米の配給

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \nu \geq 0}$、基準点と二変量分布の中心との間の距離、スケール ${\displaystyle \sigma \geq 0}$
サポート	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right)}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle 1-Q_{1}\left({\frac {\nu }{\sigma }},{\frac {x}{\sigma }}\right)}$ ここでQ 1はマーカムQ関数である。
平均	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{1/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})}$
分散	${\displaystyle 2\sigma ^{2}+\nu ^{2}-{\frac {\pi \sigma ^{2}}{2}}L_{1/2}^{2}\left({\frac {-\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
歪度	（複雑）
過剰尖度	（複雑）

確率論において、ライス分布（またはあまり一般的ではないが、ライス分布）は、平均がゼロでない（非心）可能性のある、円対称の二変量正規確率変数の大きさの確率分布である。この分布は、スティーブン・O・ライス（1907年 - 1986年） にちなんで名付けられた。

確率密度関数は

${\displaystyle f(x\mid \nu ,\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right),}$

ここで、I ₀ ( z )は0次の第一種 修正ベッセル関数である。

ライスフェージングの文脈では、分布は、見通し内パスと残りのマルチパスによる電力寄与の比として定義される形状パラメータと、すべてのパスで受信される総電力として定義される スケールパラメータを使用して書き直されることも多い。^[1]${\displaystyle K={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle \Omega =\nu ^{2}+2\sigma ^{2}}$

ライス分布の特性関数は次のように与えられる: ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{X}(t\mid \nu ,\sigma )=\exp \left(-{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)&\left[\Psi _{2}\left(1;1,{\frac {1}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right.\\[8pt]&\left.{}+i{\sqrt {2}}\sigma t\Psi _{2}\left({\frac {3}{2}};1,{\frac {3}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right],\end{aligned}}}$

ここで、は2変数のホーンの合流型超幾何関数の1つであり、およびのすべての有限値に対して収束します。これは次のように与えられます。^{[4] [5]}${\displaystyle \Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}},}$

どこ

${\displaystyle (x)_{n}=x(x+1)\cdots (x+n-1)={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}$

は上昇階乗です。

最初の生々しい瞬間は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}^{'}&=\sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{1/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})\\\mu _{2}^{'}&=2\sigma ^{2}+\nu ^{2}\,\\\mu _{3}^{'}&=3\sigma ^{3}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{3/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})\\\mu _{4}^{'}&=8\sigma ^{4}+8\sigma ^{2}\nu ^{2}+\nu ^{4}\,\\\mu _{5}^{'}&=15\sigma ^{5}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{5/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})\\\mu _{6}^{'}&=48\sigma ^{6}+72\sigma ^{4}\nu ^{2}+18\sigma ^{2}\nu ^{4}+\nu ^{6}\end{aligned}}}$

そして、一般的に、生のモーメントは次のように与えられる。

${\displaystyle \mu _{k}^{'}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1\!+\!k/2)\,L_{k/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}).\,}$

ここでL _q ( x )はラゲール多項式を表す。

${\displaystyle L_{q}(x)=L_{q}^{(0)}(x)=M(-q,1,x)=\,_{1}F_{1}(-q;1;x)}$

ここで、 は第一種合流型超幾何関数です。 kが偶数の場合、生のモーメントは上記の例のように σ とνの単純な多項式になります。${\displaystyle M(a,b,z)=_{1}F_{1}(a;b;z)}$

q = 1/2の場合:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1/2}(x)&=\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {1}{2}};1;x\right)\\&=e^{x/2}\left[\left(1-x\right)I_{0}\left(-{\frac {x}{2}}\right)-xI_{1}\left(-{\frac {x}{2}}\right)\right].\end{aligned}}}$

2番目の中心モーメントである分散は、

${\displaystyle \mu _{2}=2\sigma ^{2}+\nu ^{2}-(\pi \sigma ^{2}/2)\,L_{1/2}^{2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}).}$

はラゲール多項式の2乗を示しており、一般化ラゲール多項式を示しているわけではないことに注意。${\displaystyle L_{1/2}^{2}(\cdot )}$${\displaystyle L_{1/2}(\cdot )}$${\displaystyle L_{1/2}^{(2)}(\cdot ).}$

• ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rice} \left(|\nu |,\sigma \right)}$ここで、およびは統計的に独立した正規確率変数であり、 は任意の実数です。${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$${\displaystyle X\sim N\left(\nu \cos \theta ,\sigma ^{2}\right)}$${\displaystyle Y\sim N\left(\nu \sin \theta ,\sigma ^{2}\right)}$${\displaystyle \theta }$
• 別のケースでは、次の手順に従います。 ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rice} \left(\nu ,\sigma \right)}$
  1. パラメータ（ポアソンの場合は平均）を持つポアソン分布を生成します。${\displaystyle P}$${\displaystyle \lambda ={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}.}$
  2. 自由度2 P + 2のカイ二乗分布を持つものを生成します。${\displaystyle X}$
  3. セット${\displaystyle R=\sigma {\sqrt {X}}.}$
• の場合、 は自由度 2 と非心度パラメータを持つ非心カイ 2 乗分布に従います。${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (\nu ,1)}$${\displaystyle R^{2}}$${\displaystyle \nu ^{2}}$
• の場合、 は自由度 2 と非心度パラメータを持つ非心カイ分布に従います。${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (\nu ,1)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \nu }$
• のとき、すなわち、 で与えられるライス分布の特殊なケースの場合、分布はレイリー分布となり、その分散は となります。${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (0,\sigma )}$${\displaystyle R\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma )}$${\displaystyle \nu =0}$${\displaystyle \mu _{2}={\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}$
• ならば指数分布に従う。[ ^6]${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (0,\sigma )}$${\displaystyle R^{2}}$
• ならば逆ライス分布となる。[ ^7]${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} \left(\nu ,\sigma \right)}$${\displaystyle 1/R}$
• 折り畳み正規分布は、ライス分布の単変量特殊ケースです。

