ブロッホの定理

凝縮系物理学において、ブロッホの定理は、周期ポテンシャルにおけるシュレーディンガー方程式の解は、周期関数によって変調された平面波として表現できるというものである。この定理は、 1929年に定理を発見したスイスの物理学者フェリックス・ブロッホにちなんで名付けられた。^[1]数学的には、次のように表記される。^[2]

ブロッホ関数

$\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} )$

ここで、は位置、は波動関数、は結晶と同じ周期性を持つ周期関数、波動ベクトルは結晶運動量ベクトル、はオイラー数、は虚数単位です。 $\mathbf {r}$ $\psi$ $u$ $\mathbf {k}$ $e$ $i$

この形式の関数はブロッホ関数またはブロッホ状態として知られており、結晶固体内の電子の波動関数または状態に適した基礎として機能します。

ブロッホ関数による電子の記述は、ブロッホ電子（または、あまり一般的ではないが、ブロッホ波）と呼ばれ、電子バンド構造の概念の基礎となっています。

これらの固有状態は、下付き文字で表されます。ここで、はバンドインデックスと呼ばれる離散インデックスです。これは、同じを持つ多くの異なる波動関数(それぞれが異なる周期成分を持つ) が存在するために存在します。バンド内では (つまり、が固定されている場合)、はとともに連続的に変化し、そのエネルギーも変化します。また、は、一定の逆格子ベクトル、またはまでしか一意ではありません。したがって、波動ベクトルは、一般性を失うことなく、逆格子の最初のブリルアンゾーンに制限できます。 $\psi _{n\mathbf {k} }$ $n$ $\mathbf {k}$ $u$ $n$ $\psi _{n\mathbf {k} }$ $\mathbf {k}$ $\psi _{n\mathbf {k} }$ $\mathbf {K}$ $\psi _{n\mathbf {k} }=\psi _{n(\mathbf {k+K} )}$ $\mathbf {k}$

応用と結果

適用範囲

ブロッホの定理の最も一般的な例は、結晶内の電子を記述することであり、特に電子バンド構造などの結晶の電子特性を特徴付ける場合に当てはまります。ただし、ブロッホ波の記述は、周期的な媒体内の波のような現象にもっと一般的に適用されます。たとえば、電磁気学における周期的な誘電体構造はフォトニック結晶につながり、周期的な音響媒体はフォノニック結晶につながります。これは通常、回折の動的理論のさまざまな形式で扱われます。

波ベクトル

ブロッホ波動関数 (下) は、周期関数 (上) と平面波 (中央) の積に分解できます。左側と右側は、波動ベクトル $k 1$ (左) または $k 2$ (右) を含む 2 つの異なる方法で分解された同じブロッホ状態を表します。差 ( $k 1 - k 2$ ) は逆格子ベクトルです。すべてのプロットで、青は実数部、赤は虚数部です。

電子がブロッホ状態にあり、 $u が$ 結晶格子と同じ周期性で周期的であると仮定します。電子の実際の量子状態は、 $k$ や $u$ によって直接決定されるのではなく、によって完全に決定されます。 $k$ と $u は$ 一意ではないため、これは重要です。具体的には、が $k を$ 使用して上記のように記述できる場合、 $($ $k$ $+$ $K$ $) を$ 使用して記述することもできます。ここで、 $K$ は任意の逆格子ベクトルです(右の図を参照)。したがって、逆格子ベクトルだけ異なる波動ベクトルは、同じブロッホ状態のセットを特徴付けるという意味で同等です。 $\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),$ $\psi$ $\psi$

第1 ブリルアンゾーンは、どの 2 つの値も等しくないという特性を持つ $k$ の値の制限された集合ですが、すべての可能な $k$ は、第 1 ブリルアンゾーン内の 1 つの (そして唯一の) ベクトルと等しくなります。したがって、 $k を$ 第 1 ブリルアンゾーンに制限すると、すべてのブロッホ状態は一意の $k$ を持ちます。したがって、第 1 ブリルアンゾーンは、たとえばバンド構造で冗長性のないすべてのブロッホ状態を表すためによく使用され、多くの計算で同じ理由で使用されます。

$k$ に換算プランク定数を掛けると、電子の結晶運動量に等しくなります。これに関連して、電子の群速度は、ブロッホ状態のエネルギーが $k$ とともにどのように変化するかに基づいて計算できます。詳細については、結晶運動量を参照してください。

