無限級数の収束モード
数学 では 、 無限数 の級数は、 被加数の 絶対値 の和が有限である場合に 絶対収束する（または 絶対収束 する）と言われます。より正確には、 実数 または 複素数 級数は 、ある実数 に対して で ある場合に 絶対収束する と言われます。 同様に、 関数 の仮 積分は 、 被積分関数の絶対値の積分が有限である場合、つまり である場合に絶対収束すると言われます。 絶対収束しない収束級数は 条件付き収束 であると 呼ばれます。
∑
ん = 0
∞
1つの
ん
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
∑
ん = 0
∞
|
1つの
ん
|
= ら
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L}
ら 。
{\displaystyle \textstyle L.}
∫
0
∞
ふ （ x ） d x 、
{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx,}
∫
0
∞
|
ふ （ x ）
|
d x = ら 。
{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|dx=L.}
絶対収束は無限級数の研究にとって重要です。なぜなら、その定義により、すべての収束級数が備えているわけではない有限和の「優れた」動作が級数に備わっていることが保証されるからです。たとえば、並べ替えによって和の値は変わりませんが、これは条件付き収束級数では必ずしも当てはまりません。
背景 有限個の項を加算する場合、 加算は 結合法則 と 可換法則 の両方を満たします 。つまり、グループ化や並べ替えによって最終的な合計が変わることはありません。たとえば、は と の 両方に等しくなります 。ただし、結合法則と可換法則は、無限の和に対して必ずしも成立するわけではありません。一例として、 交代調和級数があります。
（ 1 + 2 ） + 3
{\displaystyle (1+2)+3}
1 + （ 2 + 3 ）
{\displaystyle 1+(2+3)}
（ 3 + 2 ） + 1
{\displaystyle (3+2)+1}
S =
∑
ん = 1
∞
（ − 1
）
ん + 1
ん
= 1 −
1 2
+
1 3
−
1 4
+
1 5
−
1 6
+ ⋯
{\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots }
ここで、各項は符号が交互に変わる分数です。この級数は 収束し 、関数 の マクローリン級数を 使用して評価できます。マクローリン級数 は、 を 満たすすべての場合に収束します 。
行 （ 1 + x ）
{\displaystyle \ln(1+x)}
x
{\displaystyle x}
− 1 < x ≤ 1
{\displaystyle -1<x\leq 1}
行 （ 1 + x ） =
∑
ん = 1
∞
（ − 1
）
ん + 1
x
ん
ん
= x −
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+ ⋯
{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }
を代入すると 、元の合計が に等しいことがわかります 。合計は次のように並べ替えることもできます。
x = 1
{\displaystyle x=1}
行 2
{\displaystyle \ln 2}
S =
（
1 −
1 2
）
−
1 4
+
（
1 3
−
1 6
）
−
1 8
+
（
1 5
−
1 10
）
−
1 12
+ ⋯
{\displaystyle S=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots }
この並べ替えでは、 各 奇数の 逆数 はその値の2倍の逆数とグループ化され、4の倍数の逆数は別々に評価されます。ただし、括弧内の項を評価すると、次のようになります。
S =
1 2
−
1 4
+
1 6
−
1 8
+
1 10
−
1 12
+ ⋯
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots }
または元の級数の半分になります。加法の結合法則と可換法則が破れていることから、交代調和級数は 条件付きで 収束することがわかります。実際、各項の絶対値の和は 、つまり発散 調和級数です。 リーマン級数定理 によれば 、条件付き収束級数は、その和が任意の有限実数になるように、または発散するように並べ替えることができます。絶対収束級数を並べ替えると、その和は常に保存されます。
1 +
1 2
+
1 3
+
1 4
+ ⋯
{\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }
実数と複素数の定義 実数または複素数の和は、 各項の絶対値の合計 が収束する 場合、絶対収束します。
∑
ん = 0
∞
1つの
ん
{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
∑
ん = 0
∞
|
1つの
ん
|
{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}
より一般的な要素の和 同じ定義は、項が 数ではなく任意の アーベル位相群 の要素である級数にも使用できます 。その場合、 絶対値 を使用する代わりに、定義では群が ノルム を持つことを要求します。ノルム は、アーベル群 ( 加法的に と 表記され、単位元は 0) 上の正の実数値関数で、 次のようになります。
∑
ん = 0
∞
1つの
ん
{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
1つの
ん
{\displaystyle a_{n}}
‖ ⋅ ‖ : グ →
R
+
{\textstyle \|\cdot \|:G\to \mathbb {R} _{+}}
グ
{\displaystyle G}
の単位元のノルムは ゼロです。
グ
{\displaystyle G}
‖ 0 ‖ = 0.
