一様積分可能性

数学において、一様積分可能性は実解析、関数解析、測度論における重要な概念であり、マルチンゲール理論において極めて重要な役割を果たしている。

一様積分可能性は、関数族が支配されるという概念の拡張である。$\displaystyle L^{1}}$これは支配収束の中心となるものです。実解析と測度論に関するいくつかの教科書では、次の定義が使用されています。^{[ 1 ]}

定義A：${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$正の測度空間である。集合${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$は、次のような場合に一様積分可能であると呼ばれる。${\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\|f\|_{L^{1}(\mu )}<\infty }$それぞれに${\displaystyle \varepsilon >0}$対応する${\displaystyle \delta >0}$そのため

${\displaystyle \int _{E}|f|\,d\mu <\varepsilon }$

いつでも${\displaystyle f\in \Phi }$そして${\displaystyle \mu (E)<\delta .}$

定義 A は無限測度空間に対してはかなり制限的です。一般的な測度空間でうまく機能する一様積分可能性のより一般的な定義^{[ 2 ]}はGA Huntによって導入されました。

定義H:${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$正の測度空間である。${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$は、次の場合に限り一様積分可能であると呼ばれる。

${\displaystyle \inf _{g\in L_{+}^{1}(\mu )}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>g\}}|f|\,d\mu =0}$

どこ${\displaystyle L_{+}^{1}(\mu )=\{g\in L^{1}(\mu ):g\geq 0\}}$。

基礎となる測度空間が有限である場合、ハントの定義は定義Aと同等であるため（下記の定理2を参照）、定義Hは数学において広く採用されている。

以下の結果^{[ 3 ]}は、ハントの概念と同等の別の概念を提供する。この同等性は、一様積分可能性の定義として与えられることがある。

定理1：もし${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$が（正の）有限測度空間であるならば、集合${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$一様積分可能であるのは、

$\displaystyle \inf _{g\in L_{+}^{1}(\mu )}\sup _{f\in \Phi }\int (|f|-g)^{+}\,d\mu =0}$

さらに${\displaystyle \mu (X)<\infty }$すると、一様積分可能性は、以下のいずれかの条件と同等になります。

1.${\displaystyle \inf _{a>0}\sup _{f\in \Phi }\int (|f|-a)_{+}\,d\mu =0}$。

2.${\displaystyle \inf _{a>0}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>a\}}|f|\,d\mu =0}$

基礎となる空間${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$は${\displaystyle \sigma }$-有限の場合、ハントの定義は以下と同等である。

定理2：${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$になる${\displaystyle \sigma }$-有限測度空間、そして${\displaystyle h\in L^{1}(\mu )}$次のような${\displaystyle h>0}$ほぼどこにでも。${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$一様積分可能であるのは、${\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\|f\|_{L^{1}(\mu )}<\infty }$、そしてどんな${\displaystyle \varepsilon >0}$存在する${\displaystyle \delta >0}$そのため

$\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\int _{A}|f|\,d\mu <\varepsilon }$

いつでも${\displaystyle \int _{A}h\,d\mu <\delta }$。

定理1と定理2の結果として、有限測度に対する定義Aと定義Hの同値性が導かれる。実際、定義Aの記述は、${\displaystyle h\equiv 1}$定理2において。

一様積分可能性に関連するもう一つの概念は、タイトネスである。本稿では、タイトネスをより一般的な文脈で考察する。

定義:${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$は測度空間である。${\displaystyle {\mathcal {K}}\subset {\mathfrak {M}}}$有限測度の集合の集まりである。${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$に関して厳しいと言われている${\displaystyle {\mathcal {K}}}$もし

${\displaystyle \inf _{K\in {\mathcal {K}}}\sup _{f\in \Phi }\int _{X\setminus K}|f|\,d\mu =0}$

いつ${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathfrak {M}}\cap L^{1}(\mu )}$、${\displaystyle \Phi }$単に「きつい」と言われている。

