グループによるプレゼンテーション

数学において、表示とは群を指定する一つの方法である。群Gの表示は、生成元の集合S （群のすべての要素がこれらの生成元の冪の積として表せるようにする）と、それらの生成元間の関係の集合Rから構成される。このとき、Gは表示を持つと言う。

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle .}$

非公式には、G が関係Rのみに従うSによって生成される「最も自由な群」である場合、G は上記の表示を持つと言います。正式には、群Gが、関係Rによって生成される正規部分群によるS上の自由群の商群と同型である場合、G は上記の表示を持つと言います。

簡単な例として、位数nの巡回群は次のように表されます。

${\displaystyle \langle a\mid a^{n}=1\rangle ,}$

ここで、1は群の単位元である。これは次のように等価的に書くことができる。

${\displaystyle \langle a\mid a^{n}\rangle ,}$

等号を含まない項は群の単位元と等しいとみなされるという慣例のおかげで、このような項は関係式と呼ばれ、等号を含む関係式と区別されます。

どのグループにもプレゼンテーションがあり、実際には様々な種類のプレゼンテーションが存在します。プレゼンテーションは、グループの構造を説明する最も簡潔な方法であることが多いのです。

密接に関連しているが、異なる概念として、群の絶対表示がある。

集合S上の自由群とは、各要素が次の形式の有限長積として一意に記述できる群のことである。

${\displaystyle s_{1}^{a_{1}}s_{2}^{a_{2}}\cdots s_{n}^{a_{n}}}$

ここで、s _iはSの要素であり、隣接するs _iは互いに異なり、a _{i は}ゼロでない整数である（ただし、n はゼロでもよい）。より非公式な言い方をすれば、この群は生成元とその逆元からなる単語で構成され、生成元とその逆元が隣接して出現する場合のみ相殺される。

Gが任意の群であり、SがGの生成部分集合である場合、 Gのすべての要素も上記の形式になります。しかし一般に、これらの積はGの要素を一意に記述するものではありません。

例えば、位数16の二面体群D8_は、位数8の回転rと位数2の反転fによって生成することができ、_{D8の任意の要素は}rsとfsの積であることは間違いない。

しかし、例えばrfr = f ⁻¹、r ⁷ = r ⁻¹などがあるため、このような積はD ₈では一意ではありません。このような積の同値性はそれぞれ、次のような恒等式との等式として表現できます。

rfrf = 1、

r ⁸ = 1、または

f ^{‍ 2} = 1。

非公式には、左辺のこれらの積を自由群F = ⟨ r , f  ⟩の要素とみなし、R = ⟨ rfrf , r ⁸ , f ^{‍ 2} ⟩とします。つまり、Rを文字列rfrf , r ⁸ , f ^{‍ 2}によって生成される部分群とします。これらの文字列はそれぞれ、D ₈の積として考えると 1 と等価です。

ここで、N をRのすべての共役x ⁻¹ Rxによって生成されるFの部分群とすると、定義により、Nのすべての要素は、そのような共役の要素の有限積x ₁ ⁻¹ r ₁ x ₁ ... x _m ⁻¹ r _m x _mとなります。したがって、Nの各要素は、D ₈の積として考えると1 に評価され、NはFの正規部分群となります。したがって、D _8は商群F / Nと同型です。このとき、D _{8 は}表示を持つと言います。

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8}=1,f^{2}=1,(rf)^{2}=1\rangle .}$

ここで、生成子の集合はS = { r , f  }であり、関係の集合はR = { r ⁸ = 1, f ² = 1, ( rf ) ² = 1}です。R はしばしば省略され、次のように表されます。

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8}=f^​​{2}=(rf)^{2}=1\rangle .}$

さらに短い形式では、等号と恒等記号を省略して、関係式の集合だけを列挙します。それは{ r ⁸ , f ² , ( rf ) ² }です。このようにすると、次の表現が得られます。

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8},f^{2},(rf)^{2}\rangle .}$

3つのプレゼンテーションはすべて同等です。

この記事でプレゼンテーションに使用されている表記法⟨S | R⟩は現在最も一般的ですが、以前の著者は同じ形式のさまざまなバリエーションを使用していました。そのような表記法には、 次のようなものがあります。

• ⟨ S | R ⟩
• ( S | R )
• { S ; R }
• ⟨ S ; R ⟩

Sを集合とし、F S_をS上の自由群とする。RをS上の語の集合とすると、R は自然に次の部分集合を与える。${\displaystyle F_{S}}$プレゼンテーションを行うグループを編成する${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$商を取る${\displaystyle F_{S}}$Rの各要素を含む最小の正規部分群によって定義される。（この部分群はRの正規閉包Nと呼ばれる。）${\displaystyle F_{S}}$.) そのグループ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$商群として定義される

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle =F_{S}/N.}$

Sの要素は、${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$Rの要素はリレーターと呼ばれます。群Gは表示を持つと言われます。${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$Gが同型である場合${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$[ ^{1 ]​}

関係式は、一般的に次のような形式で記述されます。${\displaystyle x=y}$ここで、xとyはS上の単語である。これはつまり、${\displaystyle y^{-1}x\in R}$これは、商群においてxとyの像が等しいという直感的な意味を持ちます。したがって、たとえば、関係式のリストのr ^{n は以下と等価です。}$\displaystyle r^{n}=1}$[ ^{1 ]​}

有限群Gに対して、群乗法表からGの表示を以下のように構築することができる。Sを集合要素とする。${\displaystyle g_{i}}$GとRのすべての単語は次の形式になります${\displaystyle g_{i}g_{j}g_{k}^{-1}}$、 どこ${\displaystyle g_{i}g_{j}=g_{k}}$は九九表の項目です。

