乗法定理

数学において、乗法定理は、ガンマ関数に関連する多くの特殊関数が満たすある種の恒等式である。ガンマ関数の具体的な場合、この恒等式は値の積で表されるため、この名前が付けられている。これらの様々な関係はすべて同じ根本原理から派生している。つまり、ある特殊関数の関係は他の特殊関数の関係から導き出すことができ、単に同じ恒等式が異なる形で現れているにすぎない。

乗法定理には、2つの一般的な形式があります。1つ目の形式では、有限個の項を加算または乗算して関係式が得られます。2つ目の形式では、無限個の項を加算または乗算します。有限形式の形式は、通常、ガンマ関数および関連関数にのみ現れ、これらの関数では、恒等式は有限体上のp進関係から導かれます。例えば、ガンマ関数の乗法定理は、複素乗法理論から導かれるチョウラ・セルバーグの公式から得られます。無限和ははるかに一般的で、超幾何級数の特性零点関係から得られます。

以下に、有限標数に対する乗法定理の様々な現れ方を表にまとめます。標数零点関係は後述します。いずれの場合も、nとkは非負整数です。n = 2 の特殊な場合、 この定理は一般的に倍数公式 と呼ばれます。

ガンマ関数の倍数公式と乗法定理は、典型的な例である。ガンマ関数の倍数公式は

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$

これはアドリアン＝マリー・ルジャンドルにちなんで、ルジャンドル倍数公式^{[ 1 ]}またはルジャンドル関係とも呼ばれる。乗法定理は

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{\frac {1-2kz}{2}}\;\Gamma (kz)}$

整数k ≥ 1 に対して成り立ち、カール・フリードリヒ・ガウスにちなんでガウスの乗法公式と呼ばれることもある。ガンマ関数の乗法定理は、自明なディリクレ指標の場合のチョウラ・セルバーグ公式の特殊なケースとして理解できる。

正弦関数についても形式的に同様の倍数公式が成り立ち、これは三角関数の恒等式から比較的簡単に導かれる。ここでは、倍数公式が得られる。

${\displaystyle \sin(\pi x)\sin \left(\pi \left(x+{\frac {1}{2}}\right)\right)={\frac {1}{2}}\sin(2\pi x)}$

さらに一般的には、任意の整数kに対して、

${\displaystyle \sin(\pi x)\sin \left(\pi \left(x+{\frac {1}{k}}\right)\right)\cdots \sin \left(\pi \left(x+{\frac {k-1}{k}}\right)\right)=2^{1-k}\sin(k\pi x)}$

ポリガンマ関数はガンマ関数の対数微分であるため、乗法定理は乗法ではなく加法になります。

${\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}$

のために${\displaystyle m>1}$、そして、${\displaystyle m=1}$1 つはディガンマ関数です。

${\displaystyle k\left[\psi (kz)-\log(k)\right]=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}$

ポリガンマ恒等式を用いることで、調和数の乗法定理を得ることができる。

フルヴィッツのゼータ関数は、ポリガンマ関数を非整数次数に一般化したものであり、非常に類似した乗法定理に従う。

${\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),}$

どこ$\displaystyle \zeta (s)$はリーマンゼータ関数です。これは の特殊なケースです。

${\displaystyle k^{s}\,\zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\zeta \left(s,z+{\frac {n}{k}}\right)}$

そして

${\displaystyle \zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{\infty }{s+n-1 \choose n}(1-k)^{n}z^{n}\zeta (s+n,z).}$

非主指標の乗法公式は、ディリクレL関数の形で与えられることがある。

周期ゼータ関数^{[ 2 ]}は、次のように定義されることがある。

${\displaystyle F(s;q)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi imq}}{m^{s}}}=\operatorname {Li} _{s}\left(e^{2\pi iq}\right)}$

ここで、Li _s ( z ) は多重対数関数である。これは倍数公式に従う。

${\displaystyle 2^{1-s}F(s;q)=F\left(s,{\frac {q}{2}}\right)+F\left(s,{\frac {q+1}{2}}\right).}$

そのため、これは固有値 2 ^{1 − s}を持つベルヌーイ演算子の固有ベクトルです。乗法定理は

${\displaystyle k^{1-s}F(s;kq)=\sum _{n=0}^{k-1}F\left(s,q+{\frac {n}{k}}\right).}$

周期ゼータ関数は、フルヴィッツゼータ関数の反射公式に現れるため、それが従う関係とフルヴィッツゼータ関係は、s → 1 − sの入れ替えによって異なる。なお、「周期的」という名称は全く誤解を招くものである。定義は周期的であるかのように書かれているが、実際の解析構造は非常に複雑で、複数の分岐切断と複雑なモノドロミーを持つ。^{[ 3 ]}   

