例 有限次元実ベクトルの場合R n \displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 内積 を用いると、グラム行列は次のようになる。G = V ⊤ V {\displaystyle G=V^{\top }V} V {\displaystyle V} v k {\displaystyle v_{k}} V ⊤ \displaystyle V^{\top }} 転置行列 です。v k ⊤ {\displaystyle v_{k}^{\top }} 複素 ベクトルの場合C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} G = V † V {\displaystyle G=V^{\ダガー }V} V † \displaystyle V^{\dagger }} 共役転置 ですV {\displaystyle V}
二乗可積分関数 が与えられた場合{ ℓ 私 （ ⋅ ） 、 私 = 1 、 … 、 n } {\displaystyle \{\ell _{i}(\cdot ),\,i=1,\dots ,n\}} [ t 0 、 t f ] {\displaystyle \left[t_{0},t_{f}\right]} G = [ G 私 j ] {\displaystyle G=\left[G_{ij}\right]}
G 私 j = ∫ t 0 t f ℓ 私 * （ τ ） ℓ j （ τ ） d τ 。 {\displaystyle G_{ij}=\int _{t_{0}}^{t_{f}}\ell _{i}^{*}(\tau )\ell _{j}(\tau )\,d\tau .} どこℓ 私 * （ τ ） {\displaystyle \ell _{i}^{*}(\tau )} 、 ℓ 私 （ τ ） {\displaystyle \ell _{i}(\tau )}
任意の双線形形式 B {\displaystyle B} 任意の体 上の有限次元 ベクトル空間 において、グラム行列を定義することができる。G {\displaystyle G} v 1 、 … 、 v n {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}} G 私 j = B （ v 私 、 v j ） {\displaystyle G_{ij}=B\left(v_{i},v_{j}\right)} B {\displaystyle B}
アプリケーション リーマン幾何学 では、埋め込まれたk {\displaystyle k} リーマン多様体 M ⊂ R n \displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}} ϕ : U → M {\displaystyle \phi :U\to M} （ x 1 、 … 、 x k ） ∈ U ⊂ R k \displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{k})\in U\subset \mathbb {R} ^{k}} 形式 ω {\displaystyle \omega } M {\displaystyle M} ω = 検出 G d x 1 ⋯ d x k 、 G = [ ⟨ ∂ ϕ ∂ x 私 、 ∂ ϕ ∂ x j ⟩ ] 。 {\displaystyle \omega ={\sqrt {\det G}}\ dx_{1}\cdots dx_{k},\quad G=\left[\left\langle {\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial \phi }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right].} ϕ : U → S ⊂ R 3 {\displaystyle \phi :U\to S\subset \mathbb {R} ^{3}} （ x 、 y ） ∈ U ⊂ R 2 {\displaystyle (x,y)\in U\subset \mathbb {R} ^{2}} ∫ S f d A = ∬ U f （ ϕ （ x 、 y ） ） | ∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y | d x d y 。 {\displaystyle \int _{S}f\ dA=\iint _{U}f(\phi (x,y))\,\left|{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\,{\times }\,{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right|\,dx\,dy.} ベクトルが中心化された確率変数 である場合、グラミアンは共分散行列 量子化学 では、基底ベクトル の集合のグラム行列は重なり行列 制御理論 （あるいはより一般的にはシステム理論 ）において、可制御性グラミアン 可観測性グラミアンは グラミアン行列は共分散構造モデルの適合において現れる（例えば、Jamshidian and Bentler, 1993, Applied Psychological Measurement, Volume 18, pp. 79–94を参照）。 有限要素法 では、グラム行列は有限次元空間から関数を近似することによって得られます。グラム行列の要素は、その有限次元部分空間の基底関数の内積となります。機械学習 では、カーネル関数は グラム行列として表現されることが多い。[ 2 ] （カーネルPCA も参照）実数上のグラム行列は対称行列であるため、 対角化可能 であり、その固有値 は非負です。グラム行列の対角化は特異値分解 です。
物件
正定値性 グラム行列は、内積が実数値の場合に対称行列となり、 内積 の定義により、一般的な複素数の場合にはエルミート行列 となる。
グラム行列は半正定値行列 であり、すべての半正定値行列は、あるベクトル集合に対するグラム行列である。グラム行列が半正定値行列であることは、以下の簡単な導出からわかる。
x † G x = ∑ 私 、 j x 私 * x j ⟨ v 私 、 v j ⟩ = ∑ 私 、 j ⟨ x 私 v 私 、 x j v j ⟩ = ⟨ ∑ 私 x 私 v 私 、 ∑ j x j v j ⟩ = ‖ ∑ 私 x 私 v 私 ‖ 2 ≥ 0. {\displaystyle x^{\dagger }\mathbf {G} x=\sum _{i,j}x_{i}^{*}x_{j}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\sum _{i,j}\left\langle x_{i}v_{i},x_{j}v_{j}\right\rangle ={\biggl \langle }\sum _{i}x_{i}v_{i},\sum _{j}x_{j}v_{j}{\biggr \rangle }={\biggl \|}\sum _{i}x_{i}v_{i}{\biggr \|}^{2}\geq 0.} 最初の等式は行列乗算の定義から、2番目と3番目は内積 の双線形性から、最後の等式は内積の正定値性から導かれる。これはまた、グラミアン行列が正定値であるのは、ベクトルがv 私 {\displaystyle v_{i}} ∑ 私 x 私 v 私 ≠ 0 {\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\neq 0} x {\displaystyle x} [ 1 ]
