偽りの規則

数学 において、レギュラ ファルシ (偽法)または偽法は、未知数が 1 つの方程式を解く非常に古い方法です。この方法は、修正された形で現在でも使用されています。簡単に言えば、この方法は、変数にテスト値 (「偽」) を使用し、結果に応じてテスト値を調整する試行錯誤のテクニックです。これは、「推測と確認」と呼ばれることもあります。この方法のバージョンは、代数学の出現と方程式の使用に先立って存在していました。

例として、リンド・パピルスの問題26を考えてみましょう。これは、（現代の記法で書かれた）方程式x + ⁠の解を求めています。x/4⁠ = 15。これは偽の位置によって解決されます。 ^[1]まず、 x = 4と推測して、左側に4 + ⁠ を取得します。4/4⁠ = 5。この推測は整数値を生成するので良い選択です。しかし、4 は元の方程式の解ではありません。3 倍小さい値を与えるからです。これを補正するには、 x (現在は 4 に設定) に 3 を掛けて再度代入し、 12 + ⁠を取得します。12/4⁠ = 15、解がx = 12であることを確認します。

この手法の最新バージョンでは、新しいテスト値を選択するための体系的な方法を採用しており、解の近似値が得られるかどうか、また得られる場合は近似値をどのくらい速く見つけられるかという問題に取り組んでいます。

歴史的には、偽位置法には、単純偽位置と二重偽位置という 2 つの基本的なタイプが区別されます。

単純な偽の位置は、比例関係の問題を解くことを目的としています。このような問題は、次のように 代数的に記述できます。

${\displaystyle ax=b,}$

aとb が既知である場合。この方法は、まずテスト入力値x ′ を使用し、対応する出力値b ′ を乗算によって求めます: ax ′ = b ′。次に、比例調整によって正解を求めます: x = ⁠b/ b ′⁠ x ′ .

二重偽の位置は、次のような 代数的に記述できるより難しい問題を解くことを目的としています。

${\displaystyle f(x)=ax+c=0,}$

もしそれが知られているなら

${\displaystyle f(x_{1})=b_{1},\qquad f(x_{2})=b_{2}.}$

二重偽位置は数学的には線形補間と同等である。一対のテスト入力と対応する一対の出力を使用することで、このアルゴリズムの結果は次のように与えられる。^[2]

${\displaystyle x={\frac {b_{1}x_{2}-b_{2}x_{1}}{b_{1}-b_{2}}},}$

暗記して暗記して実行する。実際、ロバート・レコードが著書『芸術の地平』（1542年頃）で示したルールは次の通りである。^[2]

アフィン線形関数の場合、

${\displaystyle f(x)=ax+c,}$

二重偽位置は正確な解を提供しますが、非線形関数fの場合は反復によって連続的に改善できる近似値を提供します。

単純な偽位置法は、古代バビロニアの数学の楔形文字の粘土板や、古代エジプトの数学のパピルスに見られる。^{[3] [1]}

二重偽位は、純粋に算術的なアルゴリズムとして後期古代に登場しました。紀元前200年から紀元後100年にかけて書かれた古代中国の数学書『九章算術』[4]では、第7章^のほとんどがこのアルゴリズムに充てられています。そこでは、具体的な算術的議論によってこの手順が正当化され、その後、円錐曲線上の割線と呼ばれるものを含むさまざまなストーリー問題に独創的に適用されました。より典型的な例は、「過剰と不足」の条件を伴うこの「共同購入」問題です。^[5]

今、共同で品物を購入します。全員が8[コイン]を出し合い、余剰は3、全員が7を出し合い、不足は4です。人数、品物の価格はそれぞれいくらですか?答え:7人、品物の価格は53です。^[6]

9世紀から10世紀にかけて、エジプトの数学者アブー・カミルが、二重誤算の使用に関する、現在は失われている論文『二つの誤りの書』（Kitāb al-khaṭāʾayn ）を著した。中東で二重誤算に関する現存する最古の著作は、レバノンのバールベック出身のアラブ人数学者クスタ・イブン・ルカ（10世紀） のものである。彼は、形式的なユークリッド式の幾何学的証明によってこの手法を正当化した。中世イスラム数学の伝統では、二重誤算はヒサーブ・アル・カッタイン（「二つの誤りによる計算」）として知られていた。これは、商業や法律の問題（コーランの相続規則に従った財産分割）などの実際的な問題や、純粋に娯楽的な問題を解くために何世紀にもわたって使用されてきた。このアルゴリズムは、イブン・アル＝ヤサミンに帰せられる詩や、アル＝ハッサールとイブン・アル＝バンナが説明した天秤の図などの記憶術を利用して暗記されることが多かった。この3人はいずれもモロッコ出身の数学者である。^[7]