詳細な例

ブロッホの定理の結果が特定の状況で解明される詳細な例については、「1 次元格子内の粒子 (周期的ポテンシャル)」の記事を参照してください。

声明

ブロッホの定理 — 完全な結晶内の電子の場合、次の 2 つの特性を持つ波動関数の基底が存在します。

これらの波動関数はそれぞれエネルギーの固有状態であり、
これらの波動関数はいずれもブロッホ状態であり、 $u$ $($ $r$ $) が$ 結晶の原子構造と同じ周期性を持つ形で表すことができる。 $\psi$ $\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),$ $u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} ).$

この定理を述べる2番目の同等の方法は、次の通りである^[3]。

ブロッホの定理 — シュレーディンガー方程式を満たす任意の波動関数と格子ベクトルの変換に対して、少なくとも 1 つのベクトルが存在します。 $\mathbf {a}$ $\mathbf {k}$ $\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {a} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} ).$

証拠

格子周期性を利用する

ブロッホの定理は格子周期性に関する記述であるため、この証明ではすべての対称性が波動関数自体の並進対称性としてエンコードされます。

格子周期性を用いた証明

出典: ^[4]

予備知識: 結晶の対称性、格子、逆格子

結晶を定義する特性は並進対称性です。これは、結晶を適切な量だけ移動させると、結晶内のすべての原子が同じ位置になることを意味します。(有限サイズの結晶は完全な並進対称性を持つことはできませんが、近似値としては便利です。)

3 次元結晶には、 3 つの基本格子ベクトル $a 1 、 a 2 、 a 3$ があります。結晶がこれらの 3 つのベクトルのいずれか、またはそれらの組み合わせ ( n $i$ $は$ 3 つの整数) によってシフトされると、原子は開始時と同じ位置セットに戻ります。 $n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3},$

証明のもう一つの役に立つ要素は、逆格子ベクトルです。これらは、3つのベクトル $b 1 、 b 2 、 b 3$ （単位は逆長さ）であり、 $a i \cdot b i = 2 π$ ですが、 $i$ $\neq$ $j$ のときは $a i \cdot b j = 0という特性があります。（$ $b$ $i$ の式については、逆格子ベクトルを参照してください。）

翻訳演算子に関する補題

は、すべての波動関数を $n$ $1$ $a$ $1$ $+$ $n$ $2$ $a$ $2$ $+$ $n$ $3$ $a$ $3$ だけシフトする変換演算子を表します(上記のように、 $n$ $j$ は整数です)。次の事実は、ブロッホの定理の証明に役立ちます。 ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$

補題 — 波動関数 $ψ が$ すべての変換演算子の固有状態（同時に）である場合、 $ψ$ はブロッホ状態です。

補題の証明

すべての変換演算子の固有状態である波動関数 $ψ$ があると仮定します。この特別なケースとして、 $j$ $= 1, 2, 3$ に対して、 $C$ $j は$ $r$ に依存しない3 つの数 (固有値) です。数 $C$ $jを、$ $e$ $2$ $πiθ$ $j$ $=$ $C$ $j$ で $θ$ $1$ $、$ $θ$ $2$ $、$ $θ$ $3 の$ 3 つの数を選択して、別の形式で記述すると便利です。繰り返しますが、 $θ$ $j は$ $r$ に依存しない 3 つの数です。 $k$ $=$ $θ$ $1$ $b$ $1$ $+$ $θ$ $2$ $b$ $2$ $+$ $θ$ $3$ $b$ $3$ と定義します。ここで、 $b$ $j は$ 逆格子ベクトルです (上記を参照)。最後に、定義します。するとこれは、 $u が$ 格子の周期性を持つことを証明します。これは、状態がブロッホ状態であることを証明しています。 $\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=C_{j}\psi (\mathbf {r} )$ $\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )$ $u(\mathbf {r} )=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\psi (\mathbf {r} )\,.$ ${\begin{aligned}u(\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})&=e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})}\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})\\&={\big (}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{j}}{\big )}{\big (}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} ){\big )}\\&=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-2\pi i\theta _{j}}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )\\&= u(\mathbf {r} ).\end{aligned}}$ $\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),$

