六十進法

六十進法（ 60進法とも呼ばれる）^{[ 1 ]}は、60を基数とする数体系です。紀元前3千年紀に古代シュメール人によって考案され、古代バビロニア人に受け継がれ、現在でも修正された形で時間、角度、地理座標の測定に使用されています。

60 は優れた合成数であり、 1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60 の12 個の約数を持ち、そのうち 2、3、5 は素数です。このように約数が多いため、60 の多くの分数は簡略化できます。たとえば、1 時間は 30 分、20 分、15 分、12 分、10 分、6 分、5 分、4 分、3 分、2 分、1 分に均等に分割できます。60 は 1 から 6 までのすべての数で割り切れる最小の数です。つまり、1、2、3、4、5、6 の最小公倍数です。

この記事では、特に断りのない限り、すべての六十進数は十進数で表されます。例えば、最大の六十進数は「59」です。

起源

オットー・ノイゲバウアーによれば、六十進法の起源は、しばしば描かれるほど単純で一貫性があるわけでも、時間的に単一のものでもない。時間、角度、天文学的座標系などの専門的な分野で今日まで使用されている六十進法表記には、六十進数の数字の書き方など、十進法表記の強い影響が常に含まれてきた。また、その使用には、単一のテキスト内であっても、さまざまな基数が数値を表すためにどこでどのように使用されるかという点での不整合が常に含まれており、現在も含まれている。^{[ 2 ]}

六十進法を厳密かつ完全に自己整合的に使用する最も強力な動機は、常に分数の記述と計算におけるその数学的利点であった。古代の文献では、これは六十進法が数学的データ表で最も均一かつ一貫して使用されているという事実に表れている。^{[ 2 ]}数学的表ほど一貫してはいないものの、過去に六十進法の使用を拡大するのに役立ったもう 1 つの実用的な要因は、より多くの商品の交渉と分割を伴う日常的な金融取引を容易にするという、商人や購入者にとっての明確な利点であった。紀元前 3 千年紀後半、シュメール/アッカドの重量単位には、カッカル(タレント、約 30 kg) が 60マヌ(ミナ) に分割され、さらに 60シクル(シェケル) に細分化されていた。これらの単位の子孫は何千年にもわたって存続したが、後にギリシャ人はこの関係を、シェケルがミナの 50 分の 1 であるという、より 10 進法に適合した比率に強制した。

数学表を除けば、ほとんどのテキストにおける数字の表現方法の不一致は、数値を表すために使用された最も基本的な楔形文字記号にまで及んでいた。 ^{[ 2 ]}例えば、1 を表す楔形文字記号は、丸いスタイラスの先端を粘土に斜めに当てて作られた楕円であったが、60 を表す六十進法記号は、より大きな楕円、つまり「大きな 1」であった。しかし、これらの記号が使用されている同じテキスト内では、10 は、丸いスタイラスの先端を粘土に垂直に当てて作られた円として表され、100 を表すには、より大きな円、つまり「大きな 10」が使用された。このような多基数数値記号は、単一の数値内でも、互いに、また略語と混在することがあった。詳細や、暗示される大きさ（ゼロが一貫して使用されていなかったため）は、特定の時代、文化、および表現されている量や概念に固有のものであった。現代では、六十進法の天文座標に十進分数を加えるという最近の革新がある。^{[ 2 ]}

使用法

バビロニアの数学

古代メソポタミアで使用されていた六十進法は、数字に60個の異なる記号を使用していなかったという意味で、純粋な60進法ではありませんでした。代わりに、楔形文字の数字は、符号値表記法のように10を補助基数として使用していました。六十進法の数字は、9までの単位を表す狭い楔形の記号のグループ（、、、...、）と、5つの10を表す広い楔形の記号のグループ（、、、、）で構成されていました。数字の値は、構成要素の値の合計でした。