引数の値が大きい場合、ラゲール多項式は^[8]

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }L_{\nu }(x)={\frac {|x|^{\nu }}{\Gamma (1+\nu )}}.}$

νが大きくなるか σ が小さくなると、平均はνになり、分散は σ ²になることがわかります。

ガウス近似への移行は次のように進行する。ベッセル関数理論から、

${\displaystyle I_{\alpha }(z)\to {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+\cdots \right){\text{ as }}z\rightarrow \infty }$

したがって、広い領域では、ライス分布の漸近展開は次のようになります。 ${\displaystyle x\nu /\sigma ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,\nu ,\sigma )={}&{\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right)\\{\text{ is }}\\&{\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right){\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{2\pi x\nu }}}\exp \left({\frac {2x\nu }{2\sigma ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma ^{2}}{8x\nu }}+\cdots \right)\\\rightarrow {}&{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\nu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right){\sqrt {\frac {x}{\nu }}},\;\;\;{\text{ as }}{\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\rightarrow \infty \end{aligned}}}$

さらに、密度が の周りに集中している場合、ガウス指数のため、次のように書くことができ、最終的に正規近似が得られます。 ${\textstyle \nu }$${\textstyle |x-\nu |\ll \sigma }$${\textstyle {\sqrt {{x}/{\nu }}}\approx 1}$

${\displaystyle f(x,\nu ,\sigma )\approx {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\nu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),\;\;\;{\frac {\nu }{\sigma }}\gg 1}$

この近似値は、${\displaystyle {\frac {\nu }{\sigma }}>3}$

ライス分布のパラメータを推定する方法は3つあり、(1)モーメント法、^{[9] [10] [11] [12]} (2)最尤法、^{[9] [10] [11] [13]} (3)最小二乗法である。^[要出典]最初の2つの方法では、データのサンプルから分布のパラメータνとσを推定することに重点が置かれています。これは、モーメント法、たとえばサンプル平均とサンプル標準偏差を使用して行うことができます。サンプル平均はμ ₁ ^{'の推定値であり、サンプル標準偏差はμ} ₂ ^1/2の推定値です。

以下は、「Koay逆変換法」として知られる効率的な方法です。^{[14] は}、サンプル平均とサンプル標準偏差に基づいて推定方程式を同時に解きます。この逆変換法は、 SNRの固定点式としても知られています。モーメント法に関する以前の研究^{[9] [15]}では、通常、問題を解くためにルート検索法を使用していますが、これは効率的ではありません。

まず、標本平均と標本標準偏差の比はr、すなわち、と定義される。SNRの固定小数点式は次のように表される。 ${\displaystyle r=\mu _{1}^{'}/\mu _{2}^{1/2}}$

${\displaystyle g(\theta )={\sqrt {\xi {(\theta )}\left[1+r^{2}\right]-2}},}$

ここで、 はパラメータの比、すなわち であり、次のように与えられます。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta ={\nu }/{\sigma }}$${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$

${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}=2+\theta ^{2}-{\frac {\pi }{8}}\exp {(-\theta ^{2}/2)}\left[(2+\theta ^{2})I_{0}(\theta ^{2}/4)+\theta ^{2}I_{1}(\theta ^{2}/4)\right]^{2},}$

ここで、 およびは第 1 種の修正ベッセル関数です。 ${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle I_{1}}$

は のスケーリング係数であり、 と次の関係があることに注意してください。 ${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu _{2}}$

${\displaystyle \mu _{2}=\xi {\left(\theta \right)}\sigma ^{2}.}$

の不動点 を求めるには、下限 より大きい初期解 が選択され、^[14]のとき発生します(これはレイリー分布の であることに注意してください)。これは、関数合成^{[明確化が必要]}を使用する反復の開始点となり、 が小さな正の値より小さくなるまでこれが続けられます。ここで、 は同じ関数 の 回の合成を表します。実際には、何らかの整数 の最終値を不動点、つまりと関連付けます。 ${\displaystyle \theta ^{*}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\theta }_{0}}$${\displaystyle {\theta }_{\text{lower bound}}=0}$${\textstyle r={\sqrt {\pi /(4-\pi )}}}$${\displaystyle r=\mu _{1}^{'}/\mu _{2}^{1/2}}$${\displaystyle \left|g^{i}\left(\theta _{0}\right)-\theta _{i-1}\right|}$${\displaystyle g^{i}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \theta _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \theta ^{*}}$${\displaystyle \theta ^{*}=g\left(\theta ^{*}\right)}$

固定点が見つかると、推定値とがスケーリング関数 を通じて次のように見つかります。 ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {\mu _{2}^{1/2}}{\sqrt {\xi \left(\theta ^{*}\right)}}},}$

そして

${\displaystyle \nu ={\sqrt {\left(\mu _{1}^{'~2}+\left(\xi \left(\theta ^{*}\right)-2\right)\sigma ^{2}\right)}}.}$

反復処理をさらに高速化するには、ニュートン法による根探索を使用することができます。^[14]この特定のアプローチは非常に効率的です。

• 2変量円対称正規分布ランダムベクトルのユークリッドノルム。
• ライスフェージング（マルチパス干渉用）
• 照準誤差が標的射撃に与える影響^[16]
• 無線通信におけるダイバーシティ受信機の解析。^{[17] [18]}
• 長期数値積分後の太陽系内部モデルの離心率分布。^[19]

• ホイト分布
• レイリー分布

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• Rice/Rician 分布の MATLAB コード (PDF、平均と分散、ランダム サンプルの生成)