数学的証明

数学的証明とは、数学的命題に対する演繹的議論であり、提示された仮定が論理的に結論を保証することを示すものです。議論では、定理などの他の既知の命題を用いることができますが、すべての証明は、原則として、公理と呼ばれる特定の基本的または独自の仮定^[²^]^[³^]^[⁴^]と、受け入れられている推論規則のみを用いて構築することができます。証明は、論理的確実性を確立する網羅的な演繹的推論の例であり、「合理的な期待」を確立する経験的議論や網羅的でない帰納的推論とは区別されます。命題が成り立つ多くの事例を示すだけでは証明には不十分であり、証明は、すべての可能な場合において命題が真であることを示さなければなりません。証明されていないが真であると信じられている命題は、推測、または、さらなる数学的作業の仮定として頻繁に使用される場合は仮説と呼ばれます。^[⁵^]

証明は、数学記号で表現された論理と、通常ある程度の曖昧さを許容する自然言語を用いる。ほとんどの数学文献では、証明は厳密な非形式論理で記述されている。自然言語を一切用いずに完全に記号言語で記述された純粋に形式的な証明は、証明論で扱われる。形式的証明と非形式的証明の区別は、現代および過去の数学の実践、数学における準経験主義、そして主流の数学コミュニティや他の文化におけるいわゆる民俗数学、口承の伝統の多くの研究につながっている。数学の哲学は、証明における言語と論理の役割、そして言語としての数学に関心を寄せている。

歴史と語源

「proof」という単語はラテン語のprobare「試す」に由来し、関連する単語には英語のprobe、probation、probability、スペイン語のprobar「味わう」（時には「触れる」または「試す」）^{[ 6 ]} 、イタリア語のprovare「試す」、ドイツ語のprobieren「試す」などがあります。法律用語のprobity は権威または信頼性を意味し、評判や地位のある人物によって証言された場合に事実を証明する力となります。^{[ 7 ]}

図や類推などのヒューリスティックな手段を用いた妥当性論証は、厳密な数学的証明に先行していた。^{[ 8 ]}結論を証明するという考えは、おそらく土地の測定という実際的な問題に端を発する幾何学に関連して最初に生じた。 ^{[ 9 ]}数学的証明の発展は、主に古代ギリシャの数学の産物である。^{[ 10 ]}タレス（紀元前624～546 年）とキオスのヒポクラテス（紀元前 470～410年頃）は、幾何学における定理の最初の証明のいくつかを示した。エウドクソス（紀元前408～355 年）とテアイテトス（紀元前417～369 年）は定理を定式化したが、証明はしなかった。アリストテレス（紀元前384～322 年）は、定義は、すでに知られている他の概念を用いて定義される概念を記述すべきであると述べた。

数学的証明は、ユークリッド（紀元前300年）によって革命的に変革され、今日でも使用されている公理的方法が導入されました。この方法は、未定義の用語と公理、つまり未定義の用語に関する自明の真理であると仮定される命題（ギリシャ語のaxios「価値のあるもの」に由来）から始まります。この基礎から、この方法は演繹論理を使用して定理を証明します。ユークリッドの『原論』は、 20 世紀半ばまで西洋で教養があるとみなされた人なら誰でも読んでいました。^{[ 11 ]} 『原論』は、ピタゴラスの定理などの幾何学の定理に加えて、 2 の平方根が無理数であることの証明や、素数が無限に存在することの証明など、数論も扱っています。

中世イスラム数学においてもさらなる進歩が見られた。10 世紀には、イラクの数学者アル・ハシミが、必ずしも幾何学的対象の測定値とはみなされない「線」と呼ばれる数そのものを用いて、無理数の存在を含む乗算、除算などに関する代数命題を証明した。^{[ 12 ]}等差数列の帰納的証明は、アル・カラジによってアル・ファクリ(1000)で紹介され、彼はそれを用いて二項定理とパスカルの三角形の性質を証明した。