測定空間${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$ボレルを備えた計量空間です${\displaystyle \sigma }$代数、 ${\displaystyle \mu }$これは定期的な測定であり、${\displaystyle {\mathcal {K}}}$は、すべてのコンパクト部分集合の集合です。${\displaystyle X}$という概念${\displaystyle {\mathcal {K}}}$上述のタイトネスは、距離空間における正則測度の解析で用いられる、よく知られたタイトネスの概念と一致する。

のために${\displaystyle \sigma }$-有限測度空間の場合、族が${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$一様積分可能であれば、${\displaystyle \Phi }$これはタイトである。これは、解析学の文献で一様積分可能性の定義としてよく用いられる以下の結果によって捉えられる。

定理3：${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$は${\displaystyle \sigma }$-有限測度空間。族${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$一様積分可能であるのは、

1. ${\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\|f\|_{1}<\infty }$。
2. ${\displaystyle \inf _{a>0}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>a\}}|f|\,d\mu =0}$
3. ${\displaystyle \Phi }$きつい。

いつ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$条件3は冗長である（上記の定理1を参照）。

解析学の多くの書籍^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}では、定理3の条件2はしばしば等積分性と呼ばれる別の条件に置き換えられます。

定義：家族${\displaystyle {\mathcal {C}}}$複素数または実数値の可測関数は、測度に関して等積分可能（または一様に絶対連続）である。${\displaystyle \mu }$) いずれの場合も${\displaystyle \varepsilon >0}$がある${\displaystyle \delta >0}$そのため $${\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {C}}}\int _{A}|f|\,d\mu <\varepsilon \qquad {\text{whenever}}\qquad \mu (A)<\delta }$$

定理3は、等積分性と${\displaystyle L^{1}}$有界性とタイトネス（定理3の条件(1)と(3)）は一様積分可能性と同等である。

以下の定理は、解析学や確率論において多くの応用を持つ、一様積分可能性に関する非常に有用な基準を記述している。

ド・ラ・ヴァレ・プッサンの定理^{[ 8 ] [ 9 ]}

仮定する${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$は有限測度空間である。${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset L^{1}(\mu )}$関数が一様積分可能であるのは、関数が存在する場合に限る。${\displaystyle G:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty )}$そのため${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {G(t)}{t}}=\infty }$そして $${\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{X}G(|f|)\,d\mu <\infty .}$$機能${\displaystyle G}$単調増加かつ凸関数として選択することができる。

一様積分可能性は、弱コンパクト性の特徴付けを与える。${\displaystyle L^{1}}$。

ダンフォード・ペティス定理^{[ 10 ] [ 11 ]}

仮定する${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$は${\displaystyle \sigma }$有限測度。族${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset L^{1}(\mu )}$弱位相においてコンパクト閉包を持つ${\displaystyle \sigma (L^{1},L^{\infty })}$かつその場合に限り${\displaystyle {\mathcal {F}}}$一様積分可能である。

確率論では、定義 A または定理 1 の記述は、確率変数の期待値という表記を使用して一様積分可能性の定義として提示されることが多い。^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}つまり、

1. クラス${\displaystyle {\mathcal {C}}}$確率変数の関数は、以下の条件を満たす場合に一様積分可能であると呼ばれる。

• 有限が存在する${\displaystyle M}$すべての${\displaystyle X}$で${\displaystyle {\mathcal {C}}}$、${\displaystyle \operatorname {E} (|X|)\leq M}$そして
• すべての${\displaystyle \varepsilon >0}$存在する${\displaystyle \delta >0}$つまり、あらゆる測定可能な${\displaystyle A}$そのため${\displaystyle P(A)\leq \delta }$そしてすべての${\displaystyle X}$で${\displaystyle {\mathcal {C}}}$、 ${\displaystyle \operatorname {E} (|X|I_{A})\leq \varepsilon }$。

または別の方法として

2. クラス${\displaystyle {\mathcal {C}}}$確率変数の は、すべての に対して が成り立つ場合に一様積分可能(UI)と呼ばれる。${\displaystyle \varepsilon >0}$存在する${\displaystyle K\in [0,\infty )}$そのため${\displaystyle \operatorname {E} (|X|I_{|X|\geq K})\leq \varepsilon \ {\text{ for all }}X\in {\mathcal {C}}}$、 どこ${\displaystyle I_{|X|\geq K}}$インジケーター関数${\displaystyle I_{|X|\geq K}={\begin{cases}1&{\text{if }}|X|\geq K,\\0&{\text{if }}|X|<K.\end{cases}}}$。

