フビニの定理

リーマン積分の場合、フビニの定理は、 x軸とy軸に沿った分割を細分化して、 [ x _i , x _{i +1} ] × [ y _j , y _{j +1} ]の形の結合分割を作成することによって証明されます。これはX × Y上の分割です。これを利用して、どちらの次数であっても二重積分がX × Y上の積分に等しいことが示されます。

X をルベーグ可測集合とルベーグ測度を持つ単位区間とし、Yをすべての部分集合が可測で計数測度を持つ単位区間とすると、Yは σ-有限ではない。f が X × Y の対角線の特性関数である場合、fをXに沿って積分するとY上で0 の関数が得られるが、f をYに沿って積分するとX上で1 の関数が得られる。したがって、2 つの反復積分は異なる。これは、どの積測度を選択しても、トネリの定理が σ-有限でない空間では失敗する可能性があることを示している。測度は両方とも分解可能であり、トネリの定理が分解可能な測度 (σ-有限測度よりもやや一般的) に対して失敗することを示す。

フビニの定理は、最大積測度を用いる限り、空間がσ有限​​であると仮定していなくても成り立つ。上記の例では、最大積測度の場合、対角線は無限の測度を持つため、| f |の二重積分は無限となり、フビニの定理は自明に成り立つ。

しかし、集合の測度がその水平断面のルベーグ測度の和となるような積測度をX × Yに与えると、 | f |の二重積分はゼロになるが、2つの反復積分は依然として異なる値をとる。これは、フビニの定理が成り立たない積測度の例である。

これは、2つの測度空間の同じ積に対して、2つの異なる積測度が存在する例を示しています。2つのσ有限測度空間の積の場合、積測度は1つしかありません。

Xを、可測集合が可算集合 (測度 0) または可算補集合 (測度 1) のいずれかである有限測度を持つ最初の非可算順序数とします。x < yのペア( x , y )で与えられるX × Xの(非可測) 部分集合Eは、すべての水平線上で可算であり、すべての垂直線上で可算補集合を持ちます。f が E の特性関数である場合、fの2つの反復積分が定義され、異なる値 1 と 0 を持ちます。関数fは可測ではありません。これは、トネリの定理が非可測関数に対しては成り立たないことを示しています。

上記の例の変形は、| f |が積分可能で、両方の重積分が適切に定義されている場合でも、非可測関数に対してフビニの定理が成り立たない可能性があることを示しています。fをE上で1 、 Eの補集合上で-1とすると、| f |は積分1との積上で積分可能であり、両方の重積分は適切に定義されますが、値は1と-1と異なります。

ヴァツワフ・シェルピンスキは、連続体仮説を仮定すると、 X を単位区間Iと同一視できるため、 I × I上に有界な非負関数が存在し、その 2 つの反復積分 (ルベーグ測度を使用) は両方とも定義されるが等しくないことを示した。^{[ 8 ]}ルベーグ測度を持つ 2 つの単位区間の積に関するフビニの定理のより強いバージョンでは、関数はもはや可測であるとは仮定されず、単に 2 つの反復積分が適切に定義され存在すると仮定されるだけであり、選択公理 (ZFC) を持つ集合論の標準的なツェルメロ・フレンケル公理​​とは独立している。連続体仮説とマーティンの公理はどちらも、単位正方形上に反復積分が等しくない関数が存在することを示唆しているが、ハーヴェイ・フリードマンは、 [ 0, 1 ]に対して強いフビニ型の定理が成り立つことはZFCと矛盾しないことを示し、2 つの反復積分が存在する場合は、それらは等しいことを示した。^{[ 9 ]}

フビニの定理によれば、（σ有限測度空間の積上の可測関数について）絶対値の積分が有限であれば、積分の順序は関係ありません。つまり、最初にxについて積分し、次にyについて積分しても、最初にyについて積分し、次にxについて積分した場合と同じ結果が得られます。絶対値の積分が有限であるという仮定は「ルベーグ積分可能性」であり、これがないと、2回の繰り返し積分は異なる値をとる可能性があります。

繰り返し積分が一般に異なる値をとることを示す簡単な例として、2 つの測度空間を正の整数とし、関数f ( x , y )をx = yの場合は1、x = y + 1の場合は-1、それ以外の場合は0とします。すると、2 つの繰り返し積分は0と1 という異なる値をとります。

関数の別の例は次のとおりです。 $${\displaystyle {\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\,\partial y}}\arctan(y/x).}$$

