不完全多対数

数学において、不完全多対数関数は多対数関数と関連しています。不完全フェルミ・ディラック積分または不完全ボーズ・アインシュタイン積分と呼ばれることもあります。次のように定義されます。

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(b,z)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{b}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}/z-1}}~dx.}$$

z=0の周りで展開して積分すると、級数表現が得られます。

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(b,z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{s}}}~{\frac {\Gamma (s,kb)}{\Gamma (s)}}}$

ここで、Γ (s)はガンマ関数、Γ (s,x)は上不完全ガンマ関数である。Γ(s,0)=Γ(s)であることから、次の式が成り立つ。

${\displaystyle \オペレーター名 {Li} _{s}(0,z)=\オペレーター名 {Li} _{s}(z)}$

ここで、Li _s (.) は多対数関数です。

• GNU科学ライブラリ - リファレンスマニュアルhttps://www.gnu.org/software/gsl/manual/gsl-ref.html#SEC117