表示は、Sが有限でRが有限であれば有限生成であると言われます。両方が有限であれば、それは有限表示であると言われます。群は有限生成（それぞれ有限関連）です。有限表示群とは、有限生成（または有限関連、有限表示）の表示を持つ群のことである。単一の関係を持つ有限表示を持つ群は、1関係群。

S が、すべての自然数Nまたはその有限部分集合からなる集合Iによってインデックス付けされている場合、 S上の自由群から自然数への単純な 1 対 1 の符号化 (またはゲーデル番号付け) f : F _S → Nを簡単に設定でき、 f ( w )が与えられたときにwを計算し、その逆も行うアルゴリズムを見つけることができます。次に、 f ( U ) が再帰的(または再帰的に列挙可能) である場合、F _Sの部分集合U を再帰的(または再帰的に列挙可能) と呼ぶことができます。S が上記のようにインデックス付けされ、R が再帰的に列挙可能である場合、表示は再帰的表示であり、対応する群は再帰的に表示されます。この使用法は奇妙に思えるかもしれませんが、群がRが再帰的に列挙可能な表示を持つ場合、 Rが再帰的な別の表示も持つことを証明できます。 

有限表示群はすべて再帰的に表示されますが、有限表示できない再帰的に表示される群も存在します。しかし、グラハム・ヒグマンの定理によれば、有限生成群が再帰的に表示されるのは、有限表示群に埋め込むことができる場合に限ります。^{[ 2 ]}このことから、同型を除いて、有限生成の再帰的に表示される群は可算個しかないことがわかります。ベルンハルト・ノイマンは、非同型な2生成群は非可算個あることを示しました。したがって、再帰的に表示できない有限生成群が存在します。

群を生成元と関係によって表現した最も初期の例の一つは、1856年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンが正二十面体群の表現である正二十面体計算の中で示したものである。^{[ 3 ]} 最初の体系的な研究は、フェリックス・クラインの弟子であるヴァルター・フォン・ダイクが1880年代初頭に行い、組合せ群論の基礎を築いた。^{[ 4 ]}

以下の表は、よく研究されるグループ向けのプレゼンテーション例をいくつか示しています。なお、それぞれの場合において、他にも多くのプレゼンテーション方法が存在することに留意してください。ここに挙げたプレゼンテーションが必ずしも最も効率的な方法とは限りません。

有限生成群でありながら有限表示されない例として、リース積が挙げられる。${\displaystyle \mathbf {Z} \wr \mathbf {Z} }$整数群とそれ自身との群。

定理。すべてのグループにはプレゼンテーションが存在する。

これを確認するには、群Gが与えられたとき、 G上の自由群F _Gを考えます。自由群の普遍性により、Gへの制限が恒等写像である一意の群準同型φ : F _G → Gが存在します。この準同型の核をKとします。すると、 KはF _Gの正規群であり、したがってその正規閉包に等しくなるので、⟨ G | K ⟩ = F _G / Kとなります。恒等写像は全射であるため、φも全射となり、第一同型定理により、⟨ G | K ⟩ ≅ im( φ ) = Gとなります。GとKの両方が必要以上に大きい場合、この説明は非常に非効率的になる可能性があります。 

系。すべての有限群は有限表示を持つ。

群の要素を生成子として、ケイリー表を関係として考えることができる。

G の表現が⟨ S | R ⟩であり、H の表現が⟨ T | Q ⟩であり、 SとTは互いに素であると仮定します。すると

• 自由積G ∗ Hの表示は⟨ S , T | R , Q ⟩です。
• 直積G × Hは⟨ S , T | R , Q , [ S , T ]⟩という表示を持ち、ここで [ S , T ] はSのすべての要素がTのすべての要素と可換であることを意味します(交換子を参照)。
• 半直積G ⋊ _φ Hは、 ⟨ S , T | R , Q , { t s t ⁻¹ φ _t ( s ) ⁻¹ | s in S , t in T }⟩という表示を持つ。^{[ 7 ]}

有限表示⟨S | R⟩の欠損は| S | − | R |であり、有限表示群Gの欠損（def( G )と表記）は、 Gのすべての表示における欠損の最大値である。有限群の欠損は非正である。有限群Gのシューア乗数は−def( G )個の生成子によって生成でき、この数が必要な場合、 Gは効率的である。 ^{[ 8 ]}

群の表示は、幾何学的群論の意味での幾何学を決定します。ケイリーグラフがあり、これにはワードメトリックと呼ばれる計量があります。また、結果として弱順序とブルハット順序という2つの順序と、それに対応するハッセ図があります。重要な例として、コクセター群が挙げられます。

さらに、このグラフのいくつかの特性（粗い幾何学的構造）は本質的なものであり、生成元の選択に依存しないことを意味します。

• ニールセンの変革
• モジュールのプレゼンテーション
• モノイドの表示
• 集合構成記法
• ティーツェ変換

• Coxeter, HSM ; Moser, WOJ (1980).離散群の生成元と関係. ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9。― この便利な参考資料には、すべての小さな有限群、反射群などの表示表が掲載されています。
• ジョンソン、DL（1997）。群の表現（第2 版）。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-58542-2。― シュライアーの方法、ニールセンの方法、自由表現、部分群と HNN 拡張、ゴロド・シャファレビッチの定理など。
• シムズ、チャールズ・C. (1994).有限表示群の計算（第1 版）. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-13507-8。― 理論計算機科学、計算数論、計算可換代数などの基本的なアルゴリズム。

• ド・コルヌリエ、イヴ。「グループプレゼンテーション」。マスワールド。
• GroupNamesに掲載されている小グループとそのプレゼンテーション