現代の証明論では、証明は帰納的に定義されたデータ構造として扱われ、公理が何らかの意味で「真」であるという仮定を必要としません。これにより、例えば公理的集合論や非ユークリッド幾何学のように、異なる公理系に基づいて、与えられた直感的な概念の形式モデルとしての並行する数学理論が可能になります。

性質と目的

一般的に、証明は自然言語で表現され、ある主張の正しさを聴衆に納得させることを目的とした厳密な議論である。厳密さの基準は絶対的なものではなく、歴史を通じて変化してきた。証明は、対象となる聴衆に応じて異なる方法で提示されることがある。受け入れられるためには、証明は共通の厳密さの基準を満たさなければならず、曖昧または不完全とみなされる議論は拒否される可能性がある。

証明の概念は、数理論理学の分野で形式化されている。^{[ 13 ]}形式的証明は、自然言語ではなく形式言語で記述される。形式的証明は、仮定から始まり、後続の各式が先行する式の論理的帰結となる形式言語の式の列である。この定義により、証明の概念は研究可能となる。実際、証明論の分野では形式的証明とその性質が研究されており、最も有名で驚くべきことは、ほとんどすべての公理系が、その系内では証明できない特定の決定不能な命題を生成できるということである。

形式的証明の定義は、数学の実践において記述される証明の概念を捉えることを意図している。この定義の妥当性は、公表された証明は原理的に形式的証明に変換できるという信念に相当する。しかし、自動証明支援の分野以外では、これは実際にはほとんど行われていない。哲学における古典的な問いは、数学的証明が解析的か総合的かというものである。解析的・総合的区別を導入したカントは、数学的証明は総合的であると信じていたが、クワインは1951年の著書『経験主義の二つのドグマ』で、そのような区別は維持できないと主張した。^[¹⁴^]

証明は、その数学的な美しさゆえに賞賛されることがある。数学者のポール・エルデシュは、特に優雅だと感じた証明を「その書」から引用したものと表現することで知られていた。「その書」とは、各定理を証明する最も美しい方法が収められた架空の書物である。2003年に出版された『その書からの証明』は、編集者たちが特に気に入った32の証明を紹介することに専念している。

証明方法

直接的な証拠

直接証明では、公理、定義、および以前の定理を論理的に組み合わせることによって結論が確立されます。^{[ 15 ]}例えば、直接証明は、2つの偶数の和が常に偶数であることを証明するために使用できます。

2つの偶数xとyを考えます。これらは偶数なので、それぞれx = 2a 、y = 2bと表すことができます（ aとbは整数です）。すると、和はx + y = 2a + 2b = 2( a + b ) となります。したがって、x + yは 2 を因数として持ち、定義により偶数です。つまり、任意の2つの偶数の和は偶数です。

この証明では、偶数の定義、加算と乗算に関する整数の閉包性、および分配法則を使用します。

数学的帰納法による証明

数学的帰納法は、その名前とは裏腹に、演繹法の一種であり、帰納的推論の一種ではありません。数学的帰納法による証明では、単一の「基本ケース」が証明され、任意のケースが次のケースを導くことを示す「帰納規則」が証明されます。帰納規則は原則として（証明された基本ケースから始めて）繰り返し適用できるため、すべてのケース（通常は無限に多くのケース）が証明可能となります。^{[ 16 ]}これにより、各ケースを個別に証明する必要がなくなります。数学的帰納法の変形として、無限降下法による証明があり、これは例えば、2の平方根が無理数であることを証明するために使用できます。

数学的帰納法による証明の一般的な応用例は、ある数に対して成り立つことが知られている性質が、すべての自然数に対して成り立つことを証明することです。^{[ 17 ]} $N = {1, 2, 3, 4, ...$ } を自然数の集合とし、 $P (n)を$ $N$ に属する自然数 $n$ を含む数学的命題とします。

(i) $P (1)$ は真である、すなわち、 $n$ $= 1の場合、$ $P (n)$ は真である。
（ii） $P （ n +1）は$ $P （ n ）$ が真であるときはいつでも真である。つまり、 $P （ n ）$ が真であれば $P （ n +1）$ も真である。
すると、 $P (n)$ はすべての自然数 $n$ に対して真となる。

