ボーズ・アインシュタイン統計

インデックスでラベル付けされた複数のエネルギー準位があると仮定します。${\displaystyle i}$各レベルにはエネルギーがある${\displaystyle \varepsilon _{i}}$合計で${\displaystyle n_{i}}$粒子。各レベルには${\displaystyle g_{i}}$異なるサブレベルはすべて同じエネルギーを持ち、区別可能です。たとえば、2 つの粒子は異なる運動量を持つ可能性があり、その場合、それらは互いに区別できますが、それでも同じエネルギーを持つ可能性があります。${\displaystyle g_{i}}$レベルに関連付けられている${\displaystyle i}$これはそのエネルギー準位の「縮退度」と呼ばれます。任意の数のボソンが同じ副準位を占めることができます。

させて${\displaystyle w(n,g)}$分配方法の数${\displaystyle n}$粒子間の${\displaystyle g}$エネルギー準位のサブレベル。分配方法は1つだけです。${\displaystyle n}$1つのサブレベルを持つ粒子、したがって${\displaystyle w(n,1)=1}$容易にわかるように、${\displaystyle (n+1)}$配布方法${\displaystyle n}$粒子は2つのサブレベルに存在し、以下のように記述します。 $${\displaystyle w(n,2)={\frac {(n+1)!}{n!1!}}.}$$

少し考えれば（下記の注釈を参照）、分配する方法の数は${\displaystyle n}$3つのサブレベルの粒子は $${\displaystyle w(n,3)=w(n,2)+w(n-1,2)+\cdots +w(1,2)+w(0,2)}$$ となることによって $${\displaystyle w(n,3)=\sum _{k=0}^{n}w(n-k,2)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n-k+1)!}{(n-k)!1!}}={\frac {(n+2)!}{n!2!}}}$$ここで、二項係数に関する 以下の定理を使用しました。 $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {(k+a)!}{k!a!}}={\frac {(n+a+1)!}{n!(a+1)!}}.}$$

このプロセスを続けると、次のことがわかります。${\displaystyle w(n,g)}$これは単なる二項係数です（下記の注記を参照）。 $${\displaystyle w(n,g)={\frac {(n+g-1)!}{n!(g-1)!}}.}$$

例えば、3つのサブレベルにおける2つの粒子の個体数は、200、110、101、020、011、002で、合計6通りあり、これは4!/(2!2!)に相当します。${\displaystyle n_{i}}$実現可能なものは、個々のエネルギーレベルがどのようにして満たされるかという方法の産物である。 $${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{n_{i}!(g_{i}-1)!}}\approx \prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i})!}{n_{i}!(g_{i})!}}}$$ ここで、近似式は以下を仮定している。${\displaystyle n_{i}\gg 1}$。

マクスウェル・ボルツマン統計を導出する際に用いたのと同じ手順に従って、次のセットを見つけたい。 ${\displaystyle n_{i}}$Wが最大化される条件は、粒子の総数が固定され、総エネルギーが固定されるという制約条件を満たす。${\displaystyle W}$そして${\displaystyle \ln(W)}$同じ値で発生する ${\displaystyle n_{i}}$そして、数学的に実現しやすいので、後者の関数を最大化することにします。ラグランジュ乗数を用いて解を制約し、以下の関数を形成します。 $${\displaystyle f(n_{i})=\ln(W)+\alpha (N-\sum n_{i})+\beta (E-\sum n_{i}\varepsilon _{i})}$$

使用${\displaystyle n_{i}\gg 1}$階乗の近似とスターリングの近似法の使用${\displaystyle \left(x!\approx x^{x}\,e^{-x}\,{\sqrt {2\pi x}}\right)}$与える $${\displaystyle f(n_{i})=\sum _{i}(n_{i}+g_{i})\ln(n_{i}+g_{i})-n_{i}\ln(n_{i})+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right)+K,}$$ ここで、Kは、${\displaystyle n_{i}}$に関して微分すると${\displaystyle n_{i}}$、そして結果をゼロに設定して解く${\displaystyle n_{i}}$ボーズ・アインシュタイン粒子数は以下の通りである。 $${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}-1}}.}$$

