電磁場の数学的記述

静電気学、静磁気学、電気力学（電磁場）のいずれの場合においても、電場と磁場の挙動はマクスウェル・ヘヴィサイド方程式によって支配される。

ここで、ρは電荷密度であり、時間と位置に依存する場合があり（そして多くの場合依存する）、_ε₀は電気定数、μ₀は磁気定数、Jは単位面積あたりの電流であり、これも時間と位置の関数である。これらの式は、国際量体系ではこの形式_をとる。

非分散性の等方性線形材料のみを扱う場合、マクスウェル方程式は、自由空間の透磁率と誘電率を対象となる線形材料の透磁率と誘電率に置き換えることで、束縛電荷を無視するように修正されることがよくあります。電磁場に対してより複雑な応答を示す材料の場合、これらの特性はテンソルで表すことができ、その時間依存性は、材料が急速な場変化に応答する能力（分散（光学）、グリーン・久保関係）に関連しており、場合によっては、大きな振幅の場に対する非線形および／または非局所的な材料応答を表す場依存性（非線形光学）も含まれます。

これらの関係式をマクスウェル方程式に代入することで、後者をポテンシャルで表すことができます。磁気に関するファラデーの法則とガウスの法則（同次方程式）は、任意のポテンシャルに対して同一に成り立つことがわかります。これは、場がスカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルの勾配と回転として表現されるためです。これらのポテンシャルに関する同次方程式には、回転の発散が含まれます。${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {A} }$そしてグラデーションのカール${\displaystyle \nabla \times \nabla \varphi }$これらは常にゼロです。マクスウェル方程式の残りの2つ（非斉次方程式）は、ポテンシャル定式化におけるダイナミクスを記述するものです。

これらの式を合わせると、マクスウェル方程式と同じくらい強力で完全なものになります。さらに、電場と磁場を合わせて解くべき成分が 6 つあったため、問題はいくらか軽減されました。^{[ 1 ]} ポテンシャルの定式化では、電位とベクトルポテンシャルの 3 つの成分の 4 つの成分しかありません。ただし、これらの式は、電場と磁場を使用したマクスウェル方程式よりも複雑です。

これらの方程式は、電場と磁場は物理的に意味のある測定可能な量であるのに対し、電位はそうではないという事実を利用することで簡略化できます。結果として生じる電場と磁場に影響を与えない限り、電位の形状を制約する自由度があり、これをゲージ自由度と呼びます。具体的には、これらの方程式において、位置と時間のスカラー関数λの2回微分可能な任意の選択に対して、( φ , A )が与えられたシステムの解である場合、次の式で与えられる別の電位( φ ′, A ′)も解となります。 $${\displaystyle \varphi '=\varphi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}}}$$$${\displaystyle \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda }$$

この自由度を利用することで、ポテンシャルの定式化を簡略化することができる。通常、このようなスカラー関数としては、クーロンゲージとローレンツゲージのどちらかが選択される。

電磁場の正準量子化は、スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルφ ( x ) とA ( x ) を場から場演算子へと昇格させることによって行われる。1 / c2 = ε0μ0_を前のローレンツゲージ方程式に代入すると^、次のよう_になる。

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} }$$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$$

ここで、Jとρは物質場の電流密度と電荷密度です。物質場が、4 成分ディラック スピノル場ψで与えられるディラック電子と電磁場の相互作用を記述するように取られると、電流密度と電荷密度は次の形式になります。^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mathbf {J} =-e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi \,\quad \rho =-e\psi ^{\dagger }\psi \,,}$$ ここで、αは最初の3つのディラック行列である。これを用いると、マクスウェル方程式は次のように書き換えられる。

これは量子電磁力学で用いられる形式である。

物理空間代数（APS）、別名クリフォード代数${\displaystyle C\ell _{3,0}(\mathbb {R} )}$電場と電流はマルチベクトルで表されます。

