条件付き確率分布

確率論と統計学において、条件付き確率分布とは、特定の事象の発生を条件とした結果の確率を表す確率分布である。2つの同時分布する確率変数が与えられた場合、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$条件付き確率分布${\displaystyle Y}$与えられた${\displaystyle X}$確率分布は${\displaystyle Y}$いつ${\displaystyle X}$は特定の値であることがわかっている。場合によっては、条件付き確率は、特定されていない値を含む関数として表現されることがある。${\displaystyle x}$の${\displaystyle X}$パラメータとして。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$カテゴリ変数の場合、条件付き確率を表すために条件付き確率表が一般的に使用されます。条件付き分布は、他の変数の値を参照しない確率変数の分布である周辺分布とは対照的です。

条件付き分布が${\displaystyle Y}$与えられた${\displaystyle X}$が連続分布である場合、その確率密度関数は条件付き密度関数として知られています。^{[ 1 ]}モーメントなどの条件付き分布の特性は、条件付き平均や条件付き分散などの対応する名前で呼ばれることがよくあります。

より一般的には、2つ以上の変数からなる集合のサブセットの条件付き分布を参照することができます。この条件付き分布は、残りのすべての変数の値に依存しており、サブセットに複数の変数が含まれる場合、この条件付き分布は含まれる変数の条件付き同時分布となります。

離散確率変数の場合、条件付き確率質量関数は${\displaystyle Y}$与えられた${\displaystyle X=x}$定義に従って次のように記述できます。

発生により${\displaystyle P(X=x)}$分母では、これはゼロでない（したがって厳密に正の値のみ）に対して定義されます。${\displaystyle P(X=x).}$

確率分布との関係${\displaystyle X}$与えられた${\displaystyle Y}$は：

${\displaystyle P(Y=y\mid X=x)P(X=x)=P(\{X=x\}\cap \{Y=y\})=P(X=x\mid Y=y)P(Y=y).}$

同様に、連続確率変数の場合、条件付き確率密度関数は${\displaystyle Y}$値の発生を考慮すると${\displaystyle x}$の${\displaystyle X}$^{[ 2 ]}と書くことができる

どこ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$結合密度を与える${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$、 その間${\displaystyle f_{X}(x)}$周辺密度は${\displaystyle X}$またこの場合も、${\displaystyle f_{X}(x)>0}$。

確率分布との関係${\displaystyle X}$与えられた${\displaystyle Y}$次のように与えられます。

${\displaystyle f_{Y\mid X}(y\mid x)f_{X}(x)=f_{X,Y}(x,y)=f_{X|Y}(x\mid y)f_{Y}(y).}$

連続確率変数の条件付き分布の概念は、一見直感的に理解できるもののように思えるかもしれないが、実際はそうではない。ボレルのパラドックスは、条件付き確率密度関数が座標変換に対して不変であるとは限らないことを示している。

例

このグラフは、確率変数の二変量正規同時密度を示しています。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$分布を見るには${\displaystyle Y}$条件付き${\displaystyle X=70}$まず、線を視覚化することができます${\displaystyle X=70}$で${\displaystyle X,Y}$平面、そしてその線を含み、その線に垂直な平面を視覚化する${\displaystyle X,Y}$平面。その平面と結合法線密度の交点を、交点の下の面積が単位面積になるように再スケーリングすると、関連する条件付き密度となる。${\displaystyle Y}$。

${\displaystyle Y\mid X=70\ \sim \ {\mathcal {N}}\left(\mu _{Y}+{\frac {\sigma _{Y}}{\sigma _{X}}}\rho (70-\mu _{X}),\,(1-\rho ^{2})\sigma _{Y}^{2}\right).}$

確率変数${\displaystyle X}$、${\displaystyle Y}$は、条件付き分布が${\displaystyle Y}$与えられた${\displaystyle X}$これは、すべての可能な実現に対して、${\displaystyle X}$、無条件分布に等しい${\displaystyle Y}$離散確率変数の場合、これは次のことを意味します。${\displaystyle P(Y=y|X=x)=P(Y=y)}$あらゆる可能性に対して${\displaystyle y}$そして${\displaystyle x}$と${\displaystyle P(X=x)>0}$連続確率変数の場合${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$結合密度関数を持つということは、${\displaystyle f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)}$あらゆる可能性に対して${\displaystyle y}$そして${\displaystyle x}$と${\displaystyle f_{X}(x)>0}$。

関数として見なされる${\displaystyle y}$与えられた${\displaystyle x}$、${\displaystyle P(Y=y|X=x)}$は確率質量関数であり、したがってすべての合計は${\displaystyle y}$（条件付き確率密度の場合は積分）は 1 です。${\displaystyle x}$与えられた${\displaystyle y}$これは尤度関数なので、すべての合計（または積分）は${\displaystyle x}$1である必要はありません。

さらに、同時分布の周辺分布は、対応する条件付き分布の期待値として表現できます。たとえば、${\displaystyle p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X|Y}(x\ |\ Y)]}$。

させて${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$確率空間である、${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$1${\displaystyle \sigma }$-フィールド$\displaystyle {\mathcal {F}}}$与えられた${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ラドン・ニコディムの定理は、次のことを示唆している^{[ 3 ]}${\displaystyle {\mathcal {G}}}$測定可能な確率変数${\displaystyle P(A\mid {\mathcal {G}}):\Omega \to \mathbb {R} }$条件付き確率と呼ばれるもので、$${\displaystyle \int _{G}P(A\mid {\mathcal {G}})(\omega )dP(\omega )=P(A\cap G)}$$すべての${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$、そしてそのような確率変数は、確率ゼロの集合を除いて一意に定義されます。条件付き確率は、次の場合に正則と呼ばれます。${\displaystyle \operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {G}})(\omega )}$確率尺度は${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$すべての人々のために${\displaystyle \omega \in \Omega }$ae

特別なケース：

• 自明なシグマ代数については${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{\emptyset ,\Omega \}}$条件付き確率は定数関数である$\displaystyle \operatorname {P} \!\left(A\mid \{\emptyset ,\Omega \}\right)=\operatorname {P} (A).}$
• もし${\displaystyle A\in {\mathcal {G}}}$、 それから${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})=1_{A}}$、指示関数（以下に定義）。

させて${\displaystyle X:\Omega \to E}$になる${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$値をとる確率変数。各${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$、 定義する$${\displaystyle \mu _{X\,|\,{\mathcal {G}}}(B\,|\,{\mathcal {G}})=\mathrm {P} (X^{-1}(B)\,|\,{\mathcal {G}}).}$$いかなる場合でも${\displaystyle \omega \in \Omega }$関数${\displaystyle \mu _{X\,|{\mathcal {G}}}(\cdot \,|{\mathcal {G}})(\omega ):{\mathcal {E}}\to \mathbb {R} }$これは、${\displaystyle X}$与えられた${\displaystyle {\mathcal {G}}}$確率測度である場合${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$そうすれば、それは正規と呼ばれます。

実数値確率変数（ボレルに関して）${\displaystyle \sigma }$-分野${\displaystyle {\mathcal {R}}^{1}}$の上${\displaystyle \mathbb {R} }$)、すべての条件付き確率分布は正則である。^{[ 4 ]}この場合、${\displaystyle E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu _{X\mid {\mathcal {G}}}(dx,\cdot )}$ほぼ間違いなく。

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