行動原則

作用原理は、古典力学から量子力学、素粒子物理学、一般相対性理論に至るまで、基礎物理学の中心にあります。^{[1]作用原理は、物理システムを記述する}ラグランジアンと呼ばれるエネルギー関数から始まります。システムの2つの状態間のこのエネルギー関数の累積値は、作用と呼ばれます。作用原理は、変分法を作用に適用します。作用はエネルギー関数に依存し、エネルギー関数はシステム内の位置、動き、相互作用に依存します。作用の変化により、ベクトルや力なしで運動方程式を導出できます。

いくつかの異なる作用原理は、初期条件と最終条件の制約が異なります。作用原理の名前は時間の経過とともに進化しており、経路の終点の詳細と変化の性質が異なります。量子作用原理は、古い古典的原理を一般化し正当化します。作用原理は、ファインマン版の量子力学、一般相対性理論、量子場理論の基礎となっています。

作用原理は物理学と同じくらい幅広く応用されており、古典力学の多くの問題、特に量子力学や一般相対性理論の現代の問題に応用されています。これらの応用は、この方法の威力と数学的発展が進むにつれて、2 世紀にわたって蓄積されてきました。

この記事では、アクション原則の概念を紹介し、概念と特定の原則の詳細を説明した他の記事を要約します。

作用原理は、ニュートン力学の「微分」アプローチではなく、 「積分」アプローチです。^{[2] ：162}中核となる考え方は、エネルギー、経路、経路に沿ったラグランジアンと呼ばれるエネルギー関数、および「作用」、つまり経路に沿ったラグランジアンの連続的な合計または積分に応じた経路の選択に基づいています。

相互作用する物体の科学である力学の入門研究は通常、力の概念に基づくニュートンの法則から始まります。力学は、質量に適用されたときに引き起こす加速度によって定義されます。この力学へのアプローチは、空間と時間内の単一の点に焦点を当て、「次に何が起こるか」という質問に答えようとします。^{[3]作用原理に基づく力学は、問題の物理的性質によって定義される、}運動エネルギーと位置エネルギーの間のエネルギートレードオフである作用の概念から始まります。これらのアプローチは、開始点と終了点に関する質問に答えます。バスケットボールをフープに入れる軌道はどれですか? 今日ロケットを月に向けて打ち上げた場合、5日後に着陸するにはどうすればよいですか? ^[3]ニュートン形式と作用原理形式は同等であり、どちらでも同じ問題を解決できますが、適切な形式を選択すると解決がはるかに簡単になります。 ${\displaystyle F=ma.}$

動作原理におけるエネルギー関数は、全エネルギー（孤立系で保存される）ではなく、運動エネルギーと位置エネルギーの差であるラグランジアンである。運動エネルギーは、系内のすべての物体の運動エネルギーを結合する。位置エネルギーは物体の瞬間的な位置に依存し、物体の運動を駆動する。物体の運動は、それらを新しい位置エネルギー値で新しい位置に配置し、ラグランジアンに新しい値を与える。^{[4] : 125}

力ではなくエネルギーを使用すると、力学の基礎としてすぐに利点が得られます。力の力学には、シナリオ内の各オブジェクトに対して 3 つの空間座標と 3 つの運動量座標を使用する 3 次元ベクトル計算が含まれます。エネルギーは、すべてのオブジェクトからの情報を組み合わせたスカラー量であり、多くの場合、すぐに単純化されます。力の成分は座標系によって異なりますが、エネルギーの値はすべての座標系で同じです。^{[5] : xxv}力には慣性参照フレームが必要です。^{[6] : 65}速度が光速に近づくと、特殊相対性理論が力に基づく力学に大きな影響を与えます。作用原理では、相対性理論は異なるラグランジアンのみを必要とします。原理自体は座標系に依存しません。^[7]

力に基づく力学の説明図は通常、運動量の中心のような一点に焦点を当て、力と速度のベクトルを示します。作用に基づく力学の説明図には、2つの点があり、それらを結ぶ実際の経路と可能な経路があります。^[8]これらの図式の慣習は、それぞれの方法の異なる長所を繰り返し述べています。

作用原理に応じて、図の中でパスで結ばれた 2 つの点は、異なる時間における 2 つの粒子の位置を表す場合もあれば、配置空間または位相空間の値を表す場合もあります。作用原理の数学的技術と用語は、物理空間の観点から考えることで習得でき、その後、より強力で一般的な抽象空間に適用できます。