ベクトル実現の一意性 もしM {\displaystyle M} v 1 、 … 、 v n {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}} R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} 直交変換 、すなわち、 0を保存する任意のユークリッド等長変換 ）をベクトル列に対して行うと、同じグラム行列が得られます。つまり、任意のk × k {\displaystyle k\times k} 直交行列 Q {\displaystyle Q} Q v 1 、 … 、 Q v n {\displaystyle Qv_{1},\dots ,Qv_{n}} M {\displaystyle M}
これは、2 つの実ベクトル実現がM {\displaystyle M} v 1 、 … 、 v n {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}} 直交変換 を除いて一意である。言い換えれば、ドット積はv 私 ⋅ v j {\displaystyle v_{i}\cdot v_{j}} w 私 ⋅ w j {\displaystyle w_{i}\cdot w_{j}} R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} v 1 、 … 、 v n {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}} w 1 、 … 、 w n {\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n}}
複素数の場合も同様で、直交変換の代わりにユニタリ変換が 用いられます。つまり、ベクトルのグラム行列がv 1 、 … 、 v n {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}} w 1 、 … 、 w n {\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n}} C k {\displaystyle \mathbb {C} ^{k}} すると、 ユニタリk × k {\displaystyle k\times k} U {\displaystyle U} U † U = 私 {\displaystyle U^{\dagger }U=I} v 私 = U w 私 {\displaystyle v_{i}=Uw_{i}} 私 = 1 、 … 、 n {\displaystyle i=1,\dots ,n} 3 ]
グラム染色法 グラム行列式 （またはグラミアン） とは、グラム行列の行列式のことです。 | G （ v 1 、 … 、 v n ） | = | ⟨ v 1 、 v 1 ⟩ ⟨ v 1 、 v 2 ⟩ … ⟨ v 1 、 v n ⟩ ⟨ v 2 、 v 1 ⟩ ⟨ v 2 、 v 2 ⟩ … ⟨ v 2 、 v n ⟩ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⟨ v n 、 v 1 ⟩ ⟨ v n 、 v 2 ⟩ … ⟨ v n 、 v n ⟩ | 。 {\displaystyle {\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}={\begin{vmatrix}\langle v_{1},v_{1}\rangle &\langle v_{1},v_{2}\rangle &\dots &\langle v_{1},v_{n}\rangle \\\langle v_{2},v_{1}\rangle &\langle v_{2},v_{2}\rangle &\dots &\langle v_{2},v_{n}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle v_{n},v_{1}\rangle &\langle v_{n},v_{2}\rangle &\dots &\langle v_{n},v_{n}\rangle \end{vmatrix}}.}
もしv 1 、 … 、 v n {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}} R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} すると、それはベクトルによって形成される平行多面体の n 次元体積の二乗になります。特に、ベクトルが線形独立である のは 、平行多面体の n 次元体積がゼロでない場合 、 グラム行列式がゼロでない場合、グラム行列が非特異で ある場合のみです。n > m 、 これ は n 個の n 次元ベクトルの行列式の絶対値がn 次元体積であるという標準的な定理に帰着します。ベクトルによって形成される単体 の体積はVolume(平行多面体) / n ! です。
いつv 1 、 … 、 v n {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}} x {\displaystyle x} v 1 、 … 、 v n {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}} | G （ x 、 v 1 、 … 、 v n ） | | G （ v 1 、 … 、 v n ） | {\displaystyle {\sqrt {\frac {|G(x,v_{1},\dots ,v_{n})|}{|G(v_{1},\dots ,v_{n})|}}}}
モーメント問題を考えてみましょう。c 1 、 … 、 c n ∈ C {\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {C} } v {\displaystyle v} ⟨ v 、 v 私 ⟩ = c 私 {\textstyle \left\langle v,v_{i}\right\rangle =c_{i}} 1 ⩽ 私 ⩽ n {\textstyle 1\leqslant i\leqslant n} [ 4 ] ： v = − 1 G （ v 1 、 v 2 、 … 、 v n ） 検出 [ 0 c 1 c 2 ⋯ c n v 1 ⟨ v 1 、 v 1 ⟩ ⟨ v 1 、 v 2 ⟩ ⋯ ⟨ v 1 、 v n ⟩ v 2 ⟨ v 2 、 v 1 ⟩ ⟨ v 2 、 v 2 ⟩ ⋯ ⟨ v 2 、 v n ⟩ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ v n ⟨ v n 、 v 1 ⟩ ⟨ v n 、 v 2 ⟩ ⋯ ⟨ v n 、 v n ⟩ ] {\displaystyle v=-{\frac {1}{G\left(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\right)}}\det {\begin{bmatrix}0&c_{1}&c_{2}&\cdots &c_{n}\\v_{1}&\left\langle v_{1},v_{1}\right\rangle &\left\langle v_{1},v_{2}\right\rangle &\cdots &\left\langle v_{1},v_{n}\right\rangle \\v_{2}&\left\langle v_{2},v_{1}\right\rangle &\left\langle v_{2},v_{2}\right\rangle &\cdots &\left\langle v_{2},v_{n}\right\rangle \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n}&\left\langle v_{n},v_{1}\right\rangle &\left\langle v_{n},v_{2}\right\rangle &\cdots &\left\langle v_{n},v_{n}\right\rangle \end{bmatrix}}} 外積を用いて次のように表すこともできます。