リーマン・シルベルシュタインベクトルとして知られる体多重ベクトルは、 $${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{k}\sigma _{k}+IcB^{k}\sigma _{k},}$$ そして4電流マルチベクトルは $${\displaystyle c\rho -\mathbf {J} =c\rho -J^{k}\sigma _{k}}$$正規直交基底 を使用する${\displaystyle \{\sigma _{k}\}}$同様に、単位擬スカラーは${\displaystyle I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}}$これは、使用される基底が正規直交であるためです。これらの基底ベクトルはパウリ行列と同じ代数構造を持ちますが、解釈が異なる異なる対象であるため、通常はパウリ行列と同一視されません。

導関数を定義した後 $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}=\sigma ^{k}\partial _{k},}$$

マクスウェル方程式は単一の方程式に還元される^{[ 3 ]}

3次元空間では、導関数は外積を導入できる特別な構造を持つ。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} +{\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} +I{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} }$$ここから、ガウスの法則はスカラー部分、アンペール・マクスウェルの法則はベクトル部分、ファラデーの法則は擬ベクトル部分、そして磁気に関するガウスの法則は擬スカラー部分で あることが容易にわかる。展開して整理すると、これは次のように書ける。 $${\displaystyle \left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)-c\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial {t}}}-\mu _{0}\mathbf {J} \right)+I\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} +{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial {t}}}\right)+Ic\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} \right)=0}$$

APSは時空代数（STA）の部分代数として識別できる。${\displaystyle C\ell _{1,3}(\mathbb {R} )}$定義する${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}}$そして${\displaystyle I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$.${\displaystyle \gamma _{\mu }}$はガンマ行列と同じ代数的性質を持ちますが、行列表現は必要ありません。導関数は $${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.}$$

リーマン・シルベルシュタインは双ベクトルとなる $${\displaystyle F=\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{2}\gamma _{2}\gamma _{0}+E^{3}\gamma _{3}\gamma _{0}-c(B^{1}\gamma _{2}\gamma _{3}+B^{2}\gamma _{3}\gamma _{1}+B^{3}\gamma _{1}\gamma _{2}),}$$ 電荷密度と電流密度はベクトルになる $${\displaystyle J=J^{\mu }\gamma _{\mu }=c\rho \gamma _{0}+J^{k}\gamma _{k}=\gamma _{0}(c\rho -J^{k}\sigma _{k}).}$$

アイデンティティのため $${\displaystyle \gamma _{0}\nabla =\gamma _{0}\gamma ^{0}\partial _{0}+\gamma _{0}\gamma ^{k}\partial _{k}=\partial _{0}+\sigma ^{k}\partial _{k}={\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }},}$$

マクスウェル方程式は単一の方程式に帰着する

自由空間では、ε = ε ₀およびμ = μ ₀がどこでも一定であるため、微分幾何学と微分形式の言語を使用すると、マクスウェル方程式は大幅に簡略化されます。電場と磁場は、4 次元時空多様体における2 形式Fによってまとめて記述されます。ファラデーテンソル${\displaystyle F_{\mu \nu }}$（電磁テンソル）は、計量符号（− + + +）を持つミンコフスキー空間の2形式として次のよう に記述できます。$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &\equiv {\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\&=B_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+B_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+B_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+E_{x}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t+E_{y}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} t+E_{z}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t\end{aligned}}}$$ これは電磁四元電位の外微分である${\displaystyle \mathbf {A}$ :} $${\displaystyle \mathbf {A} =-\phi \,\mathrm {d} t+A_{x}\mathrm {d} x+A_{y}\mathrm {d} y+A_{z}\mathrm {d} z.}$$

ソース項のない方程式は、この 2 形式に対する外微分作用によって記述できます。しかし、ソース項を含む方程式 (ガウスの法則とアンペール・マクスウェル方程式) については、この 2 形式のホッジ双対が必要です。ホッジスター演算子は、 p形式を ( n − p ) 形式に変換します。ここで、nは次元数です。ここでは、2 形式 ( F ) を変換し、別の 2 形式 (4 次元では、 n − p = 4 − 2 = 2 )を与えます。基底コタンジェントベクトルについては、ホッジ双対は次のように与えられます (ホッジスター演算子 §  4 次元を参照)。 $${\displaystyle {\star }(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y)=-\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t,\quad {\star }(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t)=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z,}$$ など。これらの関係を用いると、ファラデー2形式の双対はマクスウェルテンソルであり、 $${\displaystyle {\star }\mathbf {F} =-B_{x}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t-B_{y}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} t-B_{z}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t+E_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+E_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+E_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$$