ベルヌーイ多項式は、周期ゼータ関数の極限として、sを整数とした場合として得られ、したがって、上記の式から乗法定理を導出できる。同様に、q = log zを代入すると、多項式対数の乗法定理が得られる。    

複製式は次の形式をとる。

${\displaystyle 2^{1-s}\オペレータ名 {Li} _{s}(z^{2})=\オペレータ名 {Li} _{s}(z)+\オペレータ名 {Li} _{s}(-z)。}$

一般的な乗算式は、ガウス和または離散フーリエ変換の形で表されます。

$${\displaystyle k^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{k})=\sum _{n=0}^{k-1}\operatorname {Li} _{s}\left(ze^{i2\pi n/k}\right).}$$

これらの恒等式は、周期的なゼータ関数に関する恒等式から導かれ、z = log qとします。    

クンマー関数の複製式は

${\displaystyle 2^{1-n}\Lambda _{n}(-z^{2})=\Lambda _{n}(z)+\Lambda _{n}(-z)}$

したがって、多対数関数に似ているが、iによってねじられている。 

ベルヌーイ多項式に関する乗法定理は、 1851年にヨーゼフ・ルートヴィヒ・ラーベによって示された。

${\displaystyle k^{1-m}B_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}B_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)}$

オイラー多項式の場合、

${\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}E_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ for }}k=1,3,\dots }$

そして

$${\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)={\frac {-2}{m+1}}\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}B_{m+1}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ for }}k=2,4,\dots .}$$

ベルヌーイ多項式はフルヴィッツゼータ関数の特殊な場合として得られるため、そこから恒等式が導かれる。

ベルヌーイ写像は、散逸力学系のある種の単純なモデル^{[ 4 ]}であり、無限に続くコイン投げ（カントール集合）に対するシフト演算子の効果を記述する。ベルヌーイ写像は、密接に関連するベイカー写像の片側版である。ベルヌーイ写像は、 k個の記号からなる無限列に作用するk進版に一般化される。これがベルヌーイスキームである。転送演算子$\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}}$ベルヌーイスキーム上のシフト演算子に対応するものは、次のように与えられる。

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{k}f](x)={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}f\left({\frac {x+n}{k}}\right)}$

おそらく当然のことながら、この演算子の固有ベクトルはベルヌーイ多項式で与えられる。つまり、次のようになる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}B_{m}={\frac {1}{k^{m}}}B_{m}}$

固有値が${\displaystyle k^{-m}<1}$これは、このシステムが散逸システムであることを示しています。非散逸的な測度保存力学系の場合、伝達演算子の固有値は単位円上にあります。

任意の全乗法関数から乗法定理に従う関数を構成することができる。${\displaystyle f(n)}$完全に乗法的である。つまり、${\displaystyle f(mn)=f(m)f(n)}$任意の整数m、nに対して、そのフーリエ級数を次のように定義する。

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\exp(2\pi inx)}$

和が収束し、g ( x )が存在すると仮定すると、乗法定理が成り立つ。つまり、

${\displaystyle {\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}g\left({\frac {x+n}{k}}\right)=f(k)g(x)}$

すなわち、g ( x )はベルヌーイ伝達演算子の固有関数であり、その固有値はf ( k )である。ベルヌーイ多項式の乗法定理は、乗法関数の特殊な場合として導かれる。${\displaystyle f(n)=n^{-s}}$完全乗法関数は、素数上の値によって完全に決定されます。したがって、フーリエ級数が収束する限り、どのような数列でも乗法定理に従う関数が生成されます。

標数ゼロの体上の乗法定理は有限項で閉じることができず、無限級数で表現する必要がある。例としては、ベッセル関数に関するものが挙げられる。${\displaystyle J_{\nu }(z)}$:

${\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {(1-\lambda ^{2})z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z),}$

どこ${\displaystyle \lambda }$そして${\displaystyle \nu }$これらは任意の複素数とすることができる。このような特性ゼロの恒等式は、一般的に超幾何級数上の多くの可能な恒等式のいずれかから導かれる。

• ミルトン・アブラモウィッツ、アイリーン・A・ステガン編『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』（1972年、ドーバー出版、ニューヨーク）。（乗法定理は章ごとに個別に記載されている。）
• C. トゥルーズデル、「特殊関数の加法定理と乗法定理について」、米国科学アカデミー紀要、数学、（1950）pp.  752–757。