最後に、Bloch の定理の主な証明は次のとおりです。

上で述べたように、はすべての波動関数を $n$ $1$ $a$ $1$ $+$ $n$ $2$ $a$ $2$ $+$ $n$ $3$ $a$ $3$ だけシフトする変換演算子を表します。ここで $n$ $i$ は整数です。結晶は変換対称性を持つため、この演算子はハミルトニアン演算子と交換します。さらに、このような変換演算子はすべて、他のすべての演算子と交換します。したがって、ハミルトニアン演算子とすべての可能な演算子の同時固有基底が存在します。この基底こそが、私たちが探しているものです。この基底の波動関数は、エネルギー固有状態 (ハミルトニアンの固有状態であるため) であり、ブロッホ状態でもあります (変換演算子の固有状態であるため、上記の補題を参照)。 ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!$

演算子の使用

この証明では、すべての対称性は変換演算子の交換特性としてエンコードされている。

演算子を使った証明

出典: ^[5]

並進演算子を次のように定義します。平均周期ポテンシャルの仮説とハミルトニアンによる独立電子近似を使用します。ハミルトニアンは並進に対して不変であるため、並進演算子と可換であり、2つの演算子は共通の固有関数セットを持ちます。したがって、並進演算子の固有関数を見てみましょう。は加法演算子です。ここで固有値方程式を代入し、両辺をで割ると、次のようになります。 ${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {r} )&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })\\&=\psi (\mathbf {r} +n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {A } \mathbf {n} )\end{整列}}$ $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {n} ={\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}$ $U(\mathbf {x} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })=U(\mathbf {x} )$ ${\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+U(\mathbf {x} )$ $[{\hat {H}},{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }]=0$ ${\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )=\lambda _{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )$ ${\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }$ ${\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} _{1}+\mathbf {A} \mathbf {n} _{2})={\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )$ $\psi (\mathbf {x} )$ $\lambda _{\mathbf {n} _{1}}\lambda _{\mathbf {n} _{2}}=\lambda _{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}$

これは、体積Vの単一のプリミティブセル上の正規化条件を使用する場合、に対して真であり、したがってであり、である。最後に、はブロッホ波に対して真であり、に対して真であり、に対して真である。 $\lambda _{\mathbf {n} }=e^{s\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }$ $s\in \mathbb {C}$ $1=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} =\int _{V}\left|{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )\right|^{2}d\mathbf {x} =|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x}$ $1=|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}$ $s=ik$ $k\in \mathbb {R}$ $\mathbf {{\hat {T}}_{n}} \psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=e^{ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }\psi (\mathbf {x} ),$ $\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )$ $u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} )$

群論の使用

群論の技術的な側面はさておき、この証明は、並進運動だけではない群に対してブロッホの定理を一般化する方法を明らかにする点で興味深い。これは通常、並進運動と点群の組み合わせである空間群に対して行われ、FCCやBCCなどの特定の結晶群の対称性と最終的には追加基底が与えられた場合に、結晶のバンド構造、スペクトル、比熱を計算するために使用される。 [ ^6]^{: 365–367}^[7] この証明では、追加点群が有効ポテンシャルの対称性によって駆動されるが、ハミルトニアンと可換であることが重要であることにも気づくことができる。

キャラクター理論による証明^[6]^{: 345–348}

すべての変換はユニタリかつアーベル的である。変換は単位ベクトルで表すことができる。これらは交換可能な演算子として考えることができる。 ${\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{3}n_{i}\mathbf {a} _{i}$ ${\hat {\boldsymbol {\tau }}}={\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{2}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{3}$ ${\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}=n_{i}{\hat {\mathbf {a} }}_{i}$

演算子の可換性により、3つの可換巡回部分群（1つの要素のみで生成できる場合）が与えられ、これらは無限、1次元、アーベル群である。アーベル群の既約表現はすべて1次元である。^[8] ${\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}$

これらが 1 次元であれば、行列表現と指標は同じです。指標は、群の複素数上の表現、または表現のトレースでもあり、この場合は 1 次元行列です。これらの部分群はすべて、巡回的であれば、適切な単位元の根である指標を持ちます。実際、これらにはに従う1 つの生成元があり、したがって指標になります。これは有限巡回群の場合は簡単ですが、無限巡回群の可算無限の場合(つまり、ここでは変換群) には、指標が有限のままである制限があることに注意してください。 $\gamma$ $\gamma ^{n}=1$ $\chi (\gamma )^{n}=1$ $n\to \infty$