以下の結果は確率的定義に適用される。^{[ 15 ]}

• 定義1は、極限を取ることで次のように書き換えることができる。$${\displaystyle \lim _{K\to \infty }\sup _{X\in {\mathcal {C}}}\operatorname {E} (|X|\,I_{|X|\geq K})=0.}$$
• 非UIシーケンス。${\displaystyle \Omega =[0,1]\subset \mathbb {R} }$、そして定義する$${\displaystyle X_{n}(\omega )={\begin{cases}n,&\omega \in (0,1/n),\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$明らかに${\displaystyle X_{n}\in L^{1}}$実際に${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|)=1\ ,}$すべてのnに対して。ただし、$${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|I_{\{|X_{n}|\geq K\}})=1\ {\text{ for all }}n\geq K,}$$定義1と比較すると、この数列は一様積分可能ではないことがわかる。

• 上記の例で定義2を使用すると、最初の節が満たされることがわかります。${\displaystyle L^{1}}$すべての規範${\displaystyle X_{n}}$s は 1、つまり有界です。しかし、2 番目の節は、与えられた場合、成り立ちません。${\displaystyle \delta }$肯定的、間隔がある${\displaystyle (0,1/n)}$測定値が以下${\displaystyle \delta }$そして${\displaystyle E[|X_{m}|:(0,1/n)]=1}$すべての人々のために${\displaystyle m\geq n}$。
• もし${\displaystyle X}$UI のランダム変数を分割することで$${\displaystyle \operatorname {E} (|X|)=\operatorname {E} (|X|I_{\{|X|\geq K\}})+\operatorname {E} (|X|I_{\{|X|<K\}})}$$そして、その2つそれぞれを境界付けすると、一様積分可能な確率変数は常に境界付きであることがわかる。${\displaystyle L^{1}}$。
• ランダム変数の任意のシーケンス${\displaystyle X_{n}}$積分可能で非負の${\displaystyle Y}$つまり、すべてのωとnについて、$${\displaystyle |X_{n}(\omega )|\leq Y(\omega ),\ Y(\omega )\geq 0,\ \operatorname {E} (Y)<\infty ,}$$それからクラス${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ランダム変数の${\displaystyle \{X_{n}\}}$一様積分可能である。
• 確率変数のクラスは${\displaystyle L^{p}}$（${\displaystyle p>1}$) は一様積分可能である。

確率変数の族${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$^{が一様積分可能であるのは、 [ 16 ]} 確率変数が存在する 場合に限る。${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle EX<\infty }$そして ${\displaystyle |X_{i}|\leq _{\mathrm {icx} }X}$すべての人々のために${\displaystyle i\in I}$、 どこ ${\displaystyle \leq _{\mathrm {icx} }}$は、以下で定義される 増加凸確率順序を表す。${\displaystyle A\leq _{\mathrm {icx} }B}$もし${\displaystyle E\phi (A)\leq E\phi (B)}$すべての非減少凸実関数に対して${\displaystyle \phi }$。

シーケンス${\displaystyle \{X_{n}\}}$収束して${\displaystyle X}$で${\displaystyle L^{1}}$ノルムは、測度において収束する場合に限り、${\displaystyle X}$そしてそれは一様積分可能である。確率論的には、確率収束する確率変数の列は、それらが一様積分可能である場合に限り、平均収束する。^{[ 17 ]}これは、ルベーグの優収束定理の一般化である。ヴィタリの収束定理を参照のこと。

• シリヤエフ、AN (1995)。確率(第 2 版)。ニューヨーク: Springer-Verlag。187 ～ 188ページ。ISBN  978-0-387-94549-1。
• Diestel, J. および Uhl, J. (1977).ベクトル測度、Mathematical Surveys 15、American Mathematical Society、Providence、RI ISBN 978-0-8218-1515-1