音楽と数学

音楽理論は、音楽のピッチ、タイミング、構造を分析します。音楽理論では、テンポ、コード進行、形式、拍子などの音楽の要素を数学的に研究します。音楽を作曲し聴く新しい方法を構造化し、伝えようとする試みは、集合論、抽象代数、数論の音楽への応用につながりました。

音楽理論は現代数学において公理的な根拠を持っていないが、音楽の音の基礎は数学的に（音響学を用いて）記述することができ、「驚くべき数のプロパティ」を示している。^[1]

古代中国人、インド人、エジプト人、メソポタミア人が音の数学的原理を研究していたことは知られているが^[2]、古代ギリシャのピタゴラス学派（特にフィロラオスとアルキタス）^[3]は、音階の表現を数値比、^[4]特に小さな整数の比率で研究した最初の研究者として知られている。彼らの中心的教義は、「すべての自然は数から生じる調和で構成されている」というものだった^{[5] 。}

プラトンの時代から、ハーモニーは物理学の基本的な分野と考えられており、現在は音楽音響学として知られています。初期のインドと中国の理論家は同様のアプローチを示しており、全員がハーモニーとリズムの数学的法則が世界を理解するだけでなく、人間の幸福にも不可欠であることを証明しようとしました。^[6] 孔子はピタゴラスと同様に、1、2、3、4という小さな数字をすべての完璧さの源と見なしました。^[7]

リズム構造の境界、つまり脈拍の 繰り返し、アクセント、フレーズ、持続時間の基本的な均等で規則的な配置がなければ、音楽は不可能でしょう。^{[8]現代の音楽における}拍子や尺度などの用語の使用は、天文学とともに、物理学の基礎となる計数、算術、および時間と周期性の正確な測定の発展における音楽の歴史的重要性を反映しています。^[要出典]

音楽形式の要素は、厳密な比率や超韻律構造（2と3の累乗）を構築することが多い。^[9]

音楽形式とは、短い楽曲を拡張するための計画である。「計画」という用語は建築でも使用され、音楽形式は建築とよく比較される。建築家と同様に、作曲家は作品の機能と利用可能な手段を考慮し、経済性を実践し、反復と秩序を活用する必要がある。^[10]バイナリとターナリ（「二重」と「三重」）として知られる一般的な形式の種類は、音楽の理解度と魅力に対する小さな整数値の重要性を再び証明している。^{[11] [12]}

音階は、音楽の作成や説明に使用される個別の音高のセットです。西洋の伝統で最も重要な音階は全音階ですが、さまざまな歴史的時代や世界の地域で、他の多くの音階が使用され、提案されてきました。各音高は特定の周波数に対応しており、ヘルツ (Hz) で表され、1 秒あたりのサイクル数 (cps) と呼ばれることもあります。音階には、通常オクターブである繰り返し間隔があります。任意の音高のオクターブは、特定の音高のちょうど 2 倍の周波数を指します。

それに続くスーパーオクターブは、基本周波数の 4 倍、8 倍、16 倍などの周波数にあるピッチです。基本周波数の半分、4 分の 1、8 分の 1 などの周波数にあるピッチはサブオクターブと呼ばれます。音楽のハーモニーでは、特定のピッチが調和していると見なされる場合、そのオクターブは別のものとみなされることはありません。したがって、どの音符とそのオクターブも、音楽システムでは通常同様の名前が付けられています (たとえば、すべては、状況に応じて ド、A、またはサと呼ばれます)。

周波数帯域幅で表すと、オクターブA ₂～ A ₃は 110 Hz ～ 220 Hz (範囲 = 110 Hz) の範囲になります。次のオクターブは 220 Hz ～ 440 Hz (範囲 = 220 Hz) の範囲になります。3 番目のオクターブは 440 Hz ～ 880 Hz (範囲 = 440 Hz) の範囲になります。以降の各オクターブは、前のオクターブの周波数範囲の 2 倍の範囲になります。

音階を記述する際には、正確な音高そのものよりも、音高同士の関係や比率(音程と呼ばれる) に興味があることが多いため、音階のすべての音高は、特定の音高 (通常は1/1と表記) からの比率で表すのが一般的です。特定の音高には、通常、音階の主音として機能する音符が与えられます。音程の大きさの比較には、セントがよく使用されます。