59より大きい数は、位取り記数法ではこの形式の複数の記号ブロックで表されました。ゼロを表す記号がなかったため、数字の解釈が必ずしもすぐに明らかではなく、その真の値は文脈によって決定される場合もありました。例えば、1と60の記号は同じです。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}後期のバビロニアの文書では、ゼロを表すために位取り記号（）が使用されましたが、数字の右側ではなく、中央の位置にのみ使用されました。例えば、13 200 . ^{[ 4 ]}

その他の歴史的な用法

中国の暦では、一般的に、10本の干支と12本の枝からなる一連の流れにおける位置によって、日や年が命名されるシステムが用いられています。この周期では、同じ干支と枝が60ステップごとに繰り返されます。

プラトンの『国家』第8巻には、60 ⁴ =という数字を中心とした結婚の寓話が含まれている。12,960,000とその約数。この数は、特に単純な六十進法表現1,0,0,0,0を持つ。後世の学者たちは、この記述を説明するためにバビロニアの数学と音楽理論の両方を持ち出した。^{[ 5 ]}

プトレマイオスの『アルマゲスト』は、西暦2世紀に書かれた数学天文学に関する論文であり、数の小数部分を表すのに60進法を用いている。特に、彼の弦表は、 1000年以上にわたって実質的に唯一の包括的な三角関数表であったが、60進法による角度の小数部分を示しており、現代の正弦関数の値表とほぼ同等のものであった。

中世の天文学者も、時間を記録するために六十進法を使用していた。アル・ビールーニーは、ユダヤ暦の月について論じる際に、1000 を基準として、時間を六十進法で分、秒、3 分の4分の1に分割した。 ^{[ 6 ]} 1235 年頃、サクロボスコのヨハネはこの伝統を受け継いだが、ノットハフトはサクロボスコが最初にそうしたと考えていた。^{[ 7 ]}パリ版のアルフォンシーヌ表(1320 年頃) は、日を時間の基本単位として使用し、1 日の倍数と分数を 60 進法で記録した。^{[ 8 ]}

六十進法は、1671年までヨーロッパの天文学者によって計算を行うために頻繁に使用され続けました。^{[ 9 ]}例えば、ヨスト・ビュルギは『Fundamentum Astronomiae 』（1592年にルドルフ2世皇帝に献呈）で、同僚のウルサスは『Fundamentum Astronomicum』で、そしておそらくヘンリー・ブリッグスも、16世紀後半に六十進法に基づく乗算表を使用して正弦を計算しました。^{[ 10 ]}

18世紀後半から19世紀初頭にかけて、タミル人の天文学者たちは、ヘレニズム時代の天文学者たちが開発した十進法と六十進法を組み合わせた表記法を用いて、貝殻を基準とした天文学的計算を行っていたことが分かった。^{[ 11 ]}

60進法は、シュメール人とは関係のない他の文化でも使用されており、例えば西ニューギニアのエカリ族などが使用している。^[¹²^]^[¹³^]

現代の用法

六十進法の現代における用途には、角度、地理座標、電子航法、時間の測定などがある。^{[ 14 ]}

1時間は60 分に分けられ、1分は60秒に分けられます。したがって、3:23:17 （3時間23分17秒）のような時間の測定値は、60進数の整数（小数点なし）として解釈でき、3 × 60² ⁺ 23 × ^60¹ + 17 × 60⁰^秒を意味します。ただし、この数字の3つの60進数の桁（3、23、17）はそれぞれ10 進数で表記されます。

同様に、角度の実用的な単位は度であり、円には360度（60が6つ）あります。1度は60分角、 1分は60秒角です。

YAML

YAMLデータストレージ形式のバージョン1.1 ^{[ 15 ]}では、通常のスカラーに対して六十進数がサポートされており、整数^[¹⁶^]と浮動小数点数^[¹⁷^]の両方について正式に規定されています。これにより、たとえば一部のMACアドレスは六十進数として認識されて整数としてロードされる一方で、他のMACアドレスは認識されずに文字列としてロードされるなど、混乱が生じました。YAML 1.2では、六十進数のサポートは廃止されました。^[¹⁸^]

