11次元の超重力

超対称性において、11次元超重力は、超対称性理論で許される最高次元数の超重力理論である。これには、グラビトン、グラビティーノ、3形式ゲージ場が含まれ、それらの相互作用は超対称性によって一意に固定されている。1978年にウジェーヌ・クレマー、ベルナール・ジュリア、ジョエル・シェルクによって発見され、 1980年代には万物の理論の有力な候補となった。 ^[1]しかし、物理的に現実的なモデルを構築しようとする際に生じる多くの困難のため、すぐに関心は薄れていった。1990年代半ばにM理論の低エネルギー極限であることが発見され、弦理論のさまざまな側面を理解する上で重要になったことで再び注目を集めた。

超重力は、1976 年に 1 つのグラビティーノを持つ純粋な 4 次元超重力の構築を通じて発見されました。超重力プログラムの重要な方向性の 1 つは、4 次元超重力の構築を試みることでした。これは、物理的に許容されるすべてのスピンの粒子を単一の多重項に統合するという事実から、万物の理論の魅力的な候補であったためです。理論は${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$さらに紫外線有限である可能性があります。ヴェルナー・ナームは1978 年に、スピンが 2 以下の超対称性は 11 次元以下でのみ可能であることを示しました。^[2]これをきっかけに、ユージン・クレマー、ベルナール・ジュリア、ジョエル・シェルクは同年後半に 11 次元超重力を構築し、^[1]理論を実現するために次元を 4 次元に縮小することを目指しました。これは 1979 年に行われました。^[3]${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$

1980年代、11次元の超重力は、自然の基本理論として大きな関心を集めた。これは、1980年にピーター・フロイントとマーク・ルーベンが、場の強度テンソルがオンになっている背景を使用すると、超重力は4次元または7次元に優先的にコンパクト化することを示したことに始まった。^[4]さらに、エドワード・ウィッテンは1981年に、標準モデルのゲージ群を獲得するために必要な最小次元数も11次元であると主張した。これは、これがコンパクト多様体の等長群のサブグループとして生じると仮定した。^{[5] [注1]}

主な研究分野は、11D 超重力がどのように4 次元にコンパクト化するかを理解することでした。^[6]これを行うには、コンパクト多様体の選択に応じて多くの方法がありますが、最も人気のある方法は7 次元球を使用することです。ただし、これらのアプローチには多くの問題がすぐに特定され、最終的にプログラムは放棄されました。^[7]主な問題の 1 つは、十分に動機付けられた多様体の多くが標準モデルのゲージ グループを生成できないことでした。^{[nb 2]}当時のもう 1 つの問題は、標準的なカルツァ–クラインのコンパクト化では、標準モデルの構築に必要なカイラル フェルミオンを取得することが困難になることでした。さらに、これらのコンパクト化では一般に、除去が困難な非常に大きな負の宇宙定数が生成されました。 ^{[nb 3]}最後に、理論を量子化すると、除去が困難な量子異常が発生しました。これらの問題のいくつかは、当時は知られていなかったより現代的な方法で克服できます。^{[8] : 302} 例えば、カイラルフェルミオンは、特異多様体、非コンパクト多様体、理論の世界の終焉である9次元ブレーン、または11次元理論をカイラル弦理論に関連付ける弦の双対性を利用することによって獲得できる。同様に、ブレーンの存在は、より大きなゲージ群を構築するためにも使用できる。

これらの問題により、11D超重力理論は1980年代後半に放棄されましたが、興味深い理論として残りました。実際、1988年にマイケル・グリーン、ジョン・シュワルツ、エドワード・ウィッテンは次のように書いています^[9]

その存在が単なる偶然であるとは信じ難いが、現時点では、それが物事の体系の中でどのような役割を果たしているのかについて説得力のある推測を述べることは困難である。

1995年、エドワード・ウィッテンはM理論^[10]を発見しました。その低エネルギー極限は11次元の超重力であり、この理論は物理学の最前線に戻り、弦理論において重要な位置を占めるようになりました。

超対称性では、スピンが 2 以下の粒子を含む超多重項を与える実際の 超電荷の最大数は32 です。 ^{[11] : 265}より多くの成分を持つ超電荷は必然的により高いスピン状態を含む超多重項をもたらし、そのような理論を非物理的にします。超電荷はスピノルであるため、超対称性は 32 を超える成分を持たないスピノル表現を許容する次元でのみ実現でき、これは 11 次元以下でのみ発生します。^{[nb 4]}

11 次元の超重力は超対称性によって一意に固定されており、その構造は他の次元の超重力理論に比べて比較的単純です。唯一の自由なパラメータはプランク質量で、理論のスケールを設定します。この理論には、重力子、マヨラナ重力子、3 形式ゲージ場からなる単一の多重項があります。重力子の自由度が 44 であるのに対し、重力子の自由度は 128 であるため、3 形式ゲージ場は多重項を完成させるために必要な、不足している 84 のボソン自由度を提供することに注目すると、3 形式場の必要性がわかります。

11次元の超対称性の最大拡張代数は^{[11]で与えられる：265}

${\displaystyle \{Q_{\alpha },Q_{\beta }\}=(C\gamma )_{\alpha \beta }^{\mu }P_{\mu }+(C\gamma )_{\ alpha \beta }^{\mu \nu }Z_{\mu \nu }+(C\gamma )_{\alpha \beta }^{\mu \nu \rho \sigma \gamma }Z_{\mu \nu \rho \sigma \gamma },}$