調律システムには、平均律と純正律という2 つの主な系統があります。平均律音階は、オクターブを対数スケール上で等しい間隔に分割することによって構築されます。これにより、完全に均等に分割された音階が得られますが、周波数の比率は無理数になります。純正音階は、周波数に有理数を掛けることによって構築されます。これにより、周波数間の比率は単純になりますが、音階の分割は不均等になります。

平均律と純正律の大きな違いは、2 つの音が同時に鳴ったときの音響ビートの違いです。これは協和音と不協和音の主観的な体験に影響します。これら 2 つのシステム、および一般的な音楽の大部分は、オクターブごとに繰り返される音階を持ち、これは 2:1 の周波数比として定義されます。つまり、周波数が 2 倍になるたびに、特定の音階が繰り返されます。

以下は純正律と平均律の違いを示す Ogg Vorbisファイルです。違いがわかるようになるまで、サンプルを数回再生する必要があるかもしれません。

• 2 つの正弦波が連続して再生されます。このサンプルには、550 Hz の半音 (純正律の C ♯ ) があり、その後に 554.37 Hz の半音 (平均律のC ♯ ) が続きます。
• 同じ 2 つの音を A440 ペダルに対して設定します。このサンプルは「2 音」で構成されています。下の音は一定の A (どちらの音階でも 440 Hz)、上の音は最初の 1 インチが平均律スケールのC ♯ 、最後の 1 インチが純正律スケールのC ♯です。位相差により、前のサンプルよりも遷移を検出しやすくなっています。

5限界調律は、純正律の最も一般的な形式で、単一の基本周波数の規則的な 倍音である音を使用する調律システムです。これは、ヨハネス・ケプラーが惑星の運動に関連して著書『世界の調和』 （1619年）で提示した音階の1つです。同じ音階が、スコットランドの数学者で音楽理論家のアレクサンダー・マルコムによって1721年に『音楽論：思索的、実践的および歴史的』^[13]で移調された形で示され、20世紀の理論家ホセ・ヴュルシュミットによっても示されました。その形式は、北インドの音楽で使用されています。

アメリカの作曲家テリー・ライリーも、彼の「ニューアルビオンのハープ」でその反転形を使用しています。純正律は、コード進行がほとんどまたは全くない場合に優れた結果をもたらします。つまり、声や他の楽器は、可能な限り純正律に引き寄せられます。しかし、ピアノなどの固定調律の楽器はキーを変更できないため、2つの異なる全音間隔（9:8と10:9）が得られます。^[14]比率で与えられた音階の音の周波数を計算するには、周波数比に主音周波数を掛けます。たとえば、主音がA4（中央Cの上のAナチュラル）の場合、周波数は440  Hzであり、その上の5度（E5）の正しく調律された音は、単に440×（3：2）= 660 Hzです。

ピタゴラス音律は、完全協和音、(完全) オクターブ、完全 5 度、完全 4 度のみに基づいた音律です。したがって、長 3 度は 3 度ではなく、文字通り「2 つの音」である二全音とみなされ、(9:8) ² = 81:64 となります。これは、すぐ下の独立した調和音 5:4 = 80:64 とは異なります。全音は、2 つの完全 5 度から 1 オクターブを引いた二次音程で、(3:2) ² /2 = 9:8 となります。

純正な長三度 5:4 と短三度 6:5 は、それぞれピタゴラス音階の 81:64 と 32:27 とは別に、シントニック コンマ81:80 です。Carl Dahlhaus (1990、p. 187) によると、「従属三度はピタゴラス音階に準拠し、独立三度は音程の調和的な調律に準拠します。」

西洋の一般的な音楽は、通常純正律で演奏することはできず、体系的に調律された音階を必要とする。調律は、平均律の不規則性を取り入れることも、平均律やその他の規則的な中全音のいずれかの規則的な音律として構築することもできますが、いずれの場合も中全音律の基本的な特徴を取り入れることになります。たとえば、コードiiのルートを属音の5度上に調律すると、主音の長全音 (9:8) 上になります。ただし、純正下属音の4:3より短3度 (6:5) 下に調律すると、主音からの音程は短全音 (10:9) に等しくなります。中全音律では、9:8と10:9の差が小さくなります。これらの比率 (9:8)/(10:9) = 81:80 はユニゾンとして扱われます。シントニック・コンマまたはディディムスのコンマと呼ばれる 81:80 の音程は、ミーントーン音律の重要なコンマです。