例えば、帰納法によって、2 n − 1 の形のすべての正の整数は奇数であることを証明できます $。P ($ $n) を「$ 2 n − $1 は奇数$ で $ある」とし$ ます。

(i)

n = 1

の場合、

2 n - 1 = 2(1) - 1 = 1

であり、

1 は

2

で割ると余りが

1

になるので奇数です。したがって

P

(1)

は真です。

(ii)任意の

n

について、

2 n - 1

が奇数 (

P (n)

) ならば、奇数に

2 を

加えると奇数になるので、

(2 n - 1) + 2も奇数でなければなりません。しかし、

(2

n

-

1)

+

2

=

2

n

+

1

=

2(

n

+1)

-

1

なので、

2(

n

+1)

-

1

は奇数 (

P

(

n

+1)

) です。したがって、

P

(

n

)は

P

(

n

+1)

を意味します。

したがって、すべての正の整数

n

に対して2 n - 1

は奇数です。

「数学的帰納法による証明」の代わりに、「帰納法による証明」という短い表現がよく使われる。^{[ 18 ]}

対偶による証明

対偶による証明は、「 pならばq」という命題を、論理的に同値な対偶命題「qでないならばpでない」を確立することによって推論する。

例えば、対偶法を用いて、整数が与えられた場合、 $x$ 、もし $x^{2}$ 偶数の場合、 $x$ 等しく：

仮定する

x

均等ではない。

x

奇数です。2つの奇数の積は奇数なので、

x^{2}=x\cdot x

奇妙だ。したがって

x^{2}

は偶数ではありません。したがって、

x^{2}

偶数であれば、その仮定は偽でなければならないので、

x

均等でなければならない。

背理法による証明

背理法（ラテン語のreductio ad absurdumとも呼ばれる）では、ある命題が真であると仮定すると論理的矛盾が生じるため、その命題は偽であることを示す。有名な例としては、次の証明がある。 $\displaystyle {\sqrt {2}}}$ は無理数です。

仮に

\displaystyle {\sqrt {2}}}

有理数であった場合、既約分数で次のように表すことができる。

\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}

ここで、 aとbは共通因数を持たないゼロでない整数である。したがって、

b{\sqrt {2}}=a

両辺を二乗すると 2 b ² = a ²となります。左辺の式は 2 の整数倍なので、右辺の式は定義により 2 で割り切れます。つまり、a ²は偶数であり、これは上記の命題 ( #対偶による証明) で示されているように、 a も偶数でなければならないことを意味します。したがって、 a = 2 cと書くことができます。ここでcも整数です。元の式に代入すると、2 b ² = (2 c ) ² = 4 c ²となります。両辺を 2 で割ると、b ² = 2 c ²となります。しかし、前と同じ議論により、2 はb ²を割り切るので、b は偶数でなければなりません。しかし、aとbが両方とも偶数であれば、2 が共通因数となります。これは、 aとbに共通因数がないという前の記述と矛盾するため、

{\sqrt {2}}

は無理数です。

言い換えれば、もし書けるなら ${\sqrt {2}}$ 分数として表すと、この分数は決して既約分数にすることはできません。なぜなら、分子と分母から常に2を因数分解できるからです。

構成による証明

構成による証明、または例による証明とは、ある性質を持つ具体的な例を構築することで、その性質を持つものが存在することを示す方法である。例えば、ジョセフ・リウヴィルは、明確な例を構築することで超越数の存在を証明した。また、すべての要素が特定の性質を持つという命題を反証するための反例を構築するためにも使用できる。

徹底的な証明

網羅的証明では、結論を有限個のケースに分割し、それぞれを個別に証明することによって結論を確立します。ケースの数は非常に多くなる場合があります。たとえば、四色定理の最初の証明は、1,936 ケースの網羅的証明でした。この証明は、ケースの大部分が手作業ではなくコンピュータプログラムによってチェックされたため、議論を呼びました。^{[ 19 ]}