レオナルド・ディ・ピサ（フィボナッチ）は著書『算盤の書』 （1202年）の第13章を、二重の偽の位置の使用法の説明と実証に費やし、この方法を、アラブの文献から学んだアル・カタータイン法にちなんでレギュリス・エルチャタインと名付けた。 ^[7]パチョーリは1494年に著書『算数大全』でエル・カタイムという用語を使用したが、これはおそらくフィボナッチから取った用語だろう。他のヨーロッパの著述家もパチョーリに倣い、ラテン語や現地語への翻訳を提供することもあった。例えば、タルタグリアは1556年にパチョーリの用語のラテン語版を現地語の「偽の位置」に翻訳している。 ^[8]パチョーリの用語は16世紀のヨーロッパの著作ではほとんど姿を消し、この技法は「偽のルール」「位置のルール」「偽の位置のルール」などさまざまな名前で呼ばれた。Regula Falsiは、Rule of Falseのラテン語版として1690年にすでに登場しています。^[2]

16世紀のヨーロッパの著者の中には、真実を見つけようとする科学における方法の名称について謝罪する必要性を感じた者もいた。例えば、1568年にハンフリー・ベイカーは次のように述べている。^[2]

虚偽の規則は、欺瞞や偽りを教えるのではなく、あらゆる試みで得られた偽の数によって、要求されている真の数を見つけ出すことを教えることからそのように名付けられており、これは実践されているすべての俗悪な規則の中で最も優れたもの^である。

二重偽位置法は線形関数の正確な解を提供しますが、これらの関数ではより直接的な代数的手法が使用されてきています。ただし、数値解析では、二重偽位置法は反復数値近似手法で使用される 根探索アルゴリズムになりました。

複雑な方程式のほとんどを含む多くの方程式は、反復的な数値近似によってのみ解くことができます。これは、未知の量のさまざまな値を試す試行錯誤で構成されます。その試行錯誤は、手順の各ステップで、解の新しい推定値を計算することから始まります。計算推定値に到達する方法は多数ありますが、regula falsi はそのうちの 1 つを提供します。

方程式のすべての項を片側に移動し、 f  ( x ) = 0 の形にします。ここで、f は未知の変数xの何らかの関数です。この方程式を満たす値c、つまりf  ( c ) = 0は、関数fの根または零点と呼ばれ、元の方程式の解です。f が連続関数で、 f  ( a ₀ )とf  ( b ₀ )が反対の符号になる 2 つの点a ₀とb ₀が存在する場合、中間値定理により、関数fは区間( a ₀、b ₀ )内に根を持ちます。

このような根の近似値を得るために使用できる根探索アルゴリズムは多数あります。最も一般的なものの 1 つはニュートン法ですが、特定の状況下では根が見つからないことがあり、関数の導関数の計算が必要なため計算コストが高くなる場合があります。他の方法も必要であり、一般的な方法の 1 つが2 点括弧法です。これらの方法は、 k番目のステップで、 ( a _k、b _k )にfの根が含まれるように、一連の縮小区間[ a _k、b _k ] を生成することによって進められます。

これらの方法は、最初に試行錯誤で見つかった2 つのx値から始まり、そこではf  ( x )は反対の符号を持ちます。連続性の仮定の下では、 fの根はこれら 2 つの値の間にあることが保証されます。つまり、これらの値は根を「囲む」ことになります。次に、これら 2 つの値の間に厳密に存在する点が選択され、根を囲むより小さな間隔を作成するために使用されます。選択された点がcである場合、より小さな間隔はcから、 f  ( x ) がf  ( c )と反対の符号を持つ終点まで続きます。 f  ( c ) = 0というありそうもないケースでは、根が見つかったため、アルゴリズムは停止します。それ以外の場合は、必要な精度で根の近似値を取得するために、必要な回数だけ手順が繰り返されます。

任意の現在の間隔で選択されたポイントは、ソリューションの推定値と考えることができます。この方法のさまざまなバリエーションには、このソリューションの推定値を計算するさまざまな方法が含まれます。

括弧を保持し、解の推定値が括弧区間の内側にあることを保証することで、解の推定値が解に向かって収束することが保証されます。これは、ニュートン法やセカント法などの他の根探索法では得られない保証です。