平均律では、オクターブは対数音階上で均等に分割されます。平均律音階は任意の数の音符で構成できますが (たとえば、24音のアラブ音階)、最も一般的な数は 12 で、平均律半音階を構成します。西洋音楽では、特に指定がない限り、12 の音程への分割が一般的です。

半音階では、オクターブは 12 の等しい部分に分割され、各半音 (半音) は2 の 12 乗根の音程であるため、これらの等しい半音を 12 個足すとちょうど 1 オクターブになります。フレット楽器では、フレットが弦全体に均等に並ぶように平均律を使用すると便利です。ヨーロッパの音楽の伝統では、平均律は、キーボードなどの他の楽器よりもずっと前からリュートやギターの音楽に使用されていました。この歴史的な影響により、12 音平均律は現在、西洋世界、そして西洋以外の世界の多くで主流のイントネーション システムとなっています。

平均律も使用され、様々な等音数を用いた楽器も作られてきた。16世紀にギヨーム・コストレーが初めて提案し使用した19平均律は、19の等間隔の音を使用し、通常の12半音平均律よりも5度が下がる代わりに長3度と短3度がはるかに優れている。全体的な効果としては、より調和がとれるようになる。24平均律は、24の等間隔の音を使用し、アラブ音楽の教育と記譜法で広く使われている。しかし、理論と実践において、アラブ音楽のイントネーションは、平均律システムの無理数比とは対照的に、有理数比に準拠している。^[15]

平均律の四分音に類似するものはアラビアのイントネーションシステムにはまったく存在しないが、四分音の三分音、つまり中立二分音に類似するものは頻繁に存在する。しかし、これらの中立二分音は、マカームや地理によって比率がわずかに異なる。実際、アラビア音楽史家ハビブ・ハッサン・トゥーマは「この音楽ステップの偏りの幅は、アラビア音楽の独特の風味の重要な要素である。オクターブを24の等サイズの四分音に分割して音階を調律することは、この音楽文化の最も特徴的な要素の1つを放棄することである」と書いている。^[15]

53 平均律は、 53 の完全五度と 31 オクターブがほぼ等しいことから生まれ、ジン・ファンとニコラス・メルカトルによって注目されました。

音楽集合論は、数学的集合論の言語を初歩的な方法で使用して、音楽オブジェクトを整理し、それらの関係を記述します。音楽集合論を使用して（通常は無調の）音楽作品の構造を分析するには、通常、モチーフまたはコードを形成できる音のセットから始めます。移調や反転などの単純な操作を適用することで、音楽の深い構造を発見できます。移調や反転などの操作は、セット内の音の間隔を保存するため、 等長変換と呼ばれます。

音楽集合論の手法を拡張して、抽象代数を用いて音楽を分析する理論家もいる。例えば、平均律オクターブのピッチクラスは12個の要素を持つアーベル群を形成する。純正律は自由アーベル群で記述することができる。^{[16] [17]}

変容理論は、デイヴィッド・ルーウィンによって開発された音楽理論の一分野です。この理論は、音楽オブジェクト自体ではなく、音楽オブジェクト間の変容を強調するため、非常に汎用的です。

理論家たちは、より洗練された代数的概念の音楽への応用も提案している。正規音律の理論は、例えば各正規音律をグラスマン多様体上の有理点に関連付けるなど、広範囲にわたる高度な数学を用いて広範囲に展開されてきた。

半音階は循環群 の自由かつ推移的な作用を持ち、その作用は音の移調によって定義されます。したがって、半音階は群の トルソルと考えることができます。${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

作曲家の中には黄金比やフィボナッチ数を作品に取り入れている人もいます。 ^{[18] [19]}

数学者で音楽学者の ゲリーノ・マッツォーラは、音楽理論の基礎として圏論（トポス理論）を用いており、位相幾何学をリズムと動機の理論の基礎として、また微分幾何学を音楽のフレージング、テンポ、イントネーションの理論の基礎として用いている。^[20]