{\displaystyle \|0\|=0.}
それぞれ は
x ∈ グ 、
{\displaystyle x\in G,}
‖ x ‖ = 0
{\displaystyle \|x\|=0}
x = 0.
{\displaystyle x=0.}
すべての
x ∈ グ 、
{\displaystyle x\in G,}
‖ − x ‖ = ‖ x ‖ 。
{\displaystyle \|-x\|=\|x\|.}
すべての
x 、 ええ ∈ グ 、
{\displaystyle x,y\in G,}
‖ x + ええ ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ ええ ‖ 。
{\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}
この場合、関数は 距離空間（ 位相 の一種） の構造を誘導します 。
d （ x 、 ええ ） = ‖ x − ええ ‖
{\displaystyle d(x,y)=\|xy\|}
グ 。
{\displaystyle G.}
そして、 値級数が絶対収束するとは、
グ
{\displaystyle G}
∑
ん = 0
∞
‖
1つの
ん
‖ < ∞ 。
{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .}
特に、これらのステートメントは、 実数または複素数の空間における
ノルム ( 絶対値) を使用して適用されます。
|
x
|
{\displaystyle |x|}
位相ベクトル空間では が 位相ベクトル空間 （TVS） であり、が （おそらく 無数な ）族である 場合 、この族は [
バツ
{\displaystyle X}
（
x
α
）
α ∈ あ
{\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}
バツ
{\displaystyle X}
（
x
α
）
α ∈ あ
{\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}
は で 合計可能 （ つまり、 ネット の極限が で 収束する場合、 は 包含 とによって導かれる のすべての有限部分 集合の有向集合 である ） 、かつ
バツ
{\displaystyle X}
リム
H ∈
ふ
（ あ ）
x
H
{\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}
（
x
H
）
H ∈
ふ
（ あ ）
{\displaystyle \left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}}
バツ 、
{\displaystyle X,}
ふ
（ あ ）
{\displaystyle {\mathcal {F}}(A)}
あ
{\displaystyle A}
⊆
{\displaystyle \subseteq }
x
H
:=
∑
私 ∈ H
x
私
{\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}}
族 上の 連続 半ノルム はすべて
p
{\displaystyle p}
バツ 、
{\displaystyle X,}
（
p
（
x
α
）
）
α ∈ あ
{\textstyle \left(p\left(x_{\alpha }\right)\right)_{\alpha \in A}}
R
.
{\displaystyle \mathbb {R} .}
が正規化可能な空間で あり、が における絶対的に和分可能な族である場合 、 の可算な集合を除くすべての は必然的に 0 になります。
X
{\displaystyle X}
(
x
α
)
α
∈
A
{\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}
X
,
{\displaystyle X,}
x
α
{\displaystyle x_{\alpha }}
絶対的に加算可能な族は、核空間 の理論において重要な役割を果たします 。
収束との関係 が計量に関して 完全で ある 場合 、すべての絶対収束する級数は収束します。証明は複素数値級数の場合と同じです。完全性を使用して収束のコーシー基準を導きます。級数は、ノルムの両端を任意に小さくできる場合にのみ収束します。次に、三角不等式を適用します。
G
{\displaystyle G}
d
,
{\displaystyle d,}
特に、任意の バナッハ空間 に値を持つ級数の場合、絶対収束は収束を意味します。逆もまた真です。つまり、絶対収束がノルム空間での収束を意味する場合、その空間はバナッハ空間です。
ある級数が収束するが絶対収束しない場合、その級数は 条件収束すると 呼ばれます。条件収束する級数の例としては、 交代調和級数 があります。発散と収束の標準的なテストの多くは、 比テスト や 根テストなど、絶対収束を証明しています。これは、 べき級数が 収束円板の内部で絶対収束する ためです。 [a]
絶対収束する複素数列は収束することの証明 が収束すると仮定します 。同様に、 が 収束するため、 非負の項を項ごとに比較すると 、 とが収束することになります。これらの級数の収束は の収束を意味し 、 については が収束することを示すだけで十分です。この場合、複素数値級数の収束の定義により、 の収束が 導かれます。
∑
|
a
k
|
,
a
k
∈
C
{\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {C} }
∑
[
Re
(
a
k
)
2
+
Im
(
a
k
)
2
]
1
/