マクスウェル・ボルツマン統計学の記事で概説されているのと同様の手順により、以下のことがわかる。 $${\displaystyle d\ln W=\alpha \,dN+\beta \,dE}$$ ボルツマンの有名な関係式を用いると${\displaystyle S=k_{\text{B}}\,\ln W}$これは定容熱力学第二法則の記述となり、したがって${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$そして${\displaystyle \alpha =-{\frac {\mu }{k_{\text{B}}T}}}$ここでSはエントロピーであり、${\displaystyle \mu }$は化学ポテンシャル、k _Bはボルツマン定数、Tは温度であり、最終的に次のようになる。 $${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}.}$$

上記の式は、以下のように表記される場合もあることに注意してください。 $${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\varepsilon _{i}/k_{\text{B}}T}/z-1}},}$$ どこ${\displaystyle z=\exp(\mu /k_{\text{B}}T)}$マクウォーリーが指摘したように、これは絶対活性である。^{[ 17 ]}

また、粒子数が保存されない場合、粒子数の保存制約を解除することは、${\displaystyle \alpha }$したがって化学ポテンシャル${\displaystyle \mu }$ゼロになります。これは、相互に平衡状態にある光子と質量のある粒子の場合に当てはまり、結果として得られる分布はプランク分布になります。

ボーズ・アインシュタイン分布関数を考えるもっと簡単な方法は、n個の粒子を同一の球で表し、g個の殻をg-1本の線で区切ると考えることです。これらのn個の球とg - 1本の線の組み合わせによって、異なるエネルギー準位にボソンを配置する方法が異なることは明らかです。例えば、3個（= n個）の粒子と3個（= g個）の殻の場合、( g -1) = 2となり、配置は|●●|●、||●●●、|●|●●などとなります。したがって、 n個の同一の項目と( g -1 )個の同一の項目を持つn +( g - 1)個のオブジェクトの異なる順列の数は次のようになります。       $${\displaystyle {\frac {(g-1+n)!}{(g-1)!n!}}}$$

または

これらのノートの目的は、ボーズ・アインシュタイン分布の導出のいくつかの側面を初心者向けに明確にすることです。ボーズ・アインシュタイン分布における場合（または方法）の列挙は、次のように書き換えることができます。サイコロ投げのゲームを考えてみましょう。${\displaystyle n}$サイコロ、各サイコロはセットの値を取る${\displaystyle \{1,\dots ,g\}}$、 のために${\displaystyle g\geq 1}$ゲームの制約は、サイコロの値が${\displaystyle i}$、で示される${\displaystyle m_{i}}$は、ダイスの値以上でなければならない。${\displaystyle (i-1)}$、で示される${\displaystyle m_{i-1}}$前回の投球では、${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$したがって、有効なサイコロ投げのシーケンスはnタプルで記述できる。${\displaystyle (m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})}$、したがって${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$。 させて${\displaystyle S(n,g)}$これらの有効なnタプルの集合を表す。

次に数量${\displaystyle w(n,g)}$（上記で定義したように、分配する方法の数）${\displaystyle n}$粒子間の${\displaystyle g}$エネルギー準位のサブレベル）は、${\displaystyle S(n,g)}$つまり、要素数（または有効なnタプル数）${\displaystyle S(n,g)}$したがって、式を見つける問題は${\displaystyle w(n,g)}$要素を数える問題になる${\displaystyle S(n,g)}$。

例：n = 4、g = 3：$${\displaystyle S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1113)} _{(a)},\underbrace {(1122),(1123),(1133)} _{(b)},\underbrace {(1222),(1223),(1233),(1333)} _{(c)},\underbrace {(2222),(2223),(2233),(2333),(3333)} _{(d)}\right\}}$$$${\displaystyle w(4,3)=15}$$（がある${\displaystyle 15}$要素${\displaystyle S(4,3)}$）

サブセット${\displaystyle (a)}$すべてのインデックスを固定することで得られます${\displaystyle m_{i}}$に${\displaystyle 1}$最後のインデックスを除き、${\displaystyle m_{n}}$これは、${\displaystyle 1}$に${\displaystyle g=3}$サブセット${\displaystyle (b)}$固定することで得られる${\displaystyle m_{1}=m_{2}=1}$、そして増加${\displaystyle m_{3}}$から${\displaystyle 2}$に${\displaystyle g=3}$制約のため${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$インデックスについて${\displaystyle S(n,g)}$インデックス${\displaystyle m_{4}}$自動的に値を取る必要があります${\displaystyle \left\{2,3\right\}}$部分集合の構築${\displaystyle (c)}$そして${\displaystyle (d)}$同様の手順で進む。

