デバイ関数

デバイ関数は多項式対数と密接に関連している。

それらはシリーズ展開を持っています^{[ 1 ]}$${\displaystyle D_{n}(x)=1-{\frac {n}{2(n+1)}}x+n\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k+n)(2k)!}}x^{2k},\quad |x|<2\pi ,\ n\geq 1,}$$ どこ${\displaystyle B_{n}}$はn番目のベルヌーイ数です。

$$\lim_{x\to 0}D_{n}(x)=1.$$ もし${\displaystyle \Gamma }$はガンマ関数であり、${\displaystyle \zeta }$はリーマンゼータ関数であり、${\displaystyle x\gg 0}$[ ^{2 ]​}$${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}\,dt}{e^{t}-1}}\sim {\frac {n}{x^{n}}}\Gamma (n+1)\zeta (n+1),\qquad \operatorname {Re} n>0,}$$

導関数は次の関係式に従う $${\displaystyle xD_{n}^{\prime }(x)=n\left(B(x)-D_{n}(x)\right),}$$ どこ${\displaystyle B(x)=x/(e^{x}-1)}$これはベルヌーイ関数です。

デバイモデルは振動状態の密度を持つ$${\displaystyle g_{\text{D}}(\omega )={\frac {9\omega ^{2}}{\omega _{\text{D}}^{3}}}\,,\qquad 0\leq \omega \leq \omega _{\text{D}}}$$デバイ周波数ωD_を 用いて。

内部エネルギーに gを挿入する$${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }d\omega \,g(\omega )\,\hbar \omega \,n(\omega )}$$ボーズ・アインシュタイン分布を 用いて$${\displaystyle n(\omega )={\frac {1}{\exp(\hbar \omega /k_{\text{B}}T)-1}}.}$$ 得られるもの $${\displaystyle U=3k_{\text{B}}T\,D_{3}(\hbar \omega _{\text{D}}/k_{\text{B}}T).}$$ 熱容量は、その導関数である。

波数qにおけるX 線回折または中性子回折の強度は、デバイ・ウォラー因子またはラム・メスバウアー因子によって与えられる。等方性系の場合、それは次の形式をとる。 $${\displaystyle \exp(-2W(q))=\exp \left(-q^{2}\langle u_{x}^{2}\rangle \right).}$$ この式において、平均二乗変位は、原子の平衡位置からの変位を表すベクトルuのデカルト成分u _xを一度だけ指します。調和性を仮定し、正規モードに展開すると、 ^{[ 3 ]} が得られます。 $${\displaystyle 2W(q)={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\text{B}}T}}\int _{0}^{\infty }d\omega {\frac {k_{\text{B}}T}{\hbar \omega }}g(\omega )\coth {\frac {\hbar \omega }{2k_{\text{B}}T}}={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\text{B}}T}}\int _{0}^{\infty }d\omega {\frac {k_{\text{B}}T}{\hbar \omega }}g(\omega )\left[{\frac {2}{\exp(\hbar \omega /k_{\text{B}}T)-1}}+1\right].}$$ デバイモデルの状態密度を代入すると、次の式が得られる。 $${\displaystyle 2W(q)={\frac {3}{2}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{M\hbar \omega _{\text{D}}}}\left[2\left({\frac {k_{\text{B}}T}{\hbar \omega _{\text{D}}}}\right)D_{1}{\left({\frac {\hbar \omega _{\text{D}}}{k_{\text{B}}T}}\right)}+{\frac {1}{2}}\right].}$$ 上記のべき級数展開から${\displaystyle D_{1}}$高温における平均二乗変位は温度に対して線形である。 $${\displaystyle 2W(q)={\frac {3k_{\text{B}}Tq^{2}}{M\omega _{\text{D}}^{2}}}.}$$ 不在${\displaystyle \hbar }$これは古典的な結果であることを示している。なぜなら${\displaystyle D_{1}(x)}$ゼロになる${\displaystyle x\to \infty }$したがって、${\displaystyle T=0}$$${\displaystyle 2W(q)={\frac {3}{4}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{M\hbar \omega _{\text{D}}}}}$$（ゼロ点運動）