2
{\textstyle \sum \left[\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)^{2}+\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)^{2}\right]^{1/2}}
∑
|
Re
(
a
k
)
|
{\textstyle \sum \left|\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)\right|}
∑
|
Im
(
a
k
)
|
{\textstyle \sum \left|\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)\right|}
∑
Re
(
a
k
)
{\textstyle \sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)}
∑
Im
(
a
k
)
,
{\textstyle \sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right),}
∑
a
k
=
∑
Re
(
a
k
)
+
i
∑
Im
(
a
k
)
{\textstyle \sum a_{k}=\sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)+i\sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right)}
これまでの議論から、の収束はの 収束を意味することを証明するだけでよいことがわかる。
∑
|
a
k
|
,
a
k
∈
R
{\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }
∑
a
k
.
{\textstyle \sum a_{k}.}
が収束するとします 。 が収束するので
、 は
部分和の 有界 単調 数列 であり 、 も収束する必要があります。が 収束級数の違いであることに注目すると、これもまた、期待どおりに収束級数であると結論付けられます。
∑
|
a
k
|
,
a
k
∈
R
{\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }
0
≤
a
k
+
|
a
k
|
≤
2
|
a
k
|
,
{\displaystyle 0\leq a_{k}+\left|a_{k}\right|\leq 2\left|a_{k}\right|,}
0
≤
∑
k
=
1
n
(
a
k
+
|
a
k
|
)
≤
∑
k
=
1
n
2
|
a
k
|
.
{\displaystyle 0\leq \sum _{k=1}^{n}(a_{k}+\left|a_{k}\right|)\leq \sum _{k=1}^{n}2\left|a_{k}\right|.}
∑
2
|
a
k
|
{\textstyle \sum 2\left|a_{k}\right|}
s
n
=
∑
k
=
1
n
(
a
k
+
|
a
k
|
)
{\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}
∑
(
a
k
+
|
a
k
|
)
{\textstyle \sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}
∑
a
k
=
∑
(
a
k
+
|
a
k
|
)
−
∑
|
a
k
|
{\textstyle \sum a_{k}=\sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)-\sum \left|a_{k}\right|}
コーシー基準と三角不等式を用いた代替証明 複素数級数の収束に関するコーシー判定基準を適用することで、この事実を 三角不等式 の単純な帰結として証明することもできます。 [2] コーシー判定基準 により 、が収束 するのは、任意の に対して が存在する場合のみであり、 任意の に対して が 存在する場合に限ります 。しかし、三角不等式は を意味するので、任意の に対して が存在する ことになります。 これは、まさに に対するコーシー判定基準です 。
∑
|
a
i
|
{\textstyle \sum |a_{i}|}
ε
>
0
,
{\displaystyle \varepsilon >0,}
N
{\displaystyle N}
|
∑
i
=
m
n
|
a
i
|
|
=
∑
i
=
m
n
|
a
i
|
<
ε
{\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}\left|a_{i}\right|\right|=\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|<\varepsilon }
n
>
m
≥
N
.
{\displaystyle n>m\geq N.}
|
∑
i
=
m
n
a
i
|
≤
∑
i
=
m
n
|
a
i
|
,
{\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}\leq \sum _{i=m}^{n}|a_{i}|,}
|
∑
i
=
m
n
a
i
|
<
ε
{\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}a_{i}\right|<\varepsilon }
n
>
m
≥
N
,
{\displaystyle n>m\geq N,}
∑
a
i
.
