中心となる瞬間

すべてのnに対して、n番目の中心モーメントは次数nの同次モーメントである。

$${\displaystyle \mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X).\,}$$

nが1、2、または3の場合に限り、独立な確率変数XとYに対して加法性が成り立つ。

$${\displaystyle \mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)\,}$$ただし、n ∈ {1, 2, 3}とする。

n次中心モーメントと並進不変性および同次性の性質を共有するが、n ≥ 4 の場合でもこの加法性の性質を持ち続ける関連関数は、n次キュムラントκ n ( X )_です。n = 1の場合、 n次キュムラントは期待値です。n = 2 または 3 の場合、 n次キュムラントはn次中心モーメントです。n ≥ 4の場合、n次キュムラントは最初のn個のモーメント (0 の周り) に関する n 次単項式であり、最初のn個の中心モーメントに関する(より単純な) n次多項式でもあります。 

原点周りのモーメントを平均値周りのモーメントに変換すると便利な場合がある。原点周りのn次モーメントを平均値周りのモーメントに変換する一般式は次のとおりである。

$${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} \left[\left(X-\operatorname {E} [X]\right)^{n}\right]=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}{\left(-1\right)}^{nj}\mu '_{j}\mu ^{nj},}$$

ここでμは分布の平均であり、原点周りのモーメントは次式で与えられる。

$${\displaystyle \mu '_{m}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{m}f(x)\,dx=\operatorname {E} [X^{m}]=\sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}\mu _{j}\mu ^{mj}.}$$

n = 2、3、4の場合（それぞれ分散、歪度、尖度との関係が最も興味深い）には、この式は次のようになります（${\displaystyle \mu =\mu '_{1}}$そして${\displaystyle \mu '_{0}=1}$):

$${\displaystyle \mu _{2}=\mu '_{2}-\mu ^{2}\,}$$ これは一般的に${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [X^{2}]-\left(\operatorname {E} [X]\right)^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{3}&=\mu '_{3}-3\mu \mu '_{2}+2\mu ^{3}\\\mu _{4}&=\mu '_{4}-4\mu \mu '_{3}+6\mu ^{2}\mu '_{2}-3\mu ^{4}.\end{aligned}}}$$

…など、^{[ 2 ]}パスカルの三角形に従って、

$${\displaystyle \mu _{5}=\mu '_{5}-5\mu \mu '_{4}+10\mu ^{2}\mu '_{3}-10\mu ^{3}\mu '_{2}+4\mu ^{5}.\,}$$

なぜなら${\displaystyle 5\mu ^{4}\mu '_{1}-\mu ^{5}\mu '_{0}=5\mu ^{4}\mu -\mu ^{5}=5\mu ^{5}-\mu ^{5}=4\mu ^{5}}$。

以下の合計は、複合分布を持つ確率変数です。

$${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{M}Y_{i},}$$

どこで${\displaystyle Y_{i}}$は互いに独立した確率変数であり、同じ共通の分布を共有し、${\displaystyle M}$ランダムな整数変数${\displaystyle Y_{k}}$独自の配信で。${\displaystyle W}$として得られる

$${\displaystyle \operatorname {E} [W^{n}]=\sum _{i=0}^{n}\operatorname {E} \left[{\binom {M}{i}}\right]\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}{\left(-1\right)}^{i-j}\operatorname {E} \left[\left(\sum _{k=1}^{j}Y_{k}\right)^{n}\right],}$$

どこ${\textstyle \operatorname {E} \left[{\left(\sum _{k=1}^{j}Y_{k}\right)}^{n}\right]}$はゼロと定義される${\displaystyle j=0}$。

平均値に関して対称な分布（平均値に関して反転しても影響を受けない分布）では、奇数次中心モーメントが存在する場合、それらはすべてゼロになります。これは、 n次モーメントの式において、平均値より一定量小さいXの値を含む各項が、平均値より同じ量大きいXの値を含む項と正確に打ち消し合うためです。