表記法

プトレマイオスの著作など、ヘレニズム時代のギリシャの天文学文献では、六十進法はギリシャ文字の数字で表記され、各六十進法の桁は個別の数として扱われました。ヘレニズム時代の天文学者は、ゼロを表す新しい記号である°を採用しました。これは数世紀を経て、ギリシャ文字のオミクロン ο など他の形に変化しました。オミクロンは通常 70 を意味しますが、どの桁でも最大値が 59 である六十進法では許容されます。 ^[¹⁹^]^[²⁰^]ギリシャ人は、六十進法の使用を数の小数部分に限定しました。^[²¹^]

中世ラテン語の文献では、六十進数はアラビア数字で表記され、分数の異なるレベルはminuta (つまり、分数)、minuta secunda、minuta tertiaなどで表されました。17 世紀までには、六十進数の整数部分を上付きゼロで、さまざまな分数部分を 1 つ以上のアクセント記号で表すことが一般的になりました。ジョン・ウォリスは、彼のMathesis universalisで、この表記を 60 のより大きな倍数を含むように一般化し、例として49‵‵‵‵36‵‵‵25‵‵15‵1°15′25″36‴49⁗ という数を挙げました。左側の数字は 60 の高次のべき乗で乗算され、右側の数字は 60 のべき乗で除算され、上付きゼロでマークされた数字は 1 で乗算されます。^{[ 22 ]}この表記法は、度、分、秒を表す現代の記号につながります。同じ分と秒の命名法は時間の単位にも使用され、時、分、秒を十進法で書き、コロンで区切った現代の時間の表記法は、六十進法の表記法の一種と解釈できます。

一部の使用法体系では、六十進法の小数点以降の各位置は、ラテン語またはフランス語の語根を使用して番号付けされていました。primeまたは primus、secondeまたはsecundus、tierce、quatre、quinteなどです。今日でも、時間または度の 2 次部分を「秒」と呼びます。少なくとも 18 世紀までは、秒の 1/60は「tierce」または「third」と呼ばれていました。^[²³^]^[²⁴^]

1930年代に、オットー・ノイゲバウアーは、バビロニアとヘレニズムの数に、各桁に0から59までの現代の十進表記を代入し、整数部分と小数部分をセミコロン(;)で区切り、各桁内の桁をコンマ(,)で区切る現代的な表記法を導入しました。^{[ 25 ]}例えば、バビロニアとヘレニズムの天文学者が使用し、現在もヘブライ暦で使用されている朔望月の平均は29、31、50、8、20日です。この記事ではこの表記法を使用しています。

分数と無理数

分数

六十進法では、分母が正則数（素因数分解に2、3、5のみを含む数）である分数は正確に表すことができます。^[²⁶^]ここに示すのは、分母が60以下のこの種の分数です。

1/2 = 0 ; 30

1/3 = 0; 20

1/4 = 0; 15

1/5 = 0; 12

1/6 = 0; 10

1/8 = 0 ; 7,30

1/9 = 0 ; 6,40

1/10 = 0; 6

1/12 = 0; 5

1/15 = 0; 4

1/16 = 0 ;3,45

1/18 = 0 ;3,20

1/20 = 0; 3

1/24 = 0 ;2,30

1/25 = 0; 2,24

1/27 = 0 ; 2,13,20

1/30 = 0; 2

1/32 = 0; 1,52,30

1/36 = 0; 1,40

1/40 = 0; 1,30

1/45 = 0; 1,20

1/48 = 0; 1,15

1/50 = 0; 1,12

1/54 = 0; 1,6,40

1/60 = 0 ;1

しかし、規則的でない数は、より複雑な循環分数を形成します。例えば：

1/7 = 0; 8,34,17 （横棒は、 60進数8,34,17が無限に繰り返されることを示しています）

1/11 = 0 ; 5,27,16,21,49

1/13 = 0 ; 4,36,55,23

1/14 = 0; 4 , 17,8,34

1/17 = 0 ; 3,31,45,52,56,28,14,7

1/19 = 0 ; 3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41

1/59 = 0 ; 1

1/61 = 0 ; 0.59

60に隣接する2つの数、59と61がどちらも素数であるという事実は、1桁または2桁の周期で循環する分数の分母は59または61の規則的な倍数のみであり、その他の非規則的な数の分数はより長い周期で循環することを意味する。