{\textstyle \sum a_{i}.}
バナッハ空間における絶対収束する級数は収束することの証明 上記の結果は、あらゆる バナッハ空間 に簡単に一般化できます。 が絶対収束する級数である とします。 が実数の コーシー列 である 場合、任意 の十分大きな 自然数 に対して、次の式が成り立ちます。
(
X
,
‖
⋅
‖
)
.
{\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|).}
∑
x
n
{\textstyle \sum x_{n}}
X
.
{\displaystyle X.}
∑
k
=
1
n
‖
x
k
‖
{\textstyle \sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
m
>
n
{\displaystyle m>n}
|
∑
k
=
1
m
‖
x
k
‖
−
∑
k
=
1
n
‖
x
k
‖
|
=
∑
k
=
n
+
1
m
‖
x
k
‖
<
ε
.
{\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{m}\|x_{k}\|-\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|\right|=\sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon .}
Γ⋅Γ ノルムの三角不等式により 、次式が直ちに得られる。
これは、 が におけるコーシー列であることを意味し 、したがって、級数は [3]において収束する。
‖
∑
k
=
1
m
x
k
−
∑
k
=
1
n
x
k
‖
=
‖
∑
k
=
n
+
1
m
x
k
‖
≤
∑
k
=
n
+
1
m
‖
x
k
‖
<
ε
,
{\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}-\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon ,}
∑
k
=
1
n
x
k
{\textstyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}}
X
,
{\displaystyle X,}
X
.
{\displaystyle X.}
再配置と無条件収束
実数と複素数 実数または複素数の級数が絶対収束する場合、その級数の項を並べ替えたり順序を変えたりしても、同じ値に収束します。この事実は、絶対収束級数が便利な理由の 1 つです。級数が絶対収束することを示すことで、合計の値を変えずに、項を便利な方法でペアにしたり並べ替えたりすることができます。
リーマン の並べ替え定理は、 逆もまた真であることを示しています。つまり、項を並べ替えて異なる値にすることができない実数値または複素数値の級数はすべて絶対収束します。
より一般的な空間における係数を持つ級数 無条件収束 という用語は、 その項をどのように並べ替えても同じ値に収束する数列を指すために使用されます。ノルムアーベル群の値を持つ任意の数列について 、が完全である限り 、絶対収束するすべての数列は無条件収束もします。
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
より正式に述べると:
より一般的な係数を持つ級数の場合、逆はより複雑になります。前のセクションで述べたように、実数値および複素数値の級数の場合、無条件収束は常に絶対収束を意味します。ただし、任意のノルムアーベル群の値を持つより一般的な級数の場合 、逆は常に成立するとは限りません。絶対収束しないが無条件収束する級数が存在する可能性があります。
G
{\displaystyle G}
たとえば、 バナッハ空間 ℓ ∞ において、無条件収束するが絶対収束しない級数が 1 つあります。
∑
n
=
1
∞
1
n
e
n
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{n}}e_{n},}
ここで は正規直交基底である。A . Dvoretzky と C. A. Rogers の定理 によれば、すべての無限次元バナッハ空間には絶対収束しない無条件収束級数が存在する。 [4]
{
e
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
定理の証明 任意のに対して、次のような ものを選択できます 。
ε
>
0
,
{\displaystyle \varepsilon >0,}
κ
ε
,
λ
ε
∈
N
,
{\displaystyle \kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,}
for all
N
>
κ
ε
∑
n
=
N
∞
‖
a
n
‖
<
ε
2
for all
N
>
λ
ε
‖
∑
n
=
1
N
a
n
−
A
‖
<
ε
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ for all }}N>\kappa _{\varepsilon }&\quad \sum _{n=N}^{\infty }\|a_{n}\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\\{\text{ for all }}N>\lambda _{\varepsilon }&\quad \left\|\sum _{n=1}^{N}a_{n}-A\right\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}
を 、リストに すべての項 （および場合によっては他の項）
が含まれる最小の自然数 とし ます
。
N
ε
=
max
{
κ
ε
,
λ
ε
}
M
σ
,
ε
=
max
{
σ
−
1
(
{
1
,
…
,
N
ε
}
)
}
{\displaystyle {\begin{aligned}N_{\varepsilon }&=\max \left\{\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\right\}\\M_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\right\}\end{aligned}}}
σ
−
1
(
{
1
,
…
,
N
ε
}
)
=
{
σ
−
1
(
1
)
,
…
,
σ
−
1
(
N
ε
)
}
