カイ二乗検定

カイ二乗検定（カイ2乗検定またはχ ²検定とも呼ばれる）は、サンプルサイズが大きい場合に分割表の分析で使用される統計的仮説検定である。簡単に言えば、この検定は主に、2つのカテゴリ変数（分割表の2つの次元）が検定統計量（表内の値）に独立して影響を与えているかどうかを調べるために使用される。 ^[1]この検定は、検定統計量が帰無仮説の下でカイ二乗分布している場合に有効であり、具体的にはピアソンのカイ二乗検定とそのバリエーションである。ピアソンのカイ二乗検定は、分割表の1つ以上のカテゴリで期待される頻度と観測された頻度の間に統計的に有意な差があるかどうかを判断するために使用される。サンプルサイズの小さい分割表では、代わりにフィッシャーの正確検定が使用されます。

この検定の標準的な適用では、観測値は相互に排他的なクラスに分類されます。母集団内のクラス間に差がないという帰無仮説が真である場合、観測値から計算された検定統計量はχ ² 頻度分布に従います。検定の目的は、帰無仮説が真であると仮定した場合に観測頻度がどの程度ありそうかを評価することです。

χ ²分布に従う検定統計量は、観測値が独立している場合に発生します。また、ペアの観測値に基づいて、ランダム変数のペアの独立性の帰無仮説を検定するためのχ ²検定もあります。

カイ二乗検定は、検定統計量の分布がχ ²分布に漸近的に近づく検定を指すことが多く、つまり、検定統計量の標本分布（帰無仮説が真の場合）は、標本サイズが増加するにつれてカイ二乗分布にますます近似することを意味します。

19世紀には、統計分析手法は主に生物学データの分析に適用され、ジョージ・エアリー卿やマンスフィールド・メリマンなどの研究者は、観測結果は正規分布に従うと仮定するのが通例だったが、彼らの研究は1900年の論文でカール・ピアソンによって批判された。 ^[2]

19世紀末、ピアソンは、一部の生物学的観察結果に著しい歪度が存在することに気づきました。正規分布か歪曲分布かに関わらず観察結果をモデル化するために、ピアソンは、1893年から1916年にかけて発表された一連の論文^{[3] [4] [5] [6]で、正規分布と多くの歪んだ分布を含む連続}確率分布の一種であるピアソン分布を考案し、ピアソン分布を使用して観察結果をモデル化し、適合度検定を実行してモデルが観察結果に実際にどの程度適合するかを判断する統計分析手法を提案しました。

1900年にピアソンは、現代統計学の基礎の一つと考えられているχ2検定に関する論文^{[2]を発表しました。 [7]}この論文で、ピアソンは適合度の検定を調査しました ^。

母集団からランダムに抽出したn個の観測値が、それぞれ観測値x _i（i = 1,2,…, k ）を持つk個の相互に排他的なクラスに分類され、帰無仮説により観測値がi番目のクラスに入る確率p _{i が}与えられると仮定する。したがって、すべてのiに対して期待値m _i = np _{i が}得られる。ここで

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{i=1}^{k}{p_{i}}=1\\[8pt]&\sum _{i=1}^{k}{m_{i}}=n\sum _{i=1}^{k}{p_{i}}=n\end{aligned}}}$

ピアソンは、帰無仮説が正しい状況下では、n → ∞として、以下に示す量の極限分布はχ ²分布であると提案しました。

${\displaystyle X^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(x_{i}-m_{i})^{2}}{m_{i}}}=\sum _{i=1}^{k}{{\frac {x_{i}^{2}}{m_{i}}}-n}}$

ピアソンはまず、すべての観測値x _iが正規分布していると仮定して、期待値m _iがすべてのセルで既知の十分に大きい数値である場合を扱い、 nが大きくなる極限では、 X ^{2 は}自由度 k − 1のχ ²分布に従うという結論に達しました。

しかし、ピアソンは次に、期待値がサンプルから推定しなければならないパラメータに依存するケースを考慮し、真の期待値をm _{i 、推定された期待値を}m ′ _iと表記すると、その差は

${\displaystyle X^{2}-{X'}^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}^{2}}{m_{i}}}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}^{2}}{m'_{i}}}}$

は、通常は正で、省略できるほど小さい。結論として、ピアソンは、X ′ ²も自由度k − 1のχ ²分布に従うとみなせば、この近似の誤差は実際の決定に影響を与えないと主張した。この結論は実際の応用においていくつかの論争を引き起こし、フィッシャーの 1922 年と 1924 年の論文まで 20 年間解決されなかった。^{[8] [9]}

カイ二乗分布に正確に従う検定統計量の1 つは、正規分布する母集団の分散が標本分散に基づいて特定の値を持つかどうかの検定です。母集団の真の分散は通常不明であるため、このような検定は実際にはあまり行われません。ただし、カイ二乗分布がほぼ有効な統計検定がいくつかあります。

独立性を判定する 2 × 2 カイ 2 乗検定の代わりに使用される正確検定については、フィッシャーの正確検定を参照してください。

適合度を判定する 2 × 1 カイ二乗検定の代わりに使用される正確な検定については、二項検定を参照してください。

• Cochran–Mantel–Haenszelカイ二乗検定。
• マクネマー検定、特定の2×2表で使用される。
• テューキーの加法性検定
• 時系列分析におけるポートマントー検定、自己相関の存在を検定する
• 一般的な統計モデリングにおける尤度比検定。単純なモデルからより複雑なモデルに移行する必要があるという証拠があるかどうかを検定します (単純なモデルが複雑なモデル内にネストされている場合)。