無理数

バビロニアの粘土板YBC 7289には、 √2に近似する六十進数1;24,51,10が描かれている。

位取り記数法（十進法や六十進法を含む）における無理数の表現は、終止も循環もしない。

単位正方形の対角線の長さである√2は、古バビロニア時代（紀元前1900年～紀元前1650年）のバビロニア人によって次のように近似されました。

1;24,51,10=1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}\approx 1.41421296\ldots

^{[ 27 ]}

なぜなら√ 2 ≈ 1.414 213 56 ... は無理数であり、60進法（または実際には任意の整数基数システム）で正確に表現することはできませんが、その60進展開は 1;24,51,10,7,46,6,4,44... から始まります ( OEIS : A070197 )

ギリシャの数学者で科学者のプトレマイオスが用いたπ $の$ 値は3 ;8,30 = 3 + 8 / 60 + 30 / 60 ² = 377 / 120 ≈3.141 666 .... ^{[ 28 ]} 15 世紀のペルシャの数学者ジャムシード・アル＝カーシーは、2 $π を$ 9 桁に丸めたとき (つまり 1 / 60 9 ) に正しい値となるように 60 進数表現で計算しまし^た。彼 $の 2 π$ の値は 6;16,59,28,1,34,51,46,14,50 でした。^[²⁹^]^[³⁰^]上記の√ 2と同様に、2 $π$ は無理数であり、正確に 60 進数で表現することはできません。その 60 進数展開は 6;16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35... から始まります ( OEIS : A091649 )