{\displaystyle \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)=\left\{\sigma ^{-1}(1),\ldots ,\sigma ^{-1}\left(N_{\varepsilon }\right)\right\}}
M
σ
,
ε
{\displaystyle M_{\sigma ,\varepsilon }}
a
σ
(
1
)
,
…
,
a
σ
(
M
σ
,
ε
)
{\displaystyle a_{\sigma (1)},\ldots ,a_{\sigma \left(M_{\sigma ,\varepsilon }\right)}}
a
1
,
…
,
a
N
ε
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{N_{\varepsilon }}}
最後に任意の整数 に対して、
となる
と 仮定
し、
N
>
M
σ
,
ε
{\displaystyle N>M_{\sigma ,\varepsilon }}
I
σ
,
ε
=
{
1
,
…
,
N
}
∖
σ
−
1
(
{
1
,
…
,
N
ε
}
)
S
σ
,
ε
=
min
σ
(
I
σ
,
ε
)
=
min
{
σ
(
k
)
:
k
∈
I
σ
,
ε
}
L
σ
,
ε
=
max
σ
(
I
σ
,
ε
)
=
max
{
σ
(
k
)
:
k
∈
I
σ
,
ε
}
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\sigma ,\varepsilon }&=\left\{1,\ldots ,N\right\}\setminus \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\\S_{\sigma ,\varepsilon }&=\min \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\min \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\L_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\max \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\\end{aligned}}}
‖
∑
i
∈
I
σ
,
ε
a
σ
(
i
)
‖
≤
∑
i
∈
I
σ
,
ε
‖
a
σ
(
i
)
‖
≤
∑
j
=
S
σ
,
ε
L
σ
,
ε
‖
a
j
‖
since
I
σ
,
ε
⊆
{
S
σ
,
ε
,
S
σ
,
ε
+
1
,
…
,
L
σ
,
ε
}
≤
∑
j
=
N
ε
+
1
∞
‖
a
j
‖
since
S
σ
,
ε
≥
N
ε
+
1
<
ε
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|&\leq \sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \sum _{j=S_{\sigma ,\varepsilon }}^{L_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}I_{\sigma ,\varepsilon }\subseteq \left\{S_{\sigma ,\varepsilon },S_{\sigma ,\varepsilon }+1,\ldots ,L_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\&\leq \sum _{j=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}S_{\sigma ,\varepsilon }\geq N_{\varepsilon }+1\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}
‖
∑
i
=
1
N
a
σ
(
i
)
−
A
‖
=
‖
∑
i
∈
σ
−
1
(
{
1
,
…
,
N
ε
}
)
a
σ
(
i
)
−
A
+
∑
i
∈
I
σ
,
ε
a
σ
(
i
)
‖
≤
‖
∑
j
=
1
N
ε
a
j
−
A
‖
+
‖
∑
i
∈
I
σ
,
ε
a
σ
(
i
)
‖
<
‖
∑
j
=
1
N
ε
a
j
−
A
‖
+
ε
2
<
ε
{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|&=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&<\left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}}
これは
次のことを示しています:
for all
ε
>
0
,
there exists
M
σ
,
ε
,
for all
N
>
M
σ
,
ε
‖
∑
i
=
1
N
a
σ
(
i
)
−
A
‖
<
ε
,
{\displaystyle {\text{ for all }}\varepsilon >0,{\text{ there exists }}M_{\sigma ,\varepsilon },{\text{ for all }}N>M_{\sigma ,\varepsilon }\quad \left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|<\varepsilon ,}
∑
i
=
1
∞
a
σ
(
i
)
=
A
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.}
QED
シリーズ製品 2つの級数のコーシー 積は 、級数の少なくとも1つが絶対収束する場合、その和の積に収束します。つまり、
∑
n
=
0
∞
a
n
=
A
and
∑
n
=
0
∞
b
n
=
B
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\quad {\text{ and }}\quad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B.}
コーシー積は、次の項の合計として定義されます 。
c
n
{\displaystyle c_{n}}
c
n
=
∑
k
=
0
n
a
k
b
n
−
k
.