文字が単位根であるとすると、各部分群に対して文字は次のように表される。 $\chi _{k_{1}}({\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}(n_{1},a_{1}))=e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}$

ポテンシャルにボルン・フォン・カルマン境界条件を導入すると、Lは方向のマクロ周期性であり、これはの倍数としても見ることができる。 $V\left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=V(\mathbf {r} +\mathbf {L} )=V(\mathbf {r} )$ $\mathbf {a}$ $a_{i}$ ${\textstyle \mathbf {L} =\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}}$

時間に依存しないシュレーディンガー方程式に単純な有効ハミルトニアンを代入すると、波動関数の周期性が誘発されます。 ${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )$ $\psi \left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=\psi (\mathbf {r} )$

そして各次元に対して、周期Lを持つ変換演算子 ${\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}+L_{i}}={\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}}$

ここから、特性はの変換によって不変であることがわかります。最後の式から、各次元に対して周期条件が得られます。ここでは整数であり、 $L_{i}$ $e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}=e^{ik_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})}$ $k_{1}n_{1}a_{1}=k_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})-2\pi m_{1}$ $m_{1}\in \mathbb {Z}$ $k_{1}={\frac {2\pi m_{1}}{L_{1}}}$

波数ベクトルはと同様に既約表現を識別し、方向における結晶のマクロな周期長です。この文脈では、波数ベクトルは並進演算子の量子数として機能します。 $k_{1}$ $m_{1}$ $L_{1}$ $a_{1}$

これを 3 次元に一般化すると、波動関数の一般的な式は次のようになります。つまり、これを変換に特化することで、ブロッホの定理が証明されます。 $\chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})\chi _{k_{3}}(n_{3},a_{3})=e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\hat {P}}_{R}\psi _{j}=\sum _{\alpha }\psi _{\alpha }\chi _{\alpha j}(R)$ ${\hat {P}}_{\varepsilon |{\boldsymbol {\tau }}}\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}=\psi (\mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }})$

ブロッホの定理の一般化バージョンでは、フーリエ変換、すなわち波動関数の展開は、巡回群、したがって変換にのみ適用可能な離散フーリエ変換から、特性が特定の有限点群から与えられる波動関数の特性展開に一般化されます。

また、ここでは、（既約表現の不変量としての）キャラクターが、既約表現そのものではなく、基本的な構成要素として扱われる様子を見ることができる。 ^[9]

速度と有効質量

時間に依存しないシュレーディンガー方程式をブロッホ波動関数に適用すると、境界条件で次の式が得られます。これは有限体積で定義されているため、無限の固有値族が期待されます。ここにハミルトニアンのパラメータがあり、したがって連続パラメータに依存する「連続した固有値族」に到達し、電子バンド構造の基本概念に到達します。 ${\hat {H}}_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\left[{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}+U(\mathbf {r} )\right]u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\varepsilon _{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$ $u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )$ ${\mathbf {k} }$ $\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )$ ${\mathbf {k} }$

証明^[10]

$E_{\mathbf {k} }\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {x} )\right]\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)$

私たちは ${\begin{aligned}E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\left(i\mathbf {k} \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\mathbf {k} ^{2}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-2i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+U(\mathbf {x} )u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\end{aligned}}$

これは、有効運動量が標準運動量と結晶運動量の2 つの部分で構成されていることを示しています。より正確には、結晶運動量は運動量ではありませんが、最小結合における電磁運動量と同じように、また運動量の標準変換の一部として運動量を表します。 ${\hat {\mathbf {p} }}_{\text{eff}}=-i\hbar \nabla +\hbar \mathbf {k} ,$ $-i\hbar \nabla$ $\hbar \mathbf {k}$

有効速度については次のように導出できる。

ブロッホ電子の平均速度

${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }={\frac {\hbar }{m}}\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle =\hbar \langle {\hat {\mathbf {v} }}\rangle$

証明^[11]