行動原理は、2点間の各経路に数値（行動）を割り当てる。この数値は、経路の各小区間のエネルギー値に、その区間で費やされた時間を乗じて計算される。^[8]

アクション${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\big (}{\text{KE}}(t)-{\text{PE}}(t){\big )}\,dt,}$

ここで、運動エネルギー ( ) と位置エネルギー ( ) の表現形式は物理問題に依存し、経路上の各点におけるそれらの値は、その点に対応する相対座標に依存します。エネルギー関数はラグランジアンと呼ばれ、単純な問題では、システムの運動エネルギーから位置エネルギーを引いたものです。 ${\displaystyle {\text{KE}}}$${\displaystyle {\text{PE}}}$

2 点間を移動するシステムは、特定のパスを取ります。他の同様のパスは取りません。各パスはアクションの値に対応します。アクションの原則は、取られた特定のパスがシステムのアクションに対して定常値を持つことを予測または説明します。取られたパスに近い類似のパスは、非常に類似したアクション値を持ちます。アクション値のこの変化は、アクションの原則の鍵となります。

記号は経路の変化を示すために使用され、動作原理は数学的に次のように表されます。 ${\displaystyle \delta}$

${\displaystyle (\delta S)_{C}=0,}$

は、静止点において、ある固定された制約の下での作用の変化がゼロであることを意味する。^{[9] : 38} 作用原理では、静止点は最小値または鞍点になることはあっても、最大値になることはない。^[10]楕円惑星軌道は、等しい作用を持つ 2 つの経路 (軌道の周りの各方向に 1 つずつ) の簡単な例を提供する。どちらも最小値または「最小作用」にはならない。^{[2] : 175}によって暗示される経路の変化は、 のような微分と同じではない。作用積分はオブジェクトの座標に依存し、これらの座標は取られる経路に依存する。したがって、作用積分は関数、つまり関数の関数である。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle dt}$

幾何学の重要な結果であるノイマンの定理は、ラグランジアンにおける保存量は連続対称性を意味し、その逆もまた同様であると述べています。^[11]たとえば、時間に依存しないラグランジアンはエネルギーが保存されるシステムに対応します。空間移動の独立性は運動量保存を意味します。角回転不変性は角運動量保存を意味します。^{[12] : 489} これらの例は、独立性自体が空間や時間に依存しないグローバル対称性です。空間や時間に機能的に依存するより一般的なローカル対称性は、ゲージ理論につながります。^[13]観測されたアイソスピンの保存は、1953 年にヤン・チェンニンとロバート・ミルズによって中間子のゲージ理論を構築するために使用され、数十年後に現代の素粒子物理学理論につながりました。^{[14] : 202}

作用原理は、基礎物理学のすべてを含む、さまざまな物理的問題に適用されます。唯一の大きな例外は、摩擦が関係する場合、または初期位置と速度のみが与えられている場合です。^[3]異なる作用原理は、バリエーションに対して異なる意味を持ちます。作用原理の特定の適用ごとに、物理学を記述する特定のラグランジアンが必要です。これらの原理のいずれかまたはすべてに共通する名前は、「最小作用の原理」です。これらの原理の名前と歴史的起源については、作用原理の名前を参照してください。

全エネルギーと端点が固定されている場合、モーペルテュイの最小作用原理が適用されます。たとえば、バスケットボールで得点するには、ボールはシューターの手を離れてフープを通過しなければなりませんが、飛行時間は制約されません。^{[3]モーペルテュイの最小作用原理は、数学的には、}短縮作用 （ と書かれることもある） 上の定常条件として書かれます 。ここで、は粒子の運動量または一般座標の共役運動量で、次式で定義されます 。 ここで、はラグランジアンです。一部の教科書では、 ^{[15] : 76  [9] : 356}を と書き、この形式の作用原理で使用される変分がハミルトンの変化とは異なることを強調しています。ここでは、全エネルギーは変化の間固定されていますが、時間は固定されていません。これは、ハミルトンの原理に対する制約の逆です。^[16]その結果、同じ経路と終点が 2 つの形式で異なる時間とエネルギーをとります。モーペルテュイの原理のこの形式の場合の解は軌道、つまり座標同士を関連付ける関数であり、時間は単なるインデックスまたはパラメータである。^[16]$${\displaystyle (\delta W)_{E}=0}$$ $${\displaystyle W[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {dq} ,}$$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N})}$$${\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}},}$$${\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$ ${\displaystyle (\delta W)_{E}=0}$${\displaystyle \Delta S_{0}}$${\displaystyle E}$