{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}
または和 の いずれかが 絶対収束する
場合、
a
n
{\displaystyle a_{n}}
b
n
{\displaystyle b_{n}}
∑
n
=
0
∞
c
n
=
A
B
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=AB.}
集合上の絶対収束 級数の絶対収束の一般化は、関数の集合に対する和の絶対収束である。まず可算集合 と関数を考えてみよう。以下では、 次の ように書かれた 関数の和の定義を与える。
X
{\displaystyle X}
f
:
X
→
R
.
{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} .}
f
{\displaystyle f}
X
,
{\displaystyle X,}
∑
x
∈
X
f
(
x
)
.
{\textstyle \sum _{x\in X}f(x).}
まず、 の特定の列挙 (または「インデックス」) が まだ指定されていないため、この数列は、より基本的な数列の定義では理解できないことに注意してください。実際、 およびの特定の例では、 上の の合計はまったく定義されない場合があります。 これは、 インデックスによっては条件付きで収束する数列が生成される可能性があるためです。
X
{\displaystyle X}
∑
x
∈
X
f
(
x
)
{\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}
X
{\displaystyle X}
f
,
{\displaystyle f,}
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
したがって、絶対収束するような 一対一表現が存在する場合にのみ を定義する。ここで「絶対収束」とは、指数級数に適用されたより基本的な定義を使用していることに注意する。この場合、 [5] の の和 の 値は 次のように定義される。
∑
x
∈
X
f
(
x
)
{\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}
g
:
Z
+
→
X
{\displaystyle g:\mathbb {Z} ^{+}\to X}
∑
n
=
1
∞
f
(
g
(
n
)
)
{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
∑
x
∈
X
f
(
x
)
:=
∑
n
=
1
∞
f
(
g
(
n
)
)
{\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}
この級数は絶対収束するので、すべての並べ替えは異なる一対一の選択と同一であることに注意してください。 これらの合計はすべて同じ値を持つので、 の合計は 明確 に定義されます。
g
.
{\displaystyle g.}
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
さらに一般的には、が非可算な 場合のの 和を定義できます 。しかし、まずは和が収束するとはどういうことかを定義します。
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
を任意 の可算または不可算の集合と 関数とし ます。 の和 が絶対収束する とは、
X
{\displaystyle X}
f
:
X
→
R
{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
sup
{
∑
x
∈
A
|
f
(
x
)
|
:
A
⊆
X
,
A
is finite
}
<
∞
.
{\displaystyle \sup \left\{\sum _{x\in A}|f(x)|:A\subseteq X,A{\text{ is finite }}\right\}<\infty .}
の和 が絶対収束する場合、 最大で可算な集合上で はゼロ以外の値を取るという 定理があります。したがって、 和が絶対収束する場合の
の 和の一貫した定義は次のとおりです。
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
∑
x
∈
X
f
(
x
)
:=
∑
x
∈
X
:
f
(
x
)
≠
0
f
(
x
)
.
{\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{x\in X:f(x)\neq 0}f(x).}
最後の級数は可算集合上の級数の定義を使用することに注意してください。
ある著者は、反復級数が である場合に 反復和が絶対収束すると定義しています [6] これは実際には の絶対収束と同等です 。つまり、 の和が 上 で定義されているように絶対収束する場合、反復和は 絶対収束し、その逆も同様です。
∑
m
=
1
∞
∑
n
=
1
∞
a
m
,
n
{\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}
∑
m
=
1
∞
∑
n
=
1
∞
|
a
m
,
n
|
<
∞
.
{\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }|a_{m,n}|<\infty .}
∑
(
m
,
n
)
∈
N
×
N
a
m
,
n
.