参考文献

↑発音は/ s ɛ k s ə ˈ dʒ ɛ s ɪ m əl /および/ s ɛ k ˈ s æ dʒ ɪ n ər i / ;「60進法」、オックスフォード英語辞典（オンライン版）、オックスフォード大学出版局を参照（購読または参加機関の会員資格が必要です）
1 2 3 4 Neugebauer, O. (1969)、The Exact Sciences In Antiquity 、ドーバー、 17–19ページ、ISBN 0-486-22332-9
↑ Bello, Ignacio; Britton, Jack R.; Kaul, Anton (2009), Topics in Contemporary Mathematics (9th ed.), Cengage Learning, p. 182, ISBN 9780538737791。
1 2ラム、エヴリン（2014年8月31日）、「見て、ママ、ゼロじゃないよ！」、サイエンティフィック・アメリカン、ルーツ・オブ・ユニティ
↑バートン、ジョージ A. (1908)、「プラトンの結婚数のバビロニア起源について」、アメリカ東洋学会誌、29 : 210–219、doi : 10.2307/592627、JSTOR 592627 マクレーン、アーネスト・G. ; プラトン (1974)、「プラトンの『国家』における音楽的『結婚』」「、音楽理論ジャーナル、18（2）：242–272、JSTOR 843638
↑アル・ビールーニー（1879年）[1000年]、『古代諸国の年代記』、C・エドワード・ザッハウ訳、147～ 149頁
↑ノタフト、C.フィリップ・E. (2018)、『スキャンダラスな誤り：中世ヨーロッパにおける暦改革と暦天文学』、オックスフォード：オックスフォード大学出版局、126ページ、ISBN 9780198799559サクロボスコは六十進法に切り替えたが、それを日ではなく時間に適用することで、コンピュータでの利用により適したものにした。こうして、21世紀においてもなお広く用いられている時、分、秒の使用が始まったのである。
↑ノタフト、C.フィリップ・E. (2018)、『スキャンダラスな誤り：中世ヨーロッパにおける暦改革と暦天文学』、オックスフォード：オックスフォード大学出版局、196ページ、ISBN 9780198799559アルフォンソ表のラテン語パリ版の注目すべき特徴の1つは、表に表されたすべてのパラメータの厳密な「六十進法化」であり、運動と時間間隔は一貫して日数または度数の60進数の倍数と分数に分解されました。
↑アイザック・ニュートン（1671）『流率法と無限級数：曲線幾何学への応用』ロンドン：ヘンリー・ウッドフォール（1736年出版）、 146ページ。これらのうち最も注目すべきは、天文学者の間で頻繁に使用されている六十進法または六十進法の尺度であり、これはすべての可能な数、整数または分数、有理数または無理数を、 60のべき乗と59を超えない特定の数値係数によって表します。
↑フォルケルツ、メンソ;ラウナート、ディーター。Thom, Andreas (2016)、「Jost Bürgi のサインを計算する方法」、Historia Mathematica、43 (2): 133–147、arXiv : 1510.03180、doi : 10.1016/j.hm.2016.03.001、MR 3489006、S2CID 119326088
↑ Neugebauer, Otto (1952), "Tamil Astronomy: A Study in the History of Astronomy in India", Osiris , 10 : 252– 276, doi : 10.1086/368555 , S2CID 143591575 ;オットー・ノイゲバウアー(1983)『天文学と歴史：選集』ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、Bibcode：1983ahse.book.....N、ISBNに再録 0-387-90844-7
↑ Bowers, Nancy (1977)、「カパウクの記数法：計算、人種差別、学問、そしてメラネシアの計数システム」(PDF)、Journal of the Polynesian Society、86 (1): 105–116 、 2009年3月5日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み
↑ Lean, Glendon Angove (1992), Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania , Ph.D. thesis, Papua New Guinea University of Technology , 2007年9月5日にオリジナルからアーカイブ済み特に第4章を参照してください。Wayback Machineに2007年9月28日にアーカイブされています。
↑パウエル、マービン A. (2008). 「六十進法」. 『非西洋文化における科学、技術、医学の歴史百科事典』 . pp. 1998–1999 . doi : 10.1007/978-1-4020-4425-0_9055 . ISBN 978-1-4020-4559-2。
↑ "YAML Ain't Markup Language (YAML™) Version 1.1"。
↑ "YAML バージョン 1.1 用の整数型言語非依存型" .
↑ "YAML™ バージョン 1.1 用の浮動小数点言語非依存型" .
↑ Oren Ben-Kiki、Clark Evans、Brian Ingerson (2009-10-01)、「YAML Ain't Markup Language (YAML™) Version 1.2 (3rd Edition, Patched at 2009-10-01) §10.3.2 タグ解決」、The Official YAML Web Site 、 2019-01-30取得
↑オットー・ノイゲバウアー(1969) 『古代の精密科学』（第2版）、ドーバー出版、13-14ページ、図版2、ISBN 978-0-486-22332-2
↑レイモンド・メルシエ、「ギリシャ文字『ゼロ』の考察」( PDF)、カイロスのホーム
↑アーボー、アスガー(1964)、『数学初期史のエピソード』、ニュー・マセマティカル・ライブラリー、第13巻、ニューヨーク：ランダムハウス、103–104頁
↑カジョリ、フロリアン(2007) [1928]、『数学記号の歴史』第1巻、ニューヨーク：コジモ社、216ページ、ISBN 9781602066854
↑ Wade、Nicholas (1998)、『視覚の自然史』、MIT Press、p. 193、ISBN 978-0-262-73129-4
↑ルイス、ロバート・E. (1952)、『中英語辞典』、ミシガン大学出版局、231ページ、ISBN 978-0-472-01212-1{{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
↑ノイゲバウアー、オットー；ザックス、アブラハム・ジョセフ；ゲッツェ、アルブレヒト（1945）、『数学楔形文字テキスト』、アメリカ東洋シリーズ、第29巻、ニューヘイブン：アメリカ東洋協会およびアメリカ東洋研究学校、2ページ
↑ノイゲバウアー、オットー E. (1955)、天文楔形文字テキスト、ロンドン: ルンド・ハンフリーズ
↑ Fowler, David ; Robson, Eleanor (1998), "古代バビロニア数学における平方根近似：YBC 7289 の文脈", Historia Mathematica , 25 (4): 366– 378, doi : 10.1006/hmat.1998.2209 , MR 1662496
↑トゥーマー、GJ編(1984)、プトレマイオスのアルマゲスト、ニューヨーク: Springer Verlag、p. 302、ISBN 0-387-91220-7
↑ユシュケヴィッチ、アドルフ・P.、「アル＝カシ」、ローゼンフェルド、ボリス・A.（編）、『科学者伝記辞典』、 256ページ。
↑アーボー（1964）、125ページ