カイ二乗分布を使用してピアソンのカイ二乗統計を解釈するには、表内の観測された二項分布の離散確率が連続カイ二乗分布で近似できると仮定する必要があります。この仮定は完全に正しいわけではなく、いくらかの誤差が生じます。

近似値の誤差を減らすために、フランク・イェーツは、2×2分割表の各観測値とその期待値との絶対差から0.5を減算することでピアソンのカイ二乗検定の式を調整する連続性の補正を提案した。^[10]これにより、得られるカイ二乗値が減り、p値が増加する。

正規分布を持つ母集団からサイズnの標本を採取すると、母集団の分散が事前に決定された値であるかどうかを検定できる結果 (標本分散の分布を参照) が得られます。たとえば、製造工程が長期間にわたって安定した状態にある場合、分散の値は基本的にエラーなしで決定できます。工程のバリエーションをテストし、バリエーションを検定するn 個の製品項目の小さな標本を作成するとします。この場合の検定統計量T は、標本平均の平方和を分散の公称値 (つまり、保持していると検定される値) で割った値に設定できます。すると、T は自由度がn − 1のカイ 2 乗分布になります。たとえば、標本サイズが 21 の場合、有意水準 5% のTの許容領域は9.59 ～ 34.17 です。

1,000,000 人の住民が住む都市があり、A、B、C、Dの 4 つの地区があるとします。その都市の住民 650 人を無作為に抽出し、その職業を「ホワイトカラー」、「ブルーカラー」、または「ノーカラー」として記録します。帰無仮説は、各人の居住地区は、その人の職業分類とは無関係であるというものです。データは次のように表されます。

地域Aに住む 150 人をサンプルとして、地域 A に住む 1,000,000 人全体のうち何パーセントが地域Aに住んでいるかを推定してみましょう。同様に、349/650⁠ 1,000,000人のうち何パーセントがホワイトカラー労働者であるかを推定する。仮説の下での独立性の仮定により、地区Aのホワイトカラー労働者の数は次のように 「予想」される。

${\displaystyle 150\times {\frac {349}{650}}\approx 80.54}$

そして、表の「セル」には、

${\displaystyle {\frac {\left({\text{観測値}}-{\text{期待値}}\right)^{2}}{\text{期待値}}}={\frac {\left(90-80.54\right)^{2}}{80.54}}\approx 1.11}$

これらの量をすべてのセルにわたって合計したものが検定統計量です。この場合、 です。帰無仮説の下では、この合計は自由度が ${\displaystyle \approx 24.57}$

${\displaystyle ({\text{行数}}-1)({\text{列数}}-1)=(3-1)(4-1)=6}$

検定統計量がカイ二乗分布に従ってあり得ないほど大きい場合、独立性の帰無仮説を棄却します。ここではカイ二乗値が 24.57 で、これはかなり大きいため、帰無仮説 (H0) を棄却する証拠があります。これは、各人の居住地域がその人の職業分類と相関していることを意味します。

関連する問題として、同質性のテストがあります。4 つの地区の住民全員にサンプルに含まれる機会を平等に与えるのではなく、各地区の住民を何人含めるかを事前に決めるとします。すると、各住民は同じ地区の住民全員と同じように選ばれる機会を持ちますが、4 つのサンプル サイズが 4 つの地区の人口に比例していない場合、異なる地区の住民が選ばれる確率は異なります。このような場合、「独立性」ではなく「同質性」をテストすることになります。問題は、4 つの地区のブルーカラー、ホワイトカラー、ノーカラー労働者の割合が同じかどうかです。ただし、テストは同じ方法で行われます。

暗号解読では、カイ二乗検定は平文と（おそらく）復号された暗号文の分布を比較するために使用されます。検定の最低値は、復号が高確率で成功したことを意味します。^{[11] [12]}この方法は、現代の暗号問題を解決するために一般化できます。^[13]

バイオインフォマティクスでは、カイ二乗検定は、異なるカテゴリー（疾患遺伝子、必須遺伝子、特定の染色体上の遺伝子など）に属する遺伝子の特定の特性（ゲノム含有量、突然変異率、相互作用ネットワークのクラスタリングなど）の分布を比較するために使用されます。^{[14] [15]}

• カイ二乗検定ノモグラム
• GEH統計
• G検定
• 最小カイ二乗推定
• ノンパラメトリック統計
• ワルドテスト
• ウィルソンスコア間隔

• Weisstein、Eric W.「カイ二乗検定」。MathWorld。
• Corder, GW; Foreman, DI (2014)。ノンパラメトリック統計：ステップバイステップのアプローチ。ニューヨーク：Wiley。ISBN 978-1118840313。
• グリーンウッド、シンディ、ニクーリン、MS (1996)。カイ二乗検定ガイド。ニューヨーク：ワイリー。ISBN 0-471-55779-X。
• Nikulin, MS (1973)。正規性のカイ二乗検定。国際ビリニュス確率論および数理統計会議の議事録。第2巻。pp. 119–122。
• Bagdonavicius, Vilijandas B.; Nikulin, Mikhail S. (2011). 「右側打ち切りデータに対するカイ二乗適合度検定」。国際応用数学・統計ジャーナル。24 :30–50。MR 2800388  。