最も単純な方法は二分法と呼ばれ、解の推定値を括弧区間の中点として計算する。つまり、ステップkで現在の括弧区間が[ a _k , b _k ]の場合、新しい解の推定値c _{k は}次のように得られる。

${\displaystyle c_{k}={\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}.}$

これにより、 c _{k が}a _kとb _{k の}間にあることが保証され、解への収束が保証されます。

括弧の間隔の長さは各ステップで半分になるため、二分法の誤差は平均して各反復ごとに半分になります。したがって、3 回の反復ごとに、この方法の精度は約 2 ³倍、つまり小数点 1 桁向上します。

異なる解の推定値を使用することで、二分法の収束率が向上する可能性があります。

regula falsi法は、現在の括弧区間上の関数の端点を結ぶ線分のx切片として新しい解の推定値を計算します。本質的には、実際の関数を括弧区間上の線分に置き換え、その線分上で古典的な二重偽位置公式を使用することで、根を近似しています。^[9]

より正確には、k回目の反復で括弧区間が( a _k , b _k )であると仮定します。図のように、点( a _k , f  ( a _k ))と点( b _k , f  ( b _k ))を通る直線を描きます。この直線は関数fのグラフの割線または弦です。点-傾き形式では、その方程式は次のように表されます。

${\displaystyle y-f(b_{k})={\frac {f(b_{k})-f(a_{k})}{b_{k}-a_{k}}}(x-b_{k}).}$

ここで、この直線のx切片、つまりy = 0となるxの値をc _kとして選び、これらの値を代入して

${\displaystyle f(b_{k})+{\frac {f(b_{k})-f(a_{k})}{b_{k}-a_{k}}}(c_{k}-b_{k})=0.}$

この方程式をc _kについて解くと次のようになります。

${\displaystyle c_{k}=b_{k}-f(b_{k}){\frac {b_{k}-a_{k}}{f(b_{k})-f(a_{k})}}={\frac {a_{k}f(b_{k})-b_{k}f(a_{k})}{f(b_{k})-f(a_{k})}}.}$

この最後の対称形式には計算上の利点があります。

解に近づくにつれて、a _kとb _{k は}非常に接近し、ほぼ常に同じ符号になります。このような減算では、有効桁が失われる可能性があります。f ( b k ) と f  ( a _k )は常に 反対の_符号であるため、改善された式の分子の「減算」は実質的に加算になります (分母の減算も同様です)。

反復回数kでは、c _{k が}上記のように計算され、f  ( a _k )とf  ( c _k )が同じ符号を持つ場合は、a _{k + 1} = c _kおよびb _{k + 1} = b _kに設定され、そうでない場合は、a _{k + 1} = a _kおよびb _{k + 1} = c _kに設定されます。このプロセスは、根が十分に近似されるまで繰り返されます。

上記の式はセカント法でも使用されますが、セカント法では常に最後の 2 つの計算ポイントが保持されるため、若干高速になるものの、括弧が保持されず、収束しない可能性があります。

regula falsi は常に収束し、速度低下をうまく回避するバージョンもあるため、速度が必要な場合には regula falsi が適切な選択肢となります。ただし、その収束率は二分法よりも低くなる可能性があります。

初期の端点 a ₀とb _{0 は、} f  ( a ₀ )とf  ( b ₀ )が反対の符号になるように選択されるため、各ステップで、端点の 1 つがfの根に近づきます。 fの 2 次導関数が区間内に一定の符号を持つ場合(つまり変曲点がない)、 1 つの端点 ( fも同じ符号を持つ端点) は、その後のすべての反復で固定されたままになり、収束する端点が更新されます。その結果、二分法とは異なり、括弧の幅はゼロに近づきません (ゼロが、sign( f  ) = −sign( f " )となる変曲点にある場合を除く)。その結果、誤った位置を選択するために使用されるf  ( x )の線形近似は、可能な限り急速には改善されません。

この現象の一例は、

${\displaystyle f(x)=2x^{3}-4x^{2}+3x}$

初期括弧 [−1,1] で左端の −1 が置き換えられることはありません (最初は変化せず、最初の 3 回の反復の後は、f " は区間上で負になります)。したがって、括弧の幅が 1 を下回ることはありません。したがって、右端は線形速度で 0 に近づきます (正確な桁の数は線形に増加し、収束率は 2/3 です)。^[要出典]