さらに読む

イフラ、ジョルジュ（1999）『数の普遍史：先史時代からコンピュータの発明まで』、ワイリー、ISBN 0-471-37568-3。
Nissen, Hans J.; Damerow, P.; Englund, R. (1993), Archaic Bookkeeping , University of Chicago Press, ISBN 0-226-58659-6

外部リンク

『度と分の計算に関する事実』は、シブト・アル＝マーリディーニー、バドル・アル＝ディーン・ムハンマド・イブン・ムハンマド（1423年生まれ）によるアラビア語の書籍である。この著作は、六十進法の数学を非常に詳細に解説しており、六十進分数の周期性について初めて言及したと思われる記述が含まれている。

[1] 発音は/ s ɛ k s ə ˈ dʒ ɛ s ɪ m əl /および/ s ɛ k ˈ s æ dʒ ɪ n ər i / ;「60進法」、オックスフォード英語辞典（オンライン版）、オックスフォード大学出版局を参照（購読または参加機関の会員資格が必要です）

[Neugebauer-2] 1 2 3 4 Neugebauer, O. (1969)、The Exact Sciences In Antiquity 、ドーバー、 17–19ページ、ISBN 0-486-22332-9

[3] Bello, Ignacio; Britton, Jack R.; Kaul, Anton (2009), Topics in Contemporary Mathematics (9th ed.), Cengage Learning, p. 182, ISBN 9780538737791。

[lmnz-4] 1 2ラム、エヴリン（2014年8月31日）、「見て、ママ、ゼロじゃないよ！」、サイエンティフィック・アメリカン、ルーツ・オブ・ユニティ

[5] バートン、ジョージ A. (1908)、「プラトンの結婚数のバビロニア起源について」、アメリカ東洋学会誌、29 : 210–219、doi : 10.2307/592627、JSTOR 592627 マクレーン、アーネスト・G. ; プラトン (1974)、「プラトンの『国家』における音楽的『結婚』」「、音楽理論ジャーナル、18（2）：242–272、JSTOR 843638

[al-Biruni-6] アル・ビールーニー（1879年）[1000年]、『古代諸国の年代記』、C・エドワード・ザッハウ訳、147～ 149頁

[7] ノタフト、C.フィリップ・E. (2018)、『スキャンダラスな誤り：中世ヨーロッパにおける暦改革と暦天文学』、オックスフォード：オックスフォード大学出版局、126ページ、ISBN 9780198799559サクロボスコは六十進法に切り替えたが、それを日ではなく時間に適用することで、コンピュータでの利用により適したものにした。こうして、21世紀においてもなお広く用いられている時、分、秒の使用が始まったのである。

[8] ノタフト、C.フィリップ・E. (2018)、『スキャンダラスな誤り：中世ヨーロッパにおける暦改革と暦天文学』、オックスフォード：オックスフォード大学出版局、196ページ、ISBN 9780198799559アルフォンソ表のラテン語パリ版の注目すべき特徴の1つは、表に表されたすべてのパラメータの厳密な「六十進法化」であり、運動と時間間隔は一貫して日数または度数の60進数の倍数と分数に分解されました。

[9] アイザック・ニュートン（1671）『流率法と無限級数：曲線幾何学への応用』ロンドン：ヘンリー・ウッドフォール（1736年出版）、 146ページ。これらのうち最も注目すべきは、天文学者の間で頻繁に使用されている六十進法または六十進法の尺度であり、これはすべての可能な数、整数または分数、有理数または無理数を、 60のべき乗と59を超えない特定の数値係数によって表します。