ここで は、組み合わせが対称または反対称のいずれかであることを保証する電荷共役演算子です。^{[nb 5]}反交換子は対称なので、右辺で許容されるエントリは、スピノルインデックスに関して対称なエントリのみであり、これは 11 次元では 1、2、5 の時空インデックスに対してのみ発生し、残りはポアンカレ双対性を除いて同値です。^{[12] : 253}対応する係数と は、準中心電荷として知られています。これらは、ローレンツスカラーではなく、ローレンツ生成子と交換しないため、群論的な意味での通常の中心電荷ではありませんが^、解釈は同じです。これらは、ある程度の超対称性を保存する拡張オブジェクト、つまりM2 ブレーンとM5 ブレーンがあることを示し^{[12] : 239}${\displaystyle C}$${\displaystyle C\gamma ^{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}}$${\displaystyle Z_{\mu \nu}}$${\displaystyle Z_{\mu \nu \rho \sigma \gamma }}$

11次元超重力の作用は[12]で与えられる^：209

${\displaystyle S={\frac {1}{2\kappa _{11}^{2}}}\int d^{11}x\ e{\bigg [}R(\omega )-{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }D_{\nu }({\tfrac {1}{2}}(\omega +{\hat {\omega }}))\psi _{\rho }-{\frac {1}{24}}F_{\mu \nu \rho \sigma }F^{\mu \nu \rho \sigma }}$

${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{192}}({\bar {\psi }}_{\nu }\gamma ^{\alpha \beta \gamma \delta \nu \rho }\psi _{\rho }+12{\bar {\psi }}^{\gamma }\gamma ^{\alpha \beta }\psi ^{\delta })(F_{\alpha \beta \gamma \delta }+{\hat {F}}_{\alpha \beta \gamma \delta })}$

${\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {2}}}{(144)^{2}}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta \alpha '\beta '\gamma '\delta '\mu \nu \rho }F_{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\alpha '\beta '\gamma '\delta '}A_{\mu \nu \rho }{\bigg ]}.}$

ここで重力は、11次元の重力結合定数^{[nb 6]}と ビエルバイン形式論 を使用して記述され、${\displaystyle e_{\mu }^{a}}$${\displaystyle \kappa _{11}}$

${\displaystyle \omega _{\mu ab}=\omega _{\mu ab}(e)+K_{\mu ab},}$

${\displaystyle {\hat {\omega }}_{\mu ab}=\omega _{\mu ab}-{\tfrac {1}{8}}{\bar {\psi }}_{\nu }\gamma ^{\nu \rho }{}_{\mu ab}\psi _{\rho },}$

${\displaystyle K_{\mu ab}=-{\tfrac {1}{4}}({\bar {\psi }}_{\mu }\gamma _{b}\psi _{a}-{\bar {\psi }}_{a}\gamma _{\mu }\psi _{b}+{\bar {\psi }}_{b}\gamma _{a}\psi _{\mu })+{\tfrac {1}{8}}{\bar {\psi }}_{\nu }\gamma ^{\nu \rho }{}_{\mu ab}\psi _{\rho },}$

${\displaystyle {\hat {F}}_{\mu \nu \rho \sigma }=F_{\mu \nu \rho \sigma }+{\tfrac {3}{2}}{\sqrt {2}}{\bar {\psi }}_{[\mu }\gamma _{\nu \rho }\psi _{\sigma ]}.}$

ねじれのない接続は で与えられ、 はねじれテンソルです。一方、はスピン接続を持つ共変微分であり、スピノルに作用して次の形をとります。 ${\displaystyle \omega _{\mu ab}(e)}$${\displaystyle K_{\mu ab}}$${\displaystyle D_{\nu }(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle D_{\mu }(\omega )\psi _{\nu }=\partial _{\mu }\psi _{\nu }+{\tfrac {1}{4}}\omega _{\mu }^{ab}\gamma _{ab}\psi _{\nu },}$

ここで である。ディラック代数を満たす正則ガンマ行列は で表され、 は位置依存場で示される。作用の最初の行には、アインシュタイン・ヒルベルト作用、ラリタ・シュウィンガー方程式、ゲージ運動作用によって与えられる共変運動項が含まれる。2 行目は、3 次重力子ゲージ場項といくつかの4 次重力項に対応する。ラグランジアンの最後の行は、チャーン・サイモンズ項である。^{[nb 7]}${\displaystyle \gamma _{ab}=\gamma _{[a}\gamma _{b]}}$${\displaystyle \gamma _{a}}$${\displaystyle \gamma _{\mu }=e_{\mu }^{a}\gamma _{a}}$

超対称性変換則は^{[11]によって与えられる：267}

${\displaystyle \delta _{s}e_{\mu }^{a}={\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\gamma ^{a}\psi _{\mu },}$

${\displaystyle \delta _{s}\psi _{\mu }=D_{\mu }({\hat {\omega }})\epsilon +{\tfrac {\sqrt {2}}{288}}(\gamma ^{\alpha \beta \gamma \delta }{}_{\mu }-8\gamma ^{\beta \gamma \delta }\delta _{\mu }^{\alpha }){\hat {F}}_{\alpha \beta \gamma \delta }\epsilon ,}$