導関数を評価し、それらが $q$ における次の展開の係数であるとすると、 $qは$ $k$ に関して小さいと見なされます。の固有値が与えられます。q における次の摂動問題を検討できます。2 次摂動論では、積分が基本セルまたは結晶全体にわたって行われる $q$ における線形順序を計算するには、積分がセルまたは結晶全体で正規化されている場合に指定します。 ${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}$ ${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}$ $\varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )=\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )+\sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}+O(q^{3})$ $\varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )$ ${\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }$ ${\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }={\hat {H}}_{\mathbf {k} }+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}$ $E_{n}=E_{n}^{0}+\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}|^{2}}{E_{n}^{0}-E_{n'}^{0}}}+...$ $\sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}=\sum _{i}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}(-i\nabla +\mathbf {k} )_{i}q_{i}u_{n\mathbf {k} }$ $\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}u_{n\mathbf {k} }$

$qを$ 簡略化して完全な波動関数を再挿入すると、 ${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }$ ${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }$

有効質量について

有効質量定理

${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}$

証明^[11]

2次の項を再び消去すると定理が得られる。 ${\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n'\mathbf {k} }|^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}$ $\psi _{n\mathbf {k} }=|n\mathbf {k} \rangle =e^{i\mathbf {k} \mathbf {x} }u_{n\mathbf {k} }$ ${\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle n\mathbf {k} |{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla )|n'\mathbf {k} \rangle |^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}$ $q_{i}$ $q_{j}$ ${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}$

右辺の量を係数で乗じたものは有効質量テンソル^[12]と呼ばれ、これを使ってバンド内の電荷キャリアの半古典的方程式を書くことができる^[13]。 ${\frac {1}{\hbar ^{2}}}$ $\mathbf {M} (\mathbf {k} )$

バンド内の電荷キャリアの2次半古典的運動方程式

$\mathbf {M} (\mathbf {k} )\mathbf {a} =\mp e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} (\mathbf {k} )\times \mathbf {B} \right)$

ここで、は加速度である。この式はド・ブロイ波型近似に類似している^[14] $\mathbf {a}$

バンド内の電子の運動に関する一次半古典方程式

$\hbar {\dot {k}}=-e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$

直感的な解釈としては、前の 2 つの方程式は両方とも形式的に似ており、外部ローレンツ力を受ける電子に対するニュートンの運動の第二法則と半古典的な類似性があります。

歴史と関連する方程式

ブロッホ状態の概念は、結晶固体中の電子伝導を記述するために、 1928年にフェリックス・ブロッホによって開発されました^{[15] 。しかし、同じ基礎となる数学は、}ジョージ・ウィリアム・ヒル(1877)、^[16]、ガストン・フロケ(1883)、^[17]、アレクサンダー・リャプノフ(1892)によって独立に数回発見されました。^[18]その結果、さまざまな命名法が一般的です。常微分方程式に適用された場合、フロケ理論(または時々リャプノフ・フロケの定理)と呼ばれます。1次元周期ポテンシャル方程式の一般的な形はヒルの方程式です: ^[19] ここで、 $f$ $($ $t$ $)$ は周期ポテンシャルです。具体的な周期的な1次元方程式には、クローニッヒ・ペニーモデルやマシューの方程式があります。 ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,$

数学的にはブロッホの定理は格子群のユニタリ特性の観点から解釈され、スペクトル幾何学に適用される。^[20]^[21]^[22]

参照

参考文献

^ Bloch、F. (1929)。クリスタルギッターンの電子の量子機械を作成します。物理学の時代、52(7)、555-600。
^ キッテル、チャールズ(1996)。固体物理学入門。ニューヨーク：ワイリー。ISBN 0-471-14286-7。
^ ジマン、JM (1972)。固体理論の原理（第2版）。ケンブリッジ大学出版局。pp. 17–20。ISBN 0521297338。
^ アシュクロフトとマーミン、1976年、p. 134
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^ アシュクロフトとマーミン、1976年、p. 140
^ ab アシュクロフトとマーミン、1976 年、p. 765 付録 E
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^ アシュクロフトとマーミン、1976年、p. 227
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^ Alexander Mihailovich Lyapunov (1992)。運動の安定性の一般的な問題。ロンドン：Taylor and Francis。エドゥアール・ダヴォーによるロシア語の原論文（1892年）のフランス語訳（1907年）からATフラーが翻訳。
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さらに読む