閉じた連鎖推論

閉じた連鎖推論は、一連の命題が互いに同等であることを示す。

声明を証明するために $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}$ それぞれがペアごとに同値であり、その含意の証明が与えられている。 $\varphi _{1}\Rightarrow \varphi _{2}$ 、 $\varphi _{2}\Rightarrow \varphi _{3}$ 、 $\dots$ 、 $\varphi _{n-1}\Rightarrow \varphi _{n}$ そして $\varphi _{n}\Rightarrow \varphi _{1}$ [ ²⁰^]^[²¹^]

これらの文のペアごとの同値性は、実質条件文の推移性から生じる。

確率的証明

確率的証明とは、確率論の手法を用いて、ある例が確実に存在することを示す証明のことである。確率的証明は、構成による証明と同様に、存在定理を証明する多くの方法の一つである。

確率的手法では、まず多数の候補の中から、特定の特性を持つ対象を探します。各候補に選択される確率を割り当て、選択された候補が目的の特性を持つ確率がゼロでないことを証明します。この方法では、どの候補がその特性を持つかは特定されませんが、少なくとも1つの候補が特性を持たなければ、確率は正の値にはなり得ません。

確率的証明は、定理が「おそらく」真であるという議論、つまり「妥当性論証」と混同してはならない。コラッツ予想に向けた研究は、妥当性が真の証明からどれほどかけ離れているかを示しており、メルテンス予想の反証も同様である。ほとんどの数学者は、与えられた対象の性質に関する確率的証拠が真の数学的証明として数えられるとは考えていないが、少数の数学者や哲学者は、少なくともいくつかのタイプの確率的証拠（例えば、素数判定のためのラビンの確率的アルゴリズム）は真の数学的証明と同等に優れていると主張している。^[²²^]^[²³^]

組み合わせ論的証明

組み合わせ論的証明は、異なる式が同じ対象を異なる方法で数えていることを示すことで、それらの式の等価性を確立します。^{[ 24 ]} 2 つの集合間の全単射を使用して、それらの 2 つのサイズの式が等しいことを示すことがよくあります。あるいは、二重計数論法は、単一の集合のサイズに対して 2 つの異なる式を提供し、2 つの式が等しいことを再び示します。

非構成的証明

非構成的証明は、ある性質を持つ数学的対象が存在することを立証するが、そのような対象がどのようにして見つかるかは説明しない。^{[ 25 ]}多くの場合、これは背理法の形式をとり、対象が存在しないことは不可能であることが証明される。対照的に、構成的証明は、特定の対象を見つける方法を提供することによって、その対象が存在することを立証する。次の有名な非構成的証明の例は、2つの無理数aとbが存在し、 $a^{b}$ は有理数である。この証明では、 ${\sqrt {2}}$ は無理数である（ユークリッド以来、簡単な証明が知られている）が、 ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ は無理数である（これは事実だが、証明は初歩的ではない）。

どちらか

{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}

は有理数であり、これで完了です（

a=b={\sqrt {2}}

）、または

{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}

は無理数なので、次のように書くことができます

a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}

そして

b={\sqrt {2}}

すると、

\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2

したがって、これは次の形式の有理数である。

a^{b}.

純粋数学における統計的証明

「統計的証明」という表現は、暗号、カオス級数、確率的数論、解析的数論など、純粋数学の分野で専門的にも口語的にも使用されることがある。^[²⁶^]^[²⁷^]^[²⁸^]数学統計学として知られる数学の分野における数学的証明を指すために使われることはあまりない。下記の「データを用いた統計的証明」のセクションも参照のこと。