{\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}.}
f
{\displaystyle f}
X
,
{\displaystyle X,}
∑
(
m
,
n
)
∈
N
×
N
a
m
,
n
,
{\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n},}
∑
m
=
1
∞
∑
n
=
1
∞
a
m
,
n
{\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}
積分の絶対収束 実数値関数または複素数値関数の積分は、絶対収束するとは、絶対積分可能であるとも言える場合です 。 絶対 積分 可能 性 の 問題 は複雑で、 リーマン積分 、 ルベーグ積分 、または クルツワイル-ヘンストック (ゲージ) 積分のどれを考慮するかによって決まります。リーマン積分の場合、積分可能性をその適切な意味 ( および 両方とも 有界 ) でのみ考慮するか、より一般的な不適正積分の場合を許容するかによっても決まります。
∫
A
f
(
x
)
d
x
{\textstyle \int _{A}f(x)\,dx}
∫
A
|
f
(
x
)
|
d
x
<
∞
.
{\textstyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
A
{\displaystyle A}
リーマン積分の標準的な性質として、 が有界 区間 のとき、すべての 連続関数は 有界かつ（リーマン）積分可能であり、 連続は 連続を意味するので、すべての連続関数は絶対積分可能である。実際、 が（適切に）積分可能で が連続である 場合、 は 上でリーマン積分可能であるので、 が である 場合、 は適切にリーマン積分可能である ことが従う 。しかし、この含意は不適正積分の場合には当てはまらない。たとえば、 関数は その非有界領域上で不適正リーマン積分可能であるが、絶対積分可能ではない。
実際、より一般的には、任意の級数が与えられたとき、 によって定義される関連する ステップ関数 を考えることができる。 すると、 は の対応する動作に従って絶対収束するか、条件付き収束するか、発散する。
A
=
[
a
,
b
]
{\displaystyle A=[a,b]}
f
{\displaystyle f}
|
f
|
{\displaystyle |f|}
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
|
f
|
=
|
⋅
|
∘
f
{\displaystyle |f|=|\cdot |\circ f}
f
{\displaystyle f}
f
:
[
1
,
∞
)
→
R
:
x
↦
sin
x
x
{\textstyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}}
∫
1
∞
sin
x
x
d
x
=
1
2
[
π
−
2
S
i
(
1
)
]
≈
0.62
,
but
∫
1
∞
|
sin
x
x
|
d
x
=
∞
.
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl [}\pi -2\,\mathrm {Si} (1){\bigr ]}\approx 0.62,{\text{ but }}\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx=\infty .}
∑
n
=
0
∞
a
n
{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
f
a
:
[
0
,
∞
)
→
R
{\displaystyle f_{a}:[0,\infty )\to \mathbb {R} }
f
a
(
[
n
,
n
+
1
)
)
=
a
n
.
{\displaystyle f_{a}([n,n+1))=a_{n}.}
∫
0
∞
f
a
d
x
{\textstyle \int _{0}^{\infty }f_{a}\,dx}
∑
n
=
0
∞
a
n
.
{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}
ルベーグ積分の場合は状況が異なり、これは積分の有界領域と非有界領域を別々に扱いません ( 下記を参照 )。上記の例で の 積分が非有界であるという事実は、 もルベーグの意味で積分可能ではないことを意味します。実際、ルベーグ積分理論では、 が測定可能であるとすれば 、 が ( ルベーグ) 積分可能であるのは、 が (ルベーグ) 積分可能である場合のみとなります 。しかし、 が測定可能であるという仮説は 重要です。 上の絶対積分可能関数 が積分可能であるというのは一般には真ではありません (単に測定できないことがあるというだけの理由で)。 が 非測定 サブセット であるとし、 が の 特性関数 で あるところを考えます。 すると は ルベーグ測定可能ではなく、したがって積分可能ではありませんが、 は 定数関数であり、明らかに積分可能です。
|
f
|
{\displaystyle |f|}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
|
f
|
{\displaystyle |f|}
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
S
⊂
[
a
,
b
]
{\displaystyle S\subset [a,b]}
f
=
χ
S
−
1
/
2
,
{\displaystyle f=\chi _{S}-1/2,}
χ
S
{\displaystyle \chi _{S}}
S
.