| G （ v 1 、 … 、 v n ） | = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ 2 。 {\displaystyle {\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}=\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\|^{2}.} したがって、グラム行列式は空間の内積を提供する 。 ⋀ n （ V ） {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)} 正規直交基底 e i i = 1, 2, ... , n V {\displaystyle V}
e 私 1 ∧ ⋯ ∧ e 私 n 、 私 1 < ⋯ < 私 n 、 {\displaystyle e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{n}},\quad i_{1}<\cdots <i_{n},} 空間上のn 次元ボリュームの正規直交基底を構成する ⋀ n （ V ） {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)} | G （ v 1 、 … 、 v n ） | {\displaystyle {\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}} n 次元ピタゴラスの定理 に相当する。v 1 ∧ ⋯ ∧ v n {\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}} e 私 1 ∧ ⋯ ∧ e 私 n {\displaystyle e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{n}}}
ベクトルがv 1 、 … 、 v n ∈ R m {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {R} ^{m}} p 1 、 … 、 p n {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}} p n + 1 {\displaystyle p_{n+1}}
（ v 1 、 v 2 、 … 、 v n ） = （ p 1 − p n + 1 、 p 2 − p n + 1 、 … 、 p n − p n + 1 ） 、 {\displaystyle (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})=(p_{1}-p_{n+1},p_{2}-p_{n+1},\ldots ,p_{n}-p_{n+1})\,,} すると、グラム行列式は2つのグラム行列式の差として表すことができ、
| G （ v 1 、 … 、 v n ） | = | G （ （ p 1 、 1 ） 、 … 、 （ p n + 1 、 1 ） ） | − | G （ p 1 、 … 、 p n + 1 ） | 、 {\displaystyle {\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}={\bigl |}G((p_{1},1),\dots ,(p_{n+1},1)){\bigr |}-{\bigl |}G(p_{1},\dots ,p_{n+1}){\bigr |}\,,} それぞれ（ p j 、 1 ） {\displaystyle (p_{j},1)} p j {\displaystyle p_{j}} （ m + 1 ） {\displaystyle (m+1)} 。n = m
参考文献 1 2 3 Horn & Johnson 2013 、p.441 、 p.441、定理7.2.10 ↑ Lanckriet, GRG; Cristianini, N.; Bartlett, P.; Ghaoui, LE; Jordan, MI (2004).半正定値計画法によるカーネル行列の学習. Journal of Machine Learning Research (Report). Vol. 5. pp. 27–72 [p. 29]. ↑ Horn & Johnson (2013) 、p. 452、定理7.3.11↑ Ramon、Garcia、Stephan; Javad、Mashreghi; T.、Ross、William (2023-01-30). "Operator Theory by Example" . OUP Academic . doi : 10.1093/oso/9780192863867.001.0001 . {{cite journal}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)ホーン、ロジャー A.、ジョンソン、チャールズ R. (2013).行列解析 （第 2 版）.ケンブリッジ大学出版局 . ISBN 978-0-521-54823-6 。
外部リンク 「グラム行列」、数学百科事典 『平行四辺形の体積』
![{\displaystyle \left[t_{0},t_{f}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc901ebd356de06d879650339ff78a293159bb1)
![{\displaystyle G=\left[G_{ij}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c88387ce30e4df6fa123fe0886bb467a0e30e2d)
![{\displaystyle \omega ={\sqrt {\det G}}\ dx_{1}\cdots dx_{k},\quad G=\left[\left\langle {\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial \phi }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d3b96a447d419a15368a06c085dab203f9a0426)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle u_{i},u_{j}\rangle &=\sum _{i'}\sum _{j'}{\Bigl \langle }{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{i'i}v_{i'},{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr) )}_{j'j}v_{j'}{\Bigr \rangle }\\[10mu]&=\sum _{i'}\sum _{j'}{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{ii'}G_{i'j'}{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr) )}_{j'j}\\[8mu]&={\bigl (}G^{-1/2}GG^{-1/2}{\bigr )}_{ij}=\delta _{ij}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1a47dd4962015d36ac70c3646c8e22056b961f2)