コンピュータ支援による証明

20世紀までは、どんな証明も、原則として、有能な数学者によって検証され、その妥当性を確認できると考えられていました。^{[ 8 ]}しかし、現在では、定理の証明や、人間や人間のチームが検証するには長すぎる計算を実行するために、自動定理証明器や証明支援システムが使用されています。四色定理の最初の証明は、コンピュータ支援による証明の一例です。一部の数学者は、コンピュータプログラムのエラーや計算の実行時エラーの可能性が、このようなコンピュータ支援による証明の妥当性に疑問を投げかけることを懸念しています。実際には、計算に冗長性と自己チェックを組み込むこと、および複数の独立したアプローチとプログラムを開発することによって、コンピュータ支援による証明を無効にするエラーの可能性を減らすことができます。人間による証明の検証の場合でも、エラーを完全に排除することはできません。特に、証明に自然言語が含まれており、潜在的な隠れた仮定や誤謬を明らかにするために深い数学的洞察力が必要な場合はなおさらです。

決定不能な声明

一連の公理から証明も反証もできない命題は、（それらの公理から）決定不能であると呼ばれる。一例として、平行線公準が挙げられる。これは、ユークリッド幾何学の残りの公理から証明も反駁もできない。

数学者たちは、数学における集合論の標準体系であるツェルメロ・フレンケル集合論（ZFC）の選択公理において、証明も反証もできない命題が多数存在することを示してきた（ZFCが無矛盾であると仮定した場合）。ZFCで決定不能な命題のリストを参照のこと。

ゲーデルの（第一）不完全性定理は、数学的に興味深い多くの公理系には決定不能な命題が存在することを示している。

発見的数学と実験的数学

クニドスのエウドクソスのような初期の数学者は証明を使用しませんでしたが、ユークリッドから19世紀後半と20世紀の基礎的な数学の発展に至るまで、証明は数学の不可欠な部分でした。 ^{[ 29 ]} 1960年代の計算能力の向上に伴い、実験数学において、証明定理の枠組みを超えた数学的対象を調査する重要な研究が始まりました。 ^{[ 30 ]}これらの方法の初期の先駆者たちは、最終的に古典的な証明定理の枠組みに解決されることを意図しており、例えばフラクタル幾何学の初期の開発^[³¹^]は最終的に解決されました。

証明の終了

証明の終了を示すために、 「QED」という略語が使われることがあります。この略語は「quod erat demonstrandum」の略で、ラテン語で「証明されるべきもの」という意味です。より一般的な代替手段として、□ や ∎ のような正方形や長方形を使う方法があり、これは「墓石」または、その名の由来となったポール・ハルモスにちなんで「ハルモス」と呼ばれています。口頭発表の際に「QED」、「□」、「∎」と書く場合、「示されるべきもの」は口頭で述べられることがよくあります。Unicode では、「証明の終了」文字として U+220E (∎) (220E(16 進数) = 8718(10 進数) が明示的に提供されています。

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さらに読む

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外部リンク

ウィキメディア・コモンズにある数学的証明に関連するメディア
数学における証明：単純で魅力的で、そして誤謬に満ちている
ウィキバーシティの講座における証明に関するレッスン

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[10] Moutsios-Rentzos, Andreas; Spyrou, Panagiotis (2015年2月)。「古代ギリシアにおける証明の起源：フッサール的解釈の教育的意味」。HAL公開アーカイブ。2019年10月20日取得。

[11] イヴス、ハワード・W.（1990年1月）[1962]。『数学史入門』（サンダースシリーズ）（第6版）。センゲージ。141ページ。ISBN 978-0030295584聖書を除けば、これほど広く利用された作品はない…。

[12] マトヴィエフスカヤ、ガリーナ (1987)、「中世東洋数学における二次無理数の理論」、ニューヨーク科学アカデミー紀要、500 (1): 253–277 [260]、Bibcode : 1987NYASA.500..253M、doi : 10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x、S2CID 121416910

[13] Buss, Samuel R. (1998), "証明論入門", Buss, Samuel R. (編), Handbook of Proof Theory , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 137, Elsevier, pp. 1–78 , ISBN 978-0-08-053318-6特に3ページを参照：「証明論の研究は、伝統的に数学的証明を形式化するという問題によって動機づけられてきた。フレーゲ[1879]による一階述語論理の定式化は、この方向への最初の成功した一歩であった。」

[14] クワイン、ウィラード・ヴァン・オーマン (1961)。「経験主義の 2 つの教義」(PDF)。チューリッヒ大学 – 神学学部。 p. １２．2019 年10 月 20 日に取得。