{\displaystyle S.}
f
{\displaystyle f}
|
f
|
≡
1
/
2
{\displaystyle |f|\equiv 1/2}
一方、関数は Kurzweil-Henstock 積分可能 (ゲージ積分可能) である一方、 そうでない場合もあります。これには、不適切にリーマン積分可能な関数の場合も含まれます。
f
{\displaystyle f}
|
f
|
{\displaystyle |f|}
一般的な意味では、任意の 測度空間 上で実数値関数のルベーグ積分はその正の部分と負の部分で定義されるため、次の事実が成り立ちます。
A
,
{\displaystyle A,}
f
{\displaystyle f}
積分可能は 積分可能であることを意味する
|
f
|
{\displaystyle |f|}
f
{\displaystyle f}
測定可能、 積分可能は 積分可能であることを意味する
|
f
|
{\displaystyle |f|}
f
{\displaystyle f}
は、ルベーグ積分の定義に本質的に組み込まれています。特に、この理論を 集合 上の 計数測度 に適用すると、（現在ではネットと呼ばれている）ムーア・スミスが開発した、順序なしの級数の和の概念が再現されます。が 自然数の集合である場合、ルベーグ積分可能性、順序なしの和可能性、絶対収束性はすべて一致します。
S
,
{\displaystyle S,}
S
=
N
{\displaystyle S=\mathbb {N} }
最後に、上記のすべては、バナッハ空間内の値を持つ積分に当てはまります。バナッハ値リーマン積分の定義は、通常の定義の明らかな修正です。ルベーグ積分の場合、ダニエルのより関数的な解析的アプローチを使用して正の部分と負の部分への分解を回避し 、 ボッホナー 積分 を取得する必要があります。
参照
注記
^ ここで、収束円盤とは、級数の中心からの距離が収束半径よりも小さいすべての点を指すために使用されます。つまり、収束円盤は、べき級数が収束するすべての点で構成されます。
参考文献
^ ルディン、ウォルター（1976年）。数学的解析の原理。ニューヨーク：マグロウヒル 。pp.71-72。ISBN 0-07-054235-X 。 ^ メギンソン、ロバート E. (1998)、 「バナッハ空間理論入門」 、Graduate Texts in Mathematics、vol. 183、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、p. 20、 ISBN 0-387-98431-3 （定理1.3.9） ^ Dvoretzky, A.; Rogers, CA (1950)、「ノルム線形空間における絶対および無条件収束」、Proc. Natl. Acad. Sci. USA 36 :192–197。 ^ タオ、テランス（2016年）。 分析I。 ニュー デリー：ヒンドゥスタン・ブック・エージェンシー。pp.188–191。ISBN 978-9380250649 。 ^ ストリチャーツ、ロバート (2000)。 分析の方法。ジョーンズ＆バートレット学習 。pp . 259、260。ISBN 978-0763714970 。
引用文献 Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135.
一般的な参考文献 ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。 位相ベクトル空間 。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス 。ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834. ウォルター・ルーディン 『数学解析の原理』 （McGraw-Hill：ニューヨーク、1964年）。 ピエチュ、アルブレヒト (1979)。 核の局所的に凸状の空間 。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 Vol. 66（第2版）。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。 ISBN 978-0-387-05644-9 . OCLC 539541. ロバートソン、AP (1973)。 位相ベクトル空間 。ケンブリッジ、イングランド：大学出版局 。ISBN 0-521-29882-2 . OCLC 589250. Ryan, Raymond A. (2002). バナッハ空間のテンソル積入門 . Springer Monographs in Mathematics. ロンドン・ニューヨーク: Springer . ISBN 978-1-85233-437-6 . OCLC 48092184. トレヴ、フランソワ (2006) [1967]。 トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル 。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。 ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322. ウォン、ヤウ・チュエン (1979)。シュワルツ空間 、 核空間、テンソル積 。 数学講義ノート 。第 726 巻。ベルリン、ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク 。ISBN 978-3-540-09513-2 . OCLC 5126158.
![{\textstyle \sum \left[\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)^{2}+\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)^{2}\right]^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c76b17f25e4c068028016d13e45c50b7c6c41e5)
![{\displaystyle A=[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6edb111a0369489b1346e0c8d2ea1f44a0fe5c62)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl [}\pi -2\,\mathrm {Si} (1){\bigr ]}\approx 0.62,{\text{ but }}\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b7dd2368a860f7773bff60d986940fc5a59a73)
![{\displaystyle S\subset [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe06fbdade81631d1cc5286c4cf8455947748b1)