反復積分$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{1}\left(\int _{y=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} y\right)\,\mathrm {d} x&={\frac {\pi }$$異なる値を持つ。対応する二重積分は絶対収束 しない（つまり、絶対値の積分は有限ではない）。 $${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right|\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\infty .}$$

下限がゼロで上限が共通である2つの積分の積については、次の公式が成り立ちます。

V ( x )とW ( x )は、それぞれ原点を通る 関数v ( x )とw ( x )の原始関数とする。$${\displaystyle \int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x=V(u),\quad \quad \int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x=W(u).}$$

したがって、私たちは $${\displaystyle \left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=V(u)W(u)}$$

積の法則により、右辺の導関数は次のようになる。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[V(x)W(x)\right]=V(x)w(x)+v(x)W(x)}$$

そして統合すると次のようになります。 $${\displaystyle \int _{0}^{u}V(x)w(x)+v(x)W(x)\,\mathrm {d} x=V(u)W(u)}$$

したがって、冒頭の式から次の式が得られます。 $${\displaystyle \left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{u}V(x)w(x)+v(x)W(x)\,\mathrm {d} x}$$

ここで、原始関数V ( x )とW ( x )を記述するための第 2 の積分パラメータyを導入します。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,\mathrm {d} y&=\left[V(xy)\right]_{y=0}^{y=1}&&=V(x)\\\int _{0}^{1}x\,w(xy)\,\mathrm {d} y&=\left[W(xy)\right]_{y=0}^{y=1}&&=W(x)\end{alignedat}}}$$

挿入すると、二重積分が現れる。 $${\displaystyle \left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{u}\left[\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,\mathrm {d} y\right]w(x)+v(x)\left[\int _{0}^{1}x\,w(xy)\,\mathrm {d} y\right]\,\mathrm {d} x}$$

対象となる積分パラメータとは異なる関数は、因子として内部関数にインポートできます。 $${\displaystyle \left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{u}\left[\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,w(x)\,\mathrm {d} y\right]+\left[\int _{0}^{1}x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} y\right]\,\mathrm {d} x}$$

次のステップでは、積分に 和の法則を適用します。$${\displaystyle \left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{u}\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}$$

そして最後に、フビニの定理を使います $${\displaystyle \left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{1}\int _{0}^{u}x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$$

逆正弦積分の値は、フビニの定理を用いて積分順序を入れ替えることで求めることができる。被積分関数を展開し、積分変数を入れ替えることで、基本的な原始関数を求めることができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Si} _{2}(1)&=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\pi \,y}{2{\sqrt {1-y^{2}}}(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,)}}\,\mathrm {d} y\\&=\left\{{\frac {\pi }{2}}\ln \left[2\left(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,\right)^{-1}\right]\right\}_{y=0}^{y=1}={\frac {\pi }{2}}\ln(2)\end{aligned}}}$$

ディリクレ級数は、ディリクレη関数を次のように定義する。 $${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {1}{6^{s}}}\pm \cdots }$$

価値${\displaystyle \eta (2)={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$フビニの定理を用いて証明できる。絶対収束の条件は、和と積分を交換するために必要であり、以下の理由により満たされる。${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}\left|{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n-1}\right|\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}<\infty }$評価は以下の手順で進められます。 $${\displaystyle \eta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\ln(x+1)}{x}}\,\mathrm {d} x}$$

逆関数と自然対数の積の積分は多重対数積分です。フビニの定理を用いると、被積分関数を有理分数の組み合わせに変換することで、この積分を計算できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{1}{\frac {\ln(x+1)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}=\int _{0}^{1}{\frac {2\arccos(y)}{3{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y=\left[{\frac {\pi ^{2}}{12}}-{\frac {1}{3}}\arccos(y)^{2}\right]_{y=0}^{y=1}\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}={\frac {\pi ^{2}}{12}}\end{aligned}}}$$

この積分の計算方法はジェームズ・ハーパーによって発見された。^{[ 10 ]}

第一種完全楕円積分の広義積分、${\displaystyle K(x)}$、カタラン定数の2倍に評価される、${\displaystyle C}$これは、フビニの定理を用いて、この式を逆正接積分と関連付けることで示すことができる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}K(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(y)}{y{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y\\&=\left\{2\,\mathrm {Ti} _{2}\left[y\left(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,\right)^{-1}\right]\right\}_{y=0}^{y=1}\\&=2\,\mathrm {Ti} _{2}(1)=2\beta (2)=2\,C\end{aligned}}}$$