アシュクロフト、ニール、マーミン、N. デイビッド(1976)。固体物理学。ニューヨーク: ホルト、ライナーハート、ウィンストン。ISBN 978-0-03-083993-1。
Dresselhaus, MS (2010). 群論: 凝縮物質の物理学への応用. Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-06945-1. OCLC 692760083.
H. Föll. 「周期ポテンシャルとブロッホの定理 - 「半導体 I」の講義」。キール大学。
MSP イーストハム (1973)。周期微分方程式のスペクトル理論。数学テキスト。エディンバラ: スコットランド学術出版局。
J. Gazalet、S. Dupont、JC Kastelik、Q. Rolland、B. Djafari-Rouhani (2013)。「周期的媒体を伝播する波に関するチュートリアル調査：電子、フォトニック、フォノニック結晶。実領域とフーリエ領域の両方におけるブロッホ定理の認識」。Wave Motion。50 ( 3 ) : 619–654。Bibcode :2013WaMot..50..619G。doi :10.1016/j.wavemoti.2012.12.010 。

[1] Bloch、F. (1929)。クリスタルギッターンの電子の量子機械を作成します。物理学の時代、52(7)、555-600。

[2] キッテル、チャールズ(1996)。固体物理学入門。ニューヨーク：ワイリー。ISBN 0-471-14286-7。

[ziman:1-3] ジマン、JM (1972)。固体理論の原理（第2版）。ケンブリッジ大学出版局。pp. 17–20。ISBN 0521297338。

[:3-4] アシュクロフトとマーミン、1976年、p. 134

[:4-5] アシュクロフトとマーミン、1976年、p. 137

[Dresselhaus2002-6] Dresselhaus, MS (2002). 「群論の固体物理学への応用」(PDF) . MIT . 2019年11月1日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2020年9月12日閲覧。

[7] 面心立方結晶の振動スペクトルと比熱、ロバート・B・レイトン[1]

[8] Roy, Ricky (2010 年 5 月 2 日). 「表現理論」(PDF) . ピュージェットサウンド大学.

[9] オイラーからラングランズまでの群表現と調和解析、第2部 [2]

[:1-10] アシュクロフトとマーミン、1976年、p. 140

[:2-11] アシュクロフトとマーミン、1976 年、p. 765 付録 E

[:5-12] アシュクロフトとマーミン、1976年、p. 228

[:6-13] アシュクロフトとマーミン、1976年、p. 229

[:7-14] アシュクロフトとマーミン、1976年、p. 227

[15] フェリックス・ブロック(1928)。「クリスタルギテルンの電気機械の超能力」。Zeitschrift für Physik (ドイツ語)。52 (7–8): 555–600。Bibcode :1929ZPhy...52..555B。土井：10.1007/BF01339455。S2CID 120668259。

[16] ジョージ・ウィリアム・ヒル(1886). 「太陽と月の平均運動の関数である月の近地点の運動の部分について」。Acta Math . 8 : 1–36. doi : 10.1007/BF02417081 .この作品は1877年に初めて出版され、私的に配布されました。

[17] ガストン・フロケット(1883)。「線形性の違いと周期性の関係」。高等師範科学誌。12：47～88。土井：10.24033/asens.220。

[18] Alexander Mihailovich Lyapunov (1992)。運動の安定性の一般的な問題。ロンドン：Taylor and Francis。エドゥアール・ダヴォーによるロシア語の原論文（1892年）のフランス語訳（1907年）からATフラーが翻訳。

[Magnus_Winkler-19] マグナス、W ; ウィンクラー、S (2004)。ヒルの方程式。クーリエ・ドーバー。p. 11。ISBN 0-486-49565-5。

[20] Kuchment, P.(1982) 「偏微分方程式のフロケ理論」RUSS MATH SURV.、37、1–60

[21] 勝田明;砂田剛(1987). 「コンパクトなリーマン面におけるホモロジーと閉測地線」アメリカ数学誌110 ( 1): 145–156. doi :10.2307/2374542. JSTOR 2374542.

[22] Kotani M; Sunada T. (2000). 「アルバネーゼ写像と熱核に対する非対角長時間漸近線」. Comm. Math. Phys . 209 (3): 633–670. Bibcode :2000CMaPh.209..633K. doi :10.1007/s002200050033. S2CID 121065949.