ここで、3形式Jは電流形式または電流3形式と呼ばれます。 $${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-j_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y.}$$

Fが閉じた形式であり、そのホッジ双対の外微分が現在の 3 形式であることから、マックスウェル方程式が次のように表されます。^{[ 4 ]}

ここでd は外微分を表し、これは形式に作用する自然な座標および計量に依存しない微分演算子であり、(双対)ホッジスター演算子は${\displaystyle {\star }}$は、ミンコフスキー空間の計量によって定義される (4 − 2) 形式の空間への 2 形式の空間からの線形変換です(4 次元では、この計量に適合する任意の計量によっても定義されます)。場は自然単位系で、1/(4 πε ₀ ) = 1 です。

d ² = 0 なので、3 形式Jは電流保存則 (連続方程式) を満たす。 $${\displaystyle \mathrm {d} {\mathbf {J} }=\mathrm {d} ^{2}{\star }\mathbf {F} =0.}$$ 現在の 3 形式は 3 次元時空領域で積分できます。この積分の物理的な解釈は、その領域が空間的であればその領域の電荷、その領域が時間的区間を横切る空間的表面であれば、ある時間内に表面を通過する電荷の量です。外微分は任意の多様体で定義されるため、ビアンキ恒等式の微分形式は任意の 4 次元多様体に対して意味を持ちますが、ソース方程式は多様体が向き付けられ、ローレンツ計量を持つ場合に定義されます。特に、マクスウェル方程式の微分形式は、一般相対性理論におけるマクスウェル方程式の便利で直感的な定式化です。

注:文献の多くでは、表記法は${\displaystyle \mathbf {J} }$そして${\displaystyle {\star }\mathbf {J} }$ are switched, so that ${\displaystyle \mathbf {J} }$ is a 1-form called the current and ${\displaystyle {\star }\mathbf {J} }$ is a 3-form called the dual current.^[5]

In the particle physicist's sign convention for the metric signature(+ − − −), the potential 1-form is $${\displaystyle \mathbf {A} =\phi \,\mathrm {d} t-A_{x}\mathrm {d} x-A_{y}\mathrm {d} y-A_{z}\mathrm {d} z.}$$

The Faraday curvature 2-form becomes $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} \equiv &{\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\=&E_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x+E_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y+E_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z-B_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-B_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-B_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\end{aligned}}}$$ and the Maxwell tensor becomes $${\displaystyle {{\star }\mathbf {F} }=-E_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-E_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-E_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y-B_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x-B_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y-B_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z.}$$

The current 3-form J is $${\displaystyle \mathbf {J} =-\rho \,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+j_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+j_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+j_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$$ and the corresponding dual 1-form is $${\displaystyle {{\star }\mathbf {J} }=-\rho \,\mathrm {d} t+j_{x}\mathrm {d} x+j_{y}\mathrm {d} y+j_{z}\mathrm {d} z.}$$

The current norm is now positive and equals $${\displaystyle {\mathbf {J} \wedge {\star }\mathbf {J} }=[\rho ^{2}+(j_{x})^{2}+(j_{y})^{2}+(j_{z})^{2}]\,{\star }(1)}$$ with the canonical volume form${\displaystyle {\star }(1)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}$.

