離散一様分布

離散ユニフォーム

確率質量関数 n = 5 ただしn = b  −  a  + 1
累積分布関数
表記	${\displaystyle {\mathcal {U}}\{a,b\}}$ または ${\displaystyle \mathrm {unif} \{a,b\}}$
パラメータ	${\displaystyle a,b}$整数と${\displaystyle b\geq a}$ ${\displaystyle n=b-a+1}$
サポート	${\displaystyle k\in \{a,a+1,\dots ,b-1,b\}}$
ＰＭＦ	${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{n}}}$
平均	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
中央値	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
モード	該当なし
分散	${\displaystyle {\frac {(b-a+1)^{2}-1}{12}}}$
歪度	${\displaystyle 0}$
過剰尖度	${\displaystyle -{\frac {6(n^{2}+1)}{5(n^{2}-1)}}}$
エントロピ	${\displaystyle \ln(n)}$
MGF の	${\displaystyle {\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^{t})}}}$
CF	${\displaystyle {\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}}}$
PGF	${\displaystyle {\frac {z^{a}-z^{b+1}}{n(1-z)}}}$

確率論と統計学において、離散一様分布は対称 確率分布であり、有限の整数 n個の結果値のそれぞれが等しく観測される可能性があります。したがって、n 個の結果値のそれぞれは、等しい確率 1/ nを持ちます。直感的には、離散一様分布は「すべて等しく発生する可能性のある既知の有限数の結果」です。

離散一様分布の簡単な例は、公平な 6 面サイコロを投げることです。可能性のある値は 1、2、3、4、5、6 で、サイコロを投げるたびに、それぞれの値の確率は 1/6 です。2 つのサイコロを投げてその値を足した場合、可能性のある合計の確率は等しくないため、2 つのサイコロを振ったときの合計の分布は一様ではありません。

この 6 面サイコロの例のように、連続した範囲の整数に対して離散一様分布を考慮するのが一般的ですが、任意の有限集合に対して離散一様分布を定義することもできます。たとえば、6 面サイコロの各面には、数字ではなく抽象的な記号が付いている場合があります。簡単に言えば、ランダム順列とは、特定の集合の順列から一様ランダムに生成される順列であり、グラフの一様全域木とは、グラフの全域木の完全な集合から一様確率で選択される全域木です。

離散一様分布自体はノンパラメトリックです。しかし、その可能な結果値が区間内の整数であるという一般的なケースでは、aとbは分布のパラメータであり、これらの場合、離散一様分布の累積分布関数（CDF）は、任意のkに対して次のように表すことができます。 ${\textstyle [a,b]}$${\textstyle n=b-a+1.}$

$${\displaystyle F(k;a,b)=\min \left(\max \left({\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}},0\right),1\right),}$$

あるいは単に

$${\displaystyle F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}}$$

ディストリビューションのサポートについて ${\textstyle k\in [a,b].}$

k個の観測値のサンプルから整数区間上の離散一様分布の最大値を求める問題は、第二次世界大戦中に連合軍がドイツの戦車生産量を推定しようとした ときにこの最大値推定問題が実際に適用されたことから、一般にドイツ戦車問題として知られています。${\displaystyle N}$${\displaystyle [1,N]}$

分布の最大値に対する一様最小分散不偏（UMVU）推定量は、サンプル最大値mとサンプルサイズkによって次のように表される。

${\displaystyle {\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1}$^[1 ]

これは、最大間隔の推定の非常に単純なケースとして考えることができます。

これは、

${\displaystyle {\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ for small samples }}k\ll N}$^[1]

したがって、標準偏差はおよそ、つまりサンプル間の母集団平均ギャップサイズになります。 ${\displaystyle {\tfrac {N}{k}}}$

サンプル最大値自体は母集団最大値の 最大尤度推定値ですが、偏りがあります。${\displaystyle m}$

離散均一分布からのサンプルが順番に番号付けされていないが、認識可能またはマークできる場合は、代わりにマークと再捕獲法によって個体群サイズを推定できます。

一様分布したランダム順列の固定点の数の確率分布の説明については、rencontres 数を参照してください。

1 つまたは両方の境界が不明な整数の範囲にわたる一様離散分布の族には、有限次元の十分な統計量、つまりサンプルの最大値、サンプルの最小値、およびサンプル サイズの 3 つが存在します。

制限された整数範囲にわたる均一な離散分布は、そのサポートがパラメータによって変化する ため、指数分布族を構成しません。

ピットマン・クープマン・ダルモワの定理は、サポートがパラメータに依存しない分布族の場合、指数族のみがサンプルサイズの増加に応じて制限される次元の十分な統計量を持つと述べています。したがって、一様分布は、この定理の条件の必要性を示す簡単な例です。

• ディラックデルタ分布
• 連続一様分布