[15] クピラリ、20ページ。

[16] クピラリ、46ページ。

[17] すべての自然数に対する数学的帰納法による簡単な証明例

[18] 帰納法による証明2012年2月18日にWayback Machineにアーカイブ済み、ウォーリック大学数学用語集

[19] 4色定理#簡略化と検証を参照。

[20] プラウエ、マティアス;マイク・シェフナー（2019年2月11日）。Mathematik für das Bachelorstudium I: Grundlagen und Grundzüge der Linearen Algebra und Analysis [学士号のための数学 I: 線形代数と解析の基礎と基礎] (ドイツ語)。スプリンガー・フェルラーク。 p. 26.ISBN 978-3-662-58352-4。

[21] ストラックマン、ヴェルナー。ヴェッチェン、ディートマール（2016 年 10 月 20 日）。Mathematik für Informatiker: Grundlagen und Anwendungen [コンピュータ科学者のための数学: 基礎と応用] (ドイツ語)。スプリンガー・フェルラーク。 p. 28.ISBN 978-3-662-49870-5。

[22] Davis, Philip J. (1972), "数学的言説における忠実性: 1と1は本当に2なのか？" American Mathematical Monthly 79:252–63.

[23] Fallis, Don (1997), "確率的証明の認識論的地位." Journal of Philosophy 94:165–86.

[24] Chewi, Sinho; Wan, Alvin. "Combinatorial Proofs" (PDF) . 2026年4月14日取得。

[25] Weisstein, Eric W. "Nonconstructive Proof" . mathworld.wolfram.com . 2026年4月14日取得.

[26] 「数論および可換代数において…特に補題の統計的証明において。」

[27] 「定数π（つまりパイ）が正規分布に従うかどうかは、統計的な証明を除けば、厳密な理論的証明のない混乱した問題である。」(軽蔑的な用法)

[28] 「これらの観測結果は、大きなEに対して失敗確率が非常に急速に減少するゴールドバッハ予想の統計的証明を示唆している」

[29] マムフォード、デイヴィッド・B. ;シリーズ、キャロライン;ライト、デイヴィッド(2002).インドラの真珠：フェリックス・クラインのヴィジョン.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-35253-6では、これらの写真をどう扱うべきか？ 2つの考えが浮かんだ。1つ目は、これらは通常の方法では出版できないということだ。定理はなく、非常に示唆に富む写真があるだけだった。これらの写真は多くの推測に対する説得力のある証拠を提供し、さらなる探求への誘いとなったが、定理は当時の世界では価値があり、当時の慣習では学術誌は定理のみを掲載することになっていた。

[30] 「フラクタルの歴史に関する注記」。2009年2月15日にオリジナルからアーカイブされました。IBM研究所で働いていたマンデルブロは、何かを証明したい場合、答えを事前に知っておくことが役立つかもしれないという妥当な仮定に基づいて、これらの集合のコンピュータシミュレーションを行いました。

[31] レスモア＝ゴードン、ナイジェル（2000）。フラクタル幾何学入門。アイコンブックス。ISBN 978-1-84046-123-7…このことは、ブノワ・マンデルブロに「視覚的な数学」が存在すること、つまり問題の視覚化が解決策を見つけるための有効な方法の一つであることを改めて認識させた。驚くべきことに、彼はこの推測を抱いていたのは自分一人だけだった。フランスの数学教育は、「ブルバキ」という偽名で活動する少数の独断的な数学者たちによって支配されていたのだ…。

[32] Herbst, Patricio G. (2002). "Establishing a Custom of Proving in American School Geometry: Evolution of the Two-Column Proof in the Early Twentieth Century" (PDF) . Educational Studies in Mathematics . 49 (3): 283– 312. doi : 10.1023/A:1020264906740 . hdl : 2027.42/42653 . S2CID 23084607 .

[33] フィッシャー・バーンズ博士。「二段証明入門」。onemathematicalcat.org 。 2009年10月15日取得。

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