不連続関数の場合、この方法では関数の符号が変わる点（例えば1/ xの場合のx = 0や符号関数）しか見つからないことが期待できます。符号が変わることに加えて、関数がその点で定義されていない場合（または別の値を持っている場合）でも、関数の極限がゼロになる点に収束する可能性もあります（例えば、x ≠ 0のときf  ( x ) = abs( x ) − x ²で与えられる関数のx = 0や、区間 [-0.5, 3.0] から始まるf  (0) = 5で与えられる関数の x = 0 など）。不連続関数の場合、この方法がゼロ極限や符号が変わる点に収束しないことは数学的には可能ですが、実際には問題にはなりません。なぜなら、両方の端点が符号が変化しない不連続点に収束し続けるには 、無限の一致のシーケンスが必要になるからです。例えば、

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(x-1)^{2}}}+{\frac {1}{(x+1)^{2}}}.}$

二分法は、この仮説的な収束の問題を回避します。

regula falsi は常に収束しますが、通常は二分法よりもかなり速く収束しますが、収束が遅くなる状況があり、時には収束が極端に遅くなることもあります。この問題はregula falsiに限ったことではありません。二分法以外の数値方程式を解く方法はすべて、ある条件下では収束が遅い、または収束しないという問題を抱えることがあります。ニュートン法とセカント法は収束する代わりに発散することがありますが、多くの場合、 regula falsi の収束が遅くなるのと同じ条件下で発散します。

しかし、regula falsiは最良の方法の 1 つであり、元の改良されていないバージョンでも最良の選択となることがよくあります。たとえば、導関数の評価に時間がかかりすぎるためにニュートン法が使用されない場合や、ニュートン法と逐次代入法が収束しなかった場合などです。

Regula falsi の失敗モードは簡単に検出できます。同じエンドポイントが 2 回連続して保持されます。この問題は、比較的まれな不利な状況による速度低下を回避するために選択された、修正された偽の位置を選択することで簡単に解決できます。regula falsiに対するこのような改善は数多く提案されています。そのうちの 2 つ、イリノイ アルゴリズムとアンダーソン ビョーク アルゴリズムについて、以下で説明します。

イリノイアルゴリズムは、新しいy値（つまり、f  ( c _k )）が前の値（ f  ( c _{k − 1} )）と同じ符号を持つ場合、次の推定計算で保持されたエンドポイントのy値を半分にします。つまり、前のステップのエンドポイントが保持されます。したがって、

${\displaystyle c_{k}={\frac {{\frac {1}{2}}f(b_{k})a_{k}-f(a_{k})b_{k}}{{\frac {1}{2}}f(b_{k})-f(a_{k})}}}$

または

${\displaystyle c_{k}={\frac {f(b_{k})a_{k}-{\frac {1}{2}}f(a_{k})b_{k}}{f(b_{k})-{\frac {1}{2}}f(a_{k})}},}$

端点の値の1つを重み付けし、次のc _kが関数のその側で発生するように強制する。^[10]因子⁠1/2⁠上記の式は恣意的に見えますが、超線形収束を保証します（漸近的には、アルゴリズムは任意の変更されたステップの後に2つの通常のステップを実行し、収束次数は1.442です）。さらに優れた超線形収束率を与える再スケーリングを選択する他の方法もあります。^[11]

上記のregula falsiへの調整は、一部の学者によってイリノイアルゴリズムと呼ばれています。 ^{[10] [12]} Ford（1995）は、これと他の同様の偽位置法の超線形変種を要約して分析しています。^[11]

k回目の反復で、括弧区間が[ a _k , b _k ]であり、新しく計算された推定値c _kの機能値がf  ( b _k )と同じ符号を持つと仮定します。この場合、新しい括弧区間[ a _{k + 1} , b _{k + 1} ] = [ a _k , c _k ]となり、左側の端点は保持されます。(ここまでは、通常の Regula Falsi および Illinois アルゴリズムと同じです。)

しかし、イリノイアルゴリズムでは、f  ( a _k )を⁠1/2⁠、アンダーソン・ビョルクアルゴリズムはそれをmで乗算します。ここでmは次の2つの値のいずれかになります。^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}m'&=1-{\frac {f(c_{k})}{f(b_{k})}},\\m&={\begin{cases}m'&{\text{if }}m'>0,\\{\frac {1}{2}}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$

単純な根の場合、アンダーソン・ビョルク法は実用上非常に優れた性能を発揮します。^[14]