各要素${\displaystyle S(4,3)}$濃度の多重集合と考えることができる${\displaystyle n=4}$; このような多重集合の要素は集合から取られる${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$基数${\displaystyle g=3}$、そしてそのような多重集合の数は多重集合係数である。$${\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}3\\4\end{matrix}}\right\rangle ={3+4-1 \choose 3-1}={3+4-1 \choose 4}={\frac {6!}{4!2!}}=15}$$

より一般的には、${\displaystyle S(n,g)}$は濃度を持つ多重集合である${\displaystyle n}$（サイコロの数）セットから要素を取ったもの${\displaystyle \left\{1,\dots ,g\right\}}$基数${\displaystyle g}$（各サイコロの可能な値の数）、およびそのような多重集合の数、すなわち、${\displaystyle w(n,g)}$多重集合係数

これは、の式と全く同じです。${\displaystyle w(n,g)}$二項係数を含む定理を用いて上記で導出されたように、

分解を理解するために

あるいは例えば、${\displaystyle n=4}$そして${\displaystyle g=3}$$${\displaystyle w(4,3)=w(4,2)+w(3,2)+w(2,2)+w(1,2)+w(0,2),}$$

要素を並べ替えてみましょう${\displaystyle S(4,3)}$次のように $${\displaystyle S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)} _{(\alpha )},\underbrace {(111{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(112{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(122{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(222{\color {Red}{\underset {=}{3}}})} _{(\beta )},\underbrace {(11{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(12{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(22{\color {Red}{\underset {==}{33}}})} _{(\gamma )},\underbrace {(1{\color {Red}{\underset {===}{333}}}),(2{\color {Red}{\underset {===}{333}}})} _{(\delta )}\underbrace {({\color {Red}{\underset {====}{3333}}})} _{(\omega )}\right\}.}$$

明らかに、サブセット${\displaystyle (\alpha )}$の${\displaystyle S(4,3)}$セットと同じです $${\displaystyle S(4,2)=\left\{(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)\right\}.}$$

インデックスを削除することで${\displaystyle m_{4}=3}$（赤色で二重下線付きで表示）サブセット内${\displaystyle (\beta )}$の${\displaystyle S(4,3)}$すると、次のセットが得られる。 $${\displaystyle S(3,2)=\left\{(111),(112),(122),(222)\right\}.}$$

言い換えれば、部分集合と部分集合の間には一対一の対応関係がある。${\displaystyle (\beta )}$の${\displaystyle S(4,3)}$そしてセット${\displaystyle S(3,2)}$私たちは書く $${\displaystyle (\beta )\longleftrightarrow S(3,2).}$$

同様に、 $${\displaystyle (\gamma )\longleftrightarrow S(2,2)=\left\{(11),(12),(22)\right\}}$$$${\displaystyle (\delta )\longleftrightarrow S(1,2)=\left\{(1),(2)\right\}}$$$${\displaystyle (\omega )\longleftrightarrow S(0,2)=\{\}=\varnothing .}$$

したがって、次のように書くことができる $${\displaystyle S(4,3)=\bigcup _{k=0}^{4}S(4-k,2)}$$ あるいはより一般的に言えば、

そしてセットは $${\displaystyle S(i,g-1),{\text{ for }}i=0,\dots ,n}$$ は交差しないので、

慣習により

このプロセスを続けると、次の式が得られます。 $${\displaystyle w(n,g)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}w(n-k_{1}-k_{2},g-2)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}\cdots \sum _{k_{g}=0}^{n-\sum _{j=1}^{g-1}k_{j}}w(n-\sum _{i=1}^{g}k_{i},0).}$$ 上記の慣例(7) ₂を用いると、次の式が得られる。

念頭に置いて${\displaystyle q}$そして${\displaystyle p}$定数であるため、

すると、(8)と(2)が同じ結果を与えることが確認できる。${\displaystyle w(4,3)}$、${\displaystyle w(3,3)}$、${\displaystyle w(3,2)}$など