Matter and energy generate curvature of spacetime. This is the subject of general relativity. Curvature of spacetime affects electrodynamics. An electromagnetic field having energy and momentum also generates curvature in spacetime. Maxwell's equations in curved spacetime can be obtained by replacing the derivatives in the equations in flat spacetime with covariant derivatives. (Whether this is the appropriate generalization requires separate investigation.) The sourced and source-free equations become (cgs-Gaussian units): $${\displaystyle {4\pi \over c}j^{\beta }=\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }+{\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \alpha }F^{\mu \beta }+{\Gamma ^{\beta }}_{\mu \alpha }F^{\alpha \mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {F^{\alpha \beta }}_{;\alpha }\,\!}$$ and $${\displaystyle 0=\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }=\nabla _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\nabla _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\nabla _{\alpha }F_{\beta \gamma }.\,}$$

Here, $${\displaystyle {\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \beta }}$$は時空の曲率を特徴づけるクリストッフェル記号 であり、∇ _αは共変微分である。

微分形式によるマクスウェル方程式の定式化は、一般相対性理論において変更なく使用できます。共変微分を用いたより伝統的な一般相対性理論の定式化と微分形式の定式化の等価性は、次のように確認できます。座標が定義されている開集合のすべての点で1 形式 d x ^αの基底を与える局所座標x ^αを選択します。この基底とcgs-ガウス単位系を用いて、次のように定義します。

• 反対称場テンソルF _αβは、場 2 形式Fに対応します。$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }\,\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }.}$$
• 電流ベクトル無限小3形式J$${\displaystyle \mathbf {J} ={4\pi \over c}\left({\frac {1}{6}}j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }.\right)}$$

微分3形式と縮約されたイプシロンテンソルは、必要な項数の6倍を生成する。

ここで、gは通常通り計量テンソルを表す行列の行列式、g _{αβ で}ある。クリストッフェル記号の対称性（すなわち、レヴィ・チヴィタ接続のねじれフリー性）とホッジスター演算子の共変定数性を利用した簡単な計算により、この座標近傍では次のようになることがわかる。

• ビアンキのアイデンティティ$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =2(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma })\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }=0,}$$
• ソース方程式$${\displaystyle \mathrm {d} {\star \mathbf {F} }={\frac {1}{6}}{F^{\alpha \beta }}_{;\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\beta \gamma \delta \alpha }\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }=\mathbf {J} ,}$$
• 連続方程式$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {J} ={4\pi \over c}{j^{\alpha }}_{;\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }=0.}$$

高度な古典力学では、マクスウェル方程式を電位（スカラーポテンシャルとも呼ばれる）φと磁気ポテンシャル（ベクトルポテンシャル）Aを含むポテンシャル形式で表現することがしばしば有用であり、量子力学ではしばしば不可欠である。例えば、無線アンテナの解析では、変数分離のためにマクスウェルのベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルが十分に利用されており、これは微分方程式の解を定式化する際によく用いられる手法である。ポテンシャルは、同次方程式にポアンカレの補題を適用して普遍的に解くことによって導入できる（これは、位相的に単純な、例えば縮約可能な空間を想定することを前提としている）。ポテンシャルは、上の表のように定義される。あるいは、これらの方程式は、EとBを電位と磁気ポテンシャルで定義し、それらが恒等式としてEとBの同次方程式を満たす。代入すると、ポテンシャル形式の非同次マクスウェル方程式が得られる。

Aとφのさまざまな選択肢は、与えられた観測可能な電場Eと磁場Bと整合するため、ポテンシャルには（古典的には）観測不可能な情報がさらに多く含まれているように見える。しかし、ポテンシャルの非一意性はよく理解されている。位置と時間のスカラー関数λ ( x , t )のそれぞれについて、ゲージ変換によってポテンシャルは次のように 変更できる。$${\displaystyle \varphi '=\varphi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}},\quad \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda }$$ 電場と磁場を変えることなく。ゲージ変換された2組のポテンシャル（φ、A）と（φ ′、A ′）はゲージ等価と呼ばれ、ゲージ等価クラス内の任意のポテンシャルのペアを選択できる自由度はゲージ自由度と呼ばれます。ポアンカレの補題（およびその仮定）により、ゲージ自由度は不確定性の唯一の原因であるため、ポテンシャル方程式をゲージ等価クラスの方程式とみなせば、場の定式化はポテンシャルの定式化と等価になります。