、黄金比 が与えられた 場合、各反復で ITP メソッドは次の 3 つの手順で点を計算します。 ${\displaystyle \kappa _{1}\in (0,\infty ),\kappa _{2}\in \left[1,1+\phi \right)}$${\displaystyle n_{1/2}\equiv \lceil (b_{0}-a_{0})/2\epsilon \rceil }$${\displaystyle n_{0}\in [0,\infty )}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})}$${\displaystyle j=0,1,2...}$${\displaystyle x_{\text{ITP}}}$

1. [補間手順] 二等分点と正規偽点を計算します ${\displaystyle x_{1/2}\equiv {\frac {a+b}{2}}}$ 。 および ${\displaystyle x_{f}\equiv {\frac {bf(a)-af(b)}{f(a)-f(b)}}}$
2. [打ち切りステップ] 推定量を中心に向かって摂動します。 ${\displaystyle x_{t}\equiv x_{f}+\sigma \delta }$ ここで 、およびです 。${\displaystyle \sigma \equiv {\text{sign}}(x_{1/2}-x_{f})}$${\displaystyle \delta \equiv \min\{\kappa _{1}|b-a|^{\kappa _{2}},|x_{1/2}-x_{f}|\}}$
3. [投影ステップ] 推定量をminmax区間に投影します。ここで、${\displaystyle x_{\text{ITP}}\equiv x_{1/2}-\sigma \rho _{k}}$${\displaystyle \rho _{k}\equiv \min \left\{\epsilon 2^{n_{1/2}+n_{0}-j}-{\frac {b-a}{2}},|x_{t}-x_{1/2}|\right\}}$

この点における関数の値が照会され、区間は、両端に反対符号の関数値を持つサブ区間を保持することで、ルートを囲むように縮小されます。この3段階の手順により、推定値によって二分法の最小最大特性と割線法の超線形収束が実現されます。また、滑らかな関数と滑らかでない関数の両方において、二分法と補間ベースの方法の両方よりも優れていることが観察されています。^[15]${\displaystyle f(x_{\text{ITP}})}$

コンピュータを使用して 1 つまたは複数の方程式を解く場合、二分法が適切な選択です。二分法は、他の方法ほど高速ではありませんが (他の方法が最善で問題がない場合)、それでも有効な速度で収束することが保証されており、反復ごとに誤差がほぼ半分になり、3 回の反復ごとに精度が約 1 桁向上します。

計算機による手動計算では、より高速な方法を使用したい傾向があり、通常は二分法よりも収束が速くなりますが、常にそうとは限りません。しかし、コンピューターは二分法を使用しても、方程式を非常に高速に望みの精度で解くため、信頼性の低い方法を使用して時間を節約する必要はありません。そして、どの方法も二分法よりも信頼性が低いのです。

例外となるのは、コンピュータ プログラムが実行中に何度も方程式を解かなければならない場合です。その場合、高速な方法によって節約される時間は大幅に増加する可能性があります。

次に、プログラムはニュートン法から開始し、ニュートン法が収束しない場合は、おそらくイリノイ法やアンダーソン・ビョルク法などの改良版のregula falsiに切り替えることができます。または、それでも二分法ほど収束しない場合は、常に、目を見張るほどではないにしても、有用な速度で収束する二分法に切り替えます。

yの変化が非常に小さくなり、x の変化も非常に小さくなると、ニュートン法はおそらく問題に遭遇せず、収束します。したがって、これらの好ましい条件下では、誤差を非常に小さくし、非常に速い収束を望む場合は、ニュートン法に切り替えることができます。

『九章』の第 7 章では、根を求める問題を現代語に翻訳すると次のようになります。

過剰と不足の問題 #11:

• ガマは初日に3単位成長しました。1日の終わりには、植物は⁠成長していることが観察されます。 1 /2前日の成長率。
• クラブラッシュは初日に 1 単位成長しました。毎日の終わりには、植物は前日の成長の 2 倍に成長しています。
• ガマがガマと同じ高さになるまでの時間（小数日）を求めます。

答え:日数。高さは単位です。${\displaystyle (2+{\frac {6}{13}})}$${\displaystyle (4+{\frac {8}{10}}+{\frac {6}{130}})}$

説明：

• 2 日目だとします。クラブラッシュはブルラッシュよりも 1.5​​ 単位短くなります。
• 3日目だとします。クラブラッシュはガマより1.75単位高くなります。 ∎