[folkerts-10] フォルケルツ、メンソ;ラウナート、ディーター。Thom, Andreas (2016)、「Jost Bürgi のサインを計算する方法」、Historia Mathematica、43 (2): 133–147、arXiv : 1510.03180、doi : 10.1016/j.hm.2016.03.001、MR 3489006、S2CID 119326088

[11] Neugebauer, Otto (1952), "Tamil Astronomy: A Study in the History of Astronomy in India", Osiris , 10 : 252– 276, doi : 10.1086/368555 , S2CID 143591575 ;オットー・ノイゲバウアー(1983)『天文学と歴史：選集』ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、Bibcode：1983ahse.book.....N、ISBNに再録 0-387-90844-7

[12] Bowers, Nancy (1977)、「カパウクの記数法：計算、人種差別、学問、そしてメラネシアの計数システム」(PDF)、Journal of the Polynesian Society、86 (1): 105–116 、 2009年3月5日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み

[13] Lean, Glendon Angove (1992), Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania , Ph.D. thesis, Papua New Guinea University of Technology , 2007年9月5日にオリジナルからアーカイブ済み特に第4章を参照してください。Wayback Machineに2007年9月28日にアーカイブされています。

[14] パウエル、マービン A. (2008). 「六十進法」. 『非西洋文化における科学、技術、医学の歴史百科事典』 . pp. 1998–1999 . doi : 10.1007/978-1-4020-4425-0_9055 . ISBN 978-1-4020-4559-2。

[15] "YAML Ain't Markup Language (YAML™) Version 1.1"。

[16] "YAML バージョン 1.1 用の整数型言語非依存型" .

[17] "YAML™ バージョン 1.1 用の浮動小数点言語非依存型" .

[18] Oren Ben-Kiki、Clark Evans、Brian Ingerson (2009-10-01)、「YAML Ain't Markup Language (YAML™) Version 1.2 (3rd Edition, Patched at 2009-10-01) §10.3.2 タグ解決」、The Official YAML Web Site 、 2019-01-30取得

[19] オットー・ノイゲバウアー(1969) 『古代の精密科学』（第2版）、ドーバー出版、13-14ページ、図版2、ISBN 978-0-486-22332-2

[Mercier-20] レイモンド・メルシエ、「ギリシャ文字『ゼロ』の考察」( PDF)、カイロスのホーム

[21] アーボー、アスガー(1964)、『数学初期史のエピソード』、ニュー・マセマティカル・ライブラリー、第13巻、ニューヨーク：ランダムハウス、103–104頁

[22] カジョリ、フロリアン(2007) [1928]、『数学記号の歴史』第1巻、ニューヨーク：コジモ社、216ページ、ISBN 9781602066854

[23] Wade、Nicholas (1998)、『視覚の自然史』、MIT Press、p. 193、ISBN 978-0-262-73129-4

[24] ルイス、ロバート・E. (1952)、『中英語辞典』、ミシガン大学出版局、231ページ、ISBN 978-0-472-01212-1{{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

[25] ノイゲバウアー、オットー；ザックス、アブラハム・ジョセフ；ゲッツェ、アルブレヒト（1945）、『数学楔形文字テキスト』、アメリカ東洋シリーズ、第29巻、ニューヘイブン：アメリカ東洋協会およびアメリカ東洋研究学校、2ページ

[26] ノイゲバウアー、オットー E. (1955)、天文楔形文字テキスト、ロンドン: ルンド・ハンフリーズ

[27] Fowler, David ; Robson, Eleanor (1998), "古代バビロニア数学における平方根近似：YBC 7289 の文脈", Historia Mathematica , 25 (4): 366– 378, doi : 10.1006/hmat.1998.2209 , MR 1662496

[28] トゥーマー、GJ編(1984)、プトレマイオスのアルマゲスト、ニューヨーク: Springer Verlag、p. 302、ISBN 0-387-91220-7

[29] ユシュケヴィッチ、アドルフ・P.、「アル＝カシ」、ローゼンフェルド、ボリス・A.（編）、『科学者伝記辞典』、 256ページ。

[30] アーボー（1964）、125ページ

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