時間不変システムの場合、作用は エネルギーと時間差に対して^{[9] : 434}のように定常経路上の簡略化された作用と単純に関係する。ネット力のない剛体の場合、作用は同一であり、変分原理はフェルマーの最小時間原理と同等になる: ^{[9] : 360}${\displaystyle S}$${\displaystyle W}$ $${\displaystyle \Delta S=\Delta WE\Delta t}$$${\displaystyle E}$${\displaystyle \Delta t=t_{2}-t_{1}}$ $${\displaystyle \delta (t_{2}-t_{1})=0.}$$

物理学の問題が 2 つの端点を位置と時間、つまりイベントとして与える場合、ハミルトンの作用原理が適用されます。たとえば、月への旅行を計画しているとします。旅行中、月は地球の周りを軌道を描き続けます。つまり、月は動く標的です。位置 にある物体に対するハミルトンの原理は、数学的には次のように記述されます。 制約は、同じ時間がかかる経路と、同じ 2 点と を結ぶ経路のみを考慮することを意味します。ラグランジアンとは、経路上の各点における運動エネルギーと位置エネルギーの差です。^{[17] : 62}結果として得られる方程式の解は、世界線 を与えます。^[3]ハミルトンの原理から始めて、固定エネルギーのシステムに対して局所微分オイラー・ラグランジュ方程式を導くことができます。ハミルトンの原理における作用は、モーペルテュイの原理における作用のルジャンドル変換です。 ^[18]${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$$${\displaystyle (\delta {\mathcal {S}})_{\Delta t}=0,\ \mathrm {where} \ {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt.}$$${\displaystyle \Delta t=t_{2}-t_{1}}$${\displaystyle \mathbf {q} (t_{1})}$${\displaystyle \mathbf {q} (t_{2})}$ ${\displaystyle L=T-V}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$${\displaystyle S}$

粒子力学に​​有用な概念や手法の多くは連続場にも適用できる。作用積分はラグランジアン密度上で行われるが、概念は非常に近いため、密度は単にラグランジアンと呼ばれることが多い。^{[19] : 15}

量子力学にとって、作用原理には大きな利点がある。必要なのは1つの力学的公理だけであり、作用に共変ラグランジアンを使用する場合、結果は相対論的に正しく、それらは明らかに古典的な同等物に移行する。^{[2] : 128}

リチャード・ファインマンとジュリアン・シュウィンガーはともに、ポール・ディラックの初期の研究に基づいて量子作用原理を開発した。ファインマンの積分法は変分原理ではなく、古典的な最小作用原理に帰着し、ファインマン図をもたらした。シュウィンガーの微分アプローチは、微小振幅の変化を微小作用の変化に関連付ける。^{[2] : 138}

量子効果が重要になる場合、新しい作用原理が必要になる。粒子が経路をたどるのではなく、量子力学では、ある時点と時間の確率振幅が、その後の別の時点での確率振幅と関連して 定義される。 ここで、は古典的な作用である。^[20] 定常作用を伴う単一の経路の代わりに、すべての可能な経路は、複素確率振幅 で重み付けされた ( 上の積分) を加算する。振幅の位相は、作用をプランク定数または作用量子で割って求められる。粒子の作用が よりもはるかに大きい場合、位相は経路に沿って急速に変化し、振幅は平均して小さな数になる。^[8] このように、プランク定数は古典力学と量子力学の境界を設定する。^[21]${\displaystyle \psi (x_{k},t)}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle \psi (x_{k+1},t+\varepsilon )={\frac {1}{A}}\int e^{iS(x_{k+1},x_{k})/\hbar }\psi (x_{k},t)\,dx_{k},}$$${\displaystyle S(x_{k+1},x_{k})}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle e^{iS/\hbar }}$${\displaystyle S/\hbar }$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle S/\hbar \gg 1}$