• アルバート・アインシュタイン– 優れたピアニスト、バイオリニスト。
• アート・ガーファンクル（サイモン＆ガーファンクル） –コロンビア大学数学教育修士
• ブライアン・コックス–マンチェスター大学物理学・天文学部の素粒子物理学教授。
• ブライアン・メイ(クイーン) –インペリアル・カレッジ・ロンドンで数学と物理学の理学士(優等学位)、天体物理学の博士号を取得。
• ブライアン・ウェクト（Ninja Sex Party ） –カリフォルニア大学サンディエゴ校、素粒子物理学博士
• ダン・スナイス– インペリアル・カレッジ・ロンドン、数学博士
• デリア・ダービーシャー–ケンブリッジ大学で数学と音楽の学士号を取得。
• ドナルド・クヌース– クヌースはオルガン奏者であり作曲家です。2016年に「Fantasia Apocalyptica」というオルガン曲を完成させました。この作品は2018年1月10日にスウェーデンで初演されました。
• イーサン・ポート (サベージ・リパブリック) –南カリフォルニア大学、数学博士
• グレッグ・ターナー（アングリ・サモア人） –クレアモント大学院大学数学博士
• ジェローム・ハインズ– 1951 年から 1956 年にかけて『Mathematics Magazine』に掲載された 5 つの記事。
• ジョニー・バックランド(コールドプレイ) –ユニバーシティ・カレッジ・ロンドンで天文学と数学を学ぶ。
• キット・アームストロング– 音楽学士号と数学修士号。
• マンジュル・バーガヴァ–タブラを演奏し、 2014 年にフィールズ賞を受賞しました。
• フィル・アルビン(ザ・ブラスターズ) – 数学、カリフォルニア大学ロサンゼルス校
• フィリップ・グラス–シカゴ大学で数学と哲学を学ぶ。
• ロバート・シュナイダー( The Apples in Stereo ) –エモリー大学数学博士
• トム・レーラー–ハーバード大学で数学の学士号を取得。
• ウィリアム・ハーシェル– 天文学者であり、オーボエ、バイオリン、チェンバロ、オルガンを演奏しました。24 曲の交響曲と多数の協奏曲、さらにいくつかの教会音楽を作曲しました。

音楽ポータル

• ダールハウス、カール。 1990年。ワーグナー音楽音楽祭。ドイッチャー・タッシェンブーフ・フェルラーク。カッセル: ベーレンライター。ISBN 9783423045384 ; ISBN 9783761845387。  
• アイヴァー・グラッタン・ギネス(1995)「モーツァルト 18、ベートーヴェン 32: クラシック音楽における整数の隠れた影」、Joseph W. Dauben、Menso Folkerts、Eberhard Knobloch、Hans Wussing編著『数学の歴史: 最新技術』 29 ～ 47 ページ、Academic Press ISBN 0-12-204055-4  

• ホットな音楽のためのクールな数学 - 音楽理論家のための数学入門、 Guerino Mazzola、Maria Mannone、Yan Pang 著、Springer、2016 年、ISBN 3319429353 
• 音楽：数学的提供、デイブ・ベンソン著、ケンブリッジ大学出版、2006年、ISBN 0521619998 

• SM Nemati による公理的音楽理論
• トーマス・E・フィオーレ著『音楽と数学』
• 十二音音階。
• 音響測定法、つまり数学分野としての音楽。
• 音楽: Dave Benson の「A Mathematical Offering」。
• ニコラウス・メルカトルがコンバージェンスで音楽における比率理論を使用する
• ガラスビーズゲーム ヘルマン・ヘッセは、ガラスビーズゲームの開発において音楽と数学に重要な役割を果たしました。
• 調和と比例。ピタゴラス、音楽、そして空間。
• 「線形代数と音楽」
• Notefreqs — MIDI、ピアノ、ギター、ベース、バイオリンの音符周波数と比率の完全な表。楽器製作用のフレット測定値（cm とインチ）も含まれています。
• 数学と音楽、BBCラジオ4、マーカス・デュ・ソートイ、ロビン・ウィルソン、ルース・タットロウとの討論（In Our Time、2006年5月25日）
• 正定値カーネルによる音符類似度の測定、正定値カーネルによる音符類似度の測定