同じ手順は、第 2 種の完全楕円積分にも適用されます。${\displaystyle E(x)}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}E(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}\left[{\frac {\arcsin(y)}{2y{\sqrt {1-y^{2}}}}}+{\frac {1}{2}}\right]\,\mathrm {d} y\\&=\left\{\mathrm {Ti} _{2}\left[y\left(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,\right)^{-1}\right]+{\frac {1}{2}}y\right\}_{y=0}^{y=1}\\&=\mathrm {Ti} _{2}(1)+{\frac {1}{2}}=\beta (2)+{\frac {1}{2}}=C+{\frac {1}{2}}\end{aligned}}}$$

オイラー・マスケローニ定数、${\displaystyle \gamma }$は、負の自然対数と指数関数的減衰関数の積の、ゼロから無限大までの広義積分として現れる。また、関連する差分の広義積分としても表すことができる。 $${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{\infty }{\frac {-\ln(x)}{\exp(x)}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}\left[{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x)\right]\,\mathrm {d} x}$$

これら2つの積分の等価性は、フビニの定理を2回実行し、両方を相補指数積分関数に関連付けることで示すことができる。 $${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)=\exp(-x)\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y+1}}\,\mathrm {d} y}$$

相補積分指数関数の導関数は次のとおりです。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {E} _{1}(x)=-{\frac {1}{x}}\exp(-x)}$$

フビニの定理を最初の積分形式に適用すると、次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{\infty }-\exp(-y)\ln(y)\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y)\left({\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y)\left({\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}\right)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\infty }\left[\exp(x)\,\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}\right]\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$$

フビニの定理を中間積分に適用すると、次の式と結びつく。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{\infty }\left[\exp(x)\,\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}\right]\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-xz)\left[{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z)\right]\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-xz)\left[{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z)\right]\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} z\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{z}}\left[{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z)\right]\,\mathrm {d} z\end{aligned}}}$$

積分の二乗に関する恒等式を用いると、次のようになる。 $${\displaystyle \left[\int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x\right]^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\,f(x)\,f(xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$$

正規分布の積分は次のように評価できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x\right]^{2}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\exp(-x^{2})\exp(-x^{2}y^{2})\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\exp \left[-x^{2}(y^{2}+1)\right]\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}\left\{-{\frac {1}{y^{2}+1}}\exp \left[-x^{2}(y^{2}+1)\right]\right\}_{x=0}^{x=\infty }\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y\\&=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}}$$

平方根を取ると次のようになります。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$$

有限範囲における積分の二乗に同様の公式を用いると次のようになる。 $${\displaystyle \left[\int _{0}^{1}g(x)\,\mathrm {d} x\right]^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}2x\,g(x)\,g(xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$$

これはバーゼル問題にも適用できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi ^{2}}{4}}&=\left(\arcsin(1)\right)^{2}=\left[\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x\right]^{2}\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {2x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-x^{2}y^{2})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}\left[{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} (y)-{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} \left({\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}\right)\right]_{x=0}^{x=1}\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} (y)\,\mathrm {d} y\\&=\left[2\,\mathrm {Li} _{2}(y)-{\frac {1}{2}}\,\mathrm {Li} _{2}(y^{2})\right]_{y=0}^{y=1}\\&={\frac {3}{2}}\,\mathrm {Li} _{2}(1)\end{aligned}}}$$

1の 対数については、次のようになります。$${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(1)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

一般化された積の公式を用いると： $${\displaystyle \left[\int _{0}^{1}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{1}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left(x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$$

以下の積分は、第一種および第二種の 不完全楕円積分を原始関数として用いることで計算できる。$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x&=\left\{-{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,F\left[\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right]\right\}_{x=0}^{x=1}\\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)\\\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x&=\left\{{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,F\left[\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right]-{\sqrt {2}}\,E\left[\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right]\right\}_{x=0}^{x=1}\\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\left[2\,E\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)-K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)\right]\end{aligned}}}$$

これら2つの積分を積の公式に代入すると、次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}=\int _{0}^{1}\left\{{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}\left[\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)-\operatorname {artanh} \left({\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right)\right]\right\}_{x=0}^{x=1}\,\mathrm {d} y\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}\,\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\,\mathrm {d} y\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}=\left[\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2\,y}}\,\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\right]_{y=0}^{y=1}\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}}$$

ルジャンドル関係のレムニスカト特殊ケースでは、次の式が得られます。 $${\displaystyle K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)\left[2\,E\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)-K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)\right]={\frac {\pi }{2}}}$$