これを理解するために、 n日目（n = 1、2、3...）の植物の高さを等比級数に従ってモデル化します。

${\displaystyle B(n)=\sum _{i=1}^{n}3\cdot {\frac {1}{2^{i-1}}}\quad }$ブルラッシュ

${\displaystyle C(n)=\sum _{i=1}^{n}1\cdot 2^{i-1}\quad }$クラブラッシュ

表記をわかりやすくするために、植物の高さの級数をkで書き直し、和の公式を呼び出します。 ${\displaystyle \ k=i-1~.}$${\displaystyle \ B(n),\ C(n)\ }$

${\displaystyle \ B(n)=\sum _{k=0}^{n-1}3\cdot {\frac {1}{2^{k}}}=3\left({\frac {1-({\tfrac {1}{2}})^{n-1+1}}{1-{\tfrac {1}{2}}}}\right)=6\left(1-{\frac {1}{2^{n}}}\right)}$

${\displaystyle \ C(n)=\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}={\frac {~~1-2^{n}}{\ 1-2\ }}=2^{n}-1\ }$

さて、regula falsiを使って、${\displaystyle \ (C(n)-B(n))\ }$

${\displaystyle \ F(n):=C(n)-B(n)={\frac {6}{2^{n}}}+2^{n}-7\ }$

設定して計算すると、-1.5 (「赤字」)になります。 設定して計算すると、1.75 (「超過」) になります。${\displaystyle \ x_{1}=2\ }$${\displaystyle \ F(x_{1})=F(2)\ }$
${\displaystyle \ x_{2}=3\ }$${\displaystyle \ F(x_{2})=F(3)\ }$

推定ルート（1回目の反復）:

${\displaystyle \ {\hat {x}}~=~{\frac {~x_{1}F(x_{2})-x_{2}F(x_{1})~}{F(x_{2})-F(x_{1})}}~=~{\frac {~2\times 1.75+3\times 1.5~}{1.75+1.5}}~\approx ~2.4615\ }$

このサンプル プログラムは、C プログラミング言語で記述されており、イリノイ アルゴリズムの例です。cos ( x ) = x ³となる正の数x を求めるために、方程式は根を求める形式f  ( x ) = cos( x ) − x ³ = 0に変換されます。

#include <stdio.h> #include <math.h> 
 

double f ( double x ) { return cos ( x ) - x * x * x ; } /* a,b: 検索する区間の端点   e: 相対誤差の上限の半分   m: 反復の最大回数*/ double FalsiMethod ( double ( * f )( double ), double a , double b , double e , int m ) { double c , fc ; int n , side = 0 ; /* 区間の端点の開始値 */ double fa = f ( a ); double fb = f ( b );   
      





           
     
       
   
      
      

   for ( n = 0 ; n < m ; n ++ ) { c = ( fa * b - fb * a ) / ( fa - fb ); if ( fabs ( b - a ) < e * fabs ( b + a )) break ; fc = f ( c );        
                  
               
         
        

      if ( fc * fb > 0 ) { /* fc と fb は同じ符号なので、c を b にコピーします */ b = c ; fb = fc ; if ( side == -1 ) fa /= 2 ; side = -1 ; } else if ( fa * fc > 0 ) { /* fc と fa は同じ符号なので、c を a にコピーします */ a = c ; fa = fc ; if ( side == + 1 ) fb /= 2 ; side = + 1 ; } else { /* fc * f_ は非常に小さい (ゼロのように見える) */ break ; } } return c ; }      
         
              
            
              
           
              
         
              
            
              
           
        
         
         
      
   
    


int main ( void ) { printf ( "%0.15f \n " , FalsiMethod ( & f , 0 , 1 , 5E-15 , 100 )); 0 を返します。}  
        
    

このコードを実行すると、最終的な答えは約 0.865474033101614 になります。

• ITP法、保証された最小最大収束と超線形収束を伴う変種
• リダーズ法、偽位置法に基づく別の根探索法
• ブレント法

• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2000)。数値解析（第 7 版）。Brooks/ Cole。ISBN 0-534-38216-9。
• Sigler, LE (2002)。フィボナッチの算盤、レオナルド・ピサーノの計算書。Springer- Verlag。ISBN 0-387-40737-5。
• ロバーツ、AM（ 2020）。「コロンビア大学所蔵アラビア語写本における二重偽位置に関する論文の数学的文献学」。文献学的出会い。5 （3–4）：3–4。doi ：10.1163 / 24519197-BJA10007。S2CID  229538951。(中世アラビア語写本における二重の偽の位置に関するこれまで未発表の論文について)