すべての経路は量子作用原理に寄与する。経路が交わる終点では、位相が類似する経路は加算され、位相が異なる経路は減算される。古典物理学から予想される経路に近づくと、位相は揃う傾向があり、その傾向は作用の値が大きい質量の大きい物体ほど強くなる。古典的極限では、1つの経路、つまり定常作用の経路が支配的である。^[22]${\displaystyle \pi }$

シュウィンガーのアプローチは、遷移振幅の変化をアクション マトリックス要素の変化に関連付けます。 ${\displaystyle (q_{\text{f}}|q_{\text{i}})}$

${\displaystyle \delta (q_{r_{\text{f}}}|q_{r_{\text{i}}})=i(q_{r_{\text{f}}}|\delta S|q_{r_{\text{i}}}),}$

ここでアクション演算子は

${\displaystyle S=\int _{t_{\text{i}}}^{t_{\text{f}}}L\,dt.}$

シュウィンガー形式は、ラグランジアン自体の変化、例えば潜在的ソース強度の変化の解析を特に明確にする。^{[2] : 138}

すべての経路において、作用積分は開始点のゼロから終了点の最終値まで値を増やしていきます。近くの経路は開始点から同様の距離で同様の値を持ちます。経路を横切って一定の部分作用値の線または面を描くことができ、作用の波のようなビューを作成できます。このような分析は、幾何光学の粒子のような光線をホイヘンス・フレネル原理の波面と結び付けます。

[モーペルテュイ] ...このようにして、光学現象と機械現象の間の注目すべき類似性を指摘しました。この類似性は、はるか以前にジョン・ベルヌーイによって観察され、後にハミルトンの独創的な光学機械理論で完全に発展しました。この類似性は、現代の波動力学の発展に基本的な役割を果たしました。

—  C.ランチョス^{[5] :136}

作用原理は、オイラー・ラグランジュ方程式^[9]のような微分方程式を導出するために適用されたり^、物理的な問題への直接的な応用として適用されたりします。

作用原理は、古典力学の多くの問題に直接適用できます。たとえば、荷重を受けた弾性棒の形状、^{[23] : 9} 2枚の垂直な板（毛細管） 間の液体の形状、 ^{[23] : 22} または支持部が動いているときの振り子の運動などです。^{[23] : 39}

量子作用原理は分子内の原子の量子理論（QTAIM）で使用され、化学結合についての洞察を得る方法として、分子内の計算された電子密度を原子に分解する方法です。^[24]

アインシュタインの一般相対性理論の研究に触発されて、有名な数学者デイヴィッド・ヒルベルトは最小作用の原理を応用して一般相対性理論の場の方程式を導出した。^{[25] : 186}彼の作用は現在アインシュタイン-ヒルベルト作用として知られている。

${\displaystyle S={\frac {1}{2\kappa }}\int R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x,}$

相対論的に不変な体積要素とリッチスカラー曲率を含んでいた。スケール係数はアインシュタインの重力定数である。 ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle \kappa }$

作用原理は現代の物理学と数学において非常に中心的な存在であり、熱力学^[26]、[27]、^[28] 流体力学^[29]相対性理論、量子力学[ ^30] 素粒子物理学、弦理論^[31]など広く応用されています。

作用原理は光学における初期のアイデアに先行している。古代ギリシャでは、ユークリッドは著書『カトプトリカ』の中で、鏡から反射する光の経路については、入射角が反射角に等しいと記している。^[32]後に アレクサンドリアのヘロンは、この経路が最短距離で最短時間であることを示した。^[33]

ピエール＝ルイ・モーペルチュイ、レオンハルト・オイラー、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによる最小作用の原理の定義の初期の研究を基にして 、^{[34] : 580} ウィリアム・ローワン・ハミルトンはカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビと協力してハミルトン・ヤコビ方程式として知られる古典力学の変分形式を開発した。^{[35] : 201}

1915年、デイヴィッド・ヒルベルトは変分原理を応用してアルベルト・アインシュタインの一般相対性理論の方程式を導出した。^[36]

1933年、物理学者ポール・ディラックは、振幅の量子干渉における原理の量子力学的根拠を明らかにすることで、この原理が量子計算にどのように利用できるかを実証した。 ^[37]その後、ジュリアン・シュウィンガーとリチャード・ファインマンが独立してこの原理を量子電気力学に応用した。^{[38] [39]}