全期待値の法則

確率論における全期待値の法則^{[ 1 ]}、反復期待値の法則[ ^{2 ] （} LIE ）、アダムの法則^{[ 3 ]}、タワールール[ ^{4 ]} 、条件付き期待値の平滑化特性[ ^{5 ]などと呼ば}れる命題は、もし${\displaystyle X}$は期待値が${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$定義され、${\displaystyle Y}$は、同じ確率空間上の任意の確率変数である。

$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]],}$$

すなわち、条件付き期待値の期待値${\displaystyle X}$与えられた${\displaystyle Y}$は期待値と同じである${\displaystyle X}$。

条件付き期待値${\displaystyle \operatorname {E} [X\mid Y]}$、 と${\displaystyle Y}$確率変数は、単純な数値ではなく、その値が の値に依存する確率変数です。${\displaystyle Y}$つまり、条件付き期待値は${\displaystyle X}$この出来事を考えると${\displaystyle Y=y}$は数値であり、それはの関数です${\displaystyle y}$.もし私たちが書くならば${\displaystyle g(y)}$値については${\displaystyle \operatorname {E} [X\mid Y=y]}$するとランダム変数${\displaystyle \operatorname {E} [X\mid Y]}$は${\displaystyle g(Y)}$。

特別なケースでは、${\displaystyle {\left\{A_{i}\right\}}}$が標本空間の有限または可算な分割である場合、

$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i}{\operatorname {E} [X\mid A_{i}]\Pr(A_{i})}.}$$

市場に電球を供給している工場は2つだけだとします。工場Xの電球は平均5000時間、工場Yの電球は平均4000時間使用できます。工場Xは市場に出回る電球全体の60%を供給していることが分かっています。購入した電球が使用できる平均時間Lはどれくらいでしょうか？

全期待値の法則を適用すると、次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [L]&=\operatorname {E} [L\mid X]\Pr(X)+\operatorname {E} [L\mid Y]\Pr(Y)\\[3pt]&=5000(0.6)+4000(0.4)\\[2pt]&=4600\end{aligned}}}$$

どこ

• ${\displaystyle \operatorname {E} [L]}$は電球の予想寿命です。
• ${\displaystyle \Pr(X)={\frac {6}{10}}}$購入した電球が工場で製造された確率は${\displaystyle X}$;
• ${\displaystyle \Pr(Y)={\frac {4}{10}}}$購入した電球が工場で製造された確率は${\displaystyle Y}$;
• ${\displaystyle \operatorname {E} [L\mid X]=5000}$は、製造元が製造する電球の期待寿命です。${\displaystyle X}$;
• ${\displaystyle \operatorname {E} [L\mid Y]=4000}$は、製造元が製造する電球の期待寿命です。${\displaystyle Y}$。

したがって、購入した電球1個あたりの期待寿命は4600時間です。

結合確率密度関数が適切に定義され、期待値が積分可能である場合、一般の場合について次のように記述します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=\int x\Pr[X=x]~dx\\\operatorname {E} [X\mid Y=y]&=\int x\Pr[X=x\mid Y=y]~dx\\\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]&=\int \left(\int x\Pr[X=x\mid Y=y]~dx\right)\Pr[Y=y]~dy\\&=\iint x\Pr[X=x,Y=y]\,dx\,dy\\&=\int x\left(\int \Pr[X=x,Y=y]\,dy\right)dx\\&=\int x\Pr[X=x]~dx\\&=\operatorname {E} [X]\,.\end{aligned}}}$$ 同様の導出は、積分ではなく総和を用いることで離散分布にも適用できます。分割の具体的なケースでは、分割の各セルに固有のラベルを与え、確率変数Yを、セル内の各点にセルのラベルを割り当てる標本空間の関数とします。

させて${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )}$2 つの部分σ 代数が存在する確率空間とする${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {F}}}$定義されています。確率変数の場合${\displaystyle X}$このような空間では、平滑化法則によれば、${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$定義されています、つまり ${\displaystyle \min(\オペレーター名 {E} [X_{+}],\オペレーター名 {E} [X_{-}])<\infty }$、 それから

$${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}]\quad {\text{(as)}}.}$$

証明。条件付き期待値はラドン・ニコディム微分であるため、次の2つの性質を検証することで平滑化法則が確立される。

• ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]{\mbox{ は }}{\mathcal {G}}_{1}}$測定可能
• ${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]\,d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} ,}$すべての人々のために${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}.}$

これらの性質のうち最初のものは、条件付き期待値の定義により成り立つ。2番目の性質を証明するには、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\min \left(\int _{G_{1}}X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{G_{1}}X_{-}\,d\operatorname {P} \right)&\leq \min \left(\int _{\Omega }X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{\Omega }X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]&=\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty ,\end{aligned}}}$$

したがって、積分は${\textstyle \int _{G_{1}}X\,d\オペレータ名 {P} }$定義されています（等しくない）${\displaystyle \infty -\infty }$)

したがって、2番目の性質は、 ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}}$暗示する $$\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]\,d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\,d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} .}$$

系。特別な場合、${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}}$そして${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}=\シグマ (Y)}$平滑化法則は以下のように簡略化される。 $${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}$$

代替証明${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}$

これは条件付き期待値の測度論的定義の単純な帰結である。定義によれば、${\displaystyle \operatorname {E} [X\mid Y]:=\operatorname {E} [X\mid \sigma (Y)]}$は${\displaystyle \sigma (Y)}$- 測定可能な確率変数で、 $${\displaystyle \int _{A}\operatorname {E} [X\mid Y]\,d\operatorname {P} =\int _{A}X\,d\operatorname {P} ,}$$ すべての測定可能な集合に対して${\displaystyle A\in \sigma (Y)}$. 取る${\displaystyle A=\Omega }$その主張を裏付ける。

• ポーカーの基本定理を、ある実用的な応用例に当てはめて説明する。
• 全確率の法則
• 全変動の法則
• 全共分散の法則
• 全積分の法則
• 積分布#期待値（積期待値が期待値の積であることを証明するための法則の適用）