で、この手法はクラスターサンプリングに似ています。最初の単位の選択によって残りの単位が決定されるためです。これはもはや単純なランダムサンプリングではありません。100 人の生徒の組み合わせによっては、選択確率が他の組み合わせよりも高くなる場合があるためです。たとえば、{3, 13, 23, ..., 993} は 1/10 の確率で選択されますが、{1, 2, 3, ..., 100} はこの方法では選択されません。
母集団のメンバーが「青」、「赤」、「黒」の 3 種類ある場合、与えられたサイズのサンプル内の赤い要素の数はサンプルごとに異なり、したがって分布を調べることができる確率変数となります。その分布は、母集団全体の赤と黒の要素の数に依存します。復元抽出による単純無作為抽出の場合、分布は二項分布になります。復元抽出なしの単純無作為抽出の場合、超幾何分布が得られます。[ 6 ]
単純無作為抽出のための効率的なアルゴリズムがいくつか開発されている。[ 7 ] [ 8 ]素朴なアルゴリズムとしては、各ステップでそのステップの要素を等しい確率で集合から取り除き、サンプルに加えるドローバイドローアルゴリズムがある。この操作を、目的のサイズのサンプルが得られるまで続ける。この方法の欠点は、セット内でのランダムアクセスが必要となることである。
Fanらが1962年に開発した選択拒否アルゴリズム[ 9 ]は、データに対して1回の走査で済みますが、逐次アルゴリズムであり、アイテムの総数を把握する必要があります。これはストリーミング配信では利用できません。
非常に単純なランダムソートアルゴリズムが、1977年にSunterによって証明された。[ 10 ]このアルゴリズムは、一様分布から抽出された乱数を割り当てるだけである。各アイテムのキーとして、キーを使用してすべてのアイテムをソートし、最小のものを選択します。アイテム。
1985年にJ. Vitter [ 11 ]は、広く用いられている貯水池サンプリングアルゴリズムを提案した。このアルゴリズムは、母集団の規模に関する知識を必要としない。事前に準備しておき、一定のスペースを使用します。
ランダムサンプリングは、サンプル間のギャップの分布からサンプリングし[ 12 ]ギャップをスキップすることによっても高速化できます。
ウィキメディア・コモンズにあるランダムサンプリングに関連するメディア![{\displaystyle {\begin{aligned}P&=1-{\frac {N-1}{N}}\cdot {\frac {N-2}{N-1}}\cdot \cdots \cdot {\frac {Nn}{N-(n-1)}}\\[8pt]&{\stackrel {\text{相殺:}}{=}}1-{\frac {Nn}{N}}\\[8pt]&={\frac {n}{N}}\\[8pt]&={\frac {100}{1000}}\\[8pt]&=10\%\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999bd18a28af58f74ae2b187752f49d64b367762)