ポテンシャル方程式は、ゲージ固定と呼ばれる手順を使用して簡略化できます。ポテンシャルはゲージ等価性までしか定義されていないため、任意のポテンシャルのペアに対して、追加の方程式を満たすゲージ等価なペアが存在する限り（つまり、ゲージ固定方程式がゲージ作用のスライスを定義する場合）、ポテンシャルに追加の方程式を課すことができます。ゲージ固定されたポテンシャルは、ゲージ固定方程式を不変に保つすべてのゲージ変換の下でゲージの自由度を持ちます。ポテンシャル方程式を調べると、2 つの自然な選択肢が示唆されます。クーロンゲージでは、 ∇ ⋅ A = 0を課します。これは、 c ⁻² ∂ ² A /∂ t ²項を無視できる静磁気学の場合によく使用されます。ローレンツゲージ（デンマークのルドヴィグ・ローレンツにちなんで名付けられました）では、 $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0\,.}$$ ローレンツゲージ条件は、ローレンツ不変であり、ポテンシャルに関するローレンツ不変方程式が得られるという利点がある。

マクスウェル方程式は特殊相対性理論と完全に整合している。つまり、ある慣性系で有効であれば、他のすべての慣性系でも自動的に有効となる。実際、マクスウェル方程式は特殊相対性理論の歴史的発展において極めて重要な役割を果たした。しかし、マクスウェル方程式の通常の定式化では、特殊相対性理論との整合性は自明ではなく、骨の折れる計算によってのみ証明できる。

例えば、磁石の磁場内で運動する導体を考えてみましょう。^{[ 8 ]}磁石の座標系では、その導体は磁力を受けます。しかし、磁石に対して相対的に運動する導体の座標系では、導体は電場による力を受けます。この運動は、これら2つの異なる参照系で完全に一致していますが、数学的には全く異なる方法で生じます。

このような理由などから、共変および反変の4元ベクトルとテンソルを用いて、マクスウェル方程式を「明らかに共変的」な形、つまり方程式を一目見ただけでも特殊相対性理論と明らかに整合する形で書き直すことがしばしば有用である。これは、電磁テンソルF、または4元ポテンシャルAと4元電流Jを用いて行うことができる。

磁気に関するガウスの法則とファラデー・マクスウェルの法則は、方程式が同次であるため、まとめて扱うことができ、4元ポテンシャルAから導出できる場F (2 形式)を表す幾何学的恒等式と見なすことができます。電気に関するガウスの法則とアンペール・マクスウェルの法則は、ラグランジュ最小作用の原理によって得られる場の運動の動的方程式と見なすことができ、場を物質に結合させる「相互作用項」AJ (ゲージ共変微分によって導入) から得られます。極値作用の原理によるマクスウェル方程式の場の定式化については、電磁テンソルを参照してください。

Often, the time derivative in the Faraday–Maxwell equation motivates calling this equation "dynamical", which is somewhat misleading in the sense of the preceding analysis. This is rather an artifact of breaking relativisticcovariance by choosing a preferred time direction. To have physical degrees of freedom propagated by these field equations, one must include a kinetic termF ⋆F for A, and take into account the non-physical degrees of freedom that can be removed by gauge transformationA ↦ A − dα. See also gauge fixing and Faddeev–Popov ghosts.

This formulation uses the algebra that spacetime generates through the introduction of a distributive, associative (but not commutative) product called the geometric product. Elements and operations of the algebra can generally be associated with geometric meaning. The members of the algebra may be decomposed by grade (as in the formalism of differential forms) and the (geometric) product of a vector with a k-vector decomposes into a (k − 1)-vector and a (k + 1)-vector. The (k − 1)-vector component can be identified with the inner product and the (k + 1)-vector component with the outer product. It is of algebraic convenience that the geometric product is invertible, while the inner and outer products are not. As such, powerful techniques such as Green's functions can be used. The derivatives that appear in Maxwell's equations are vectors and electromagnetic fields are represented by the Faraday bivector F. This formulation is as general as that of differential forms for manifolds with a metric tensor, as then these are naturally identified with r-forms and there are corresponding operations. Maxwell's equations reduce to one equation in this formalism. This equation can be separated into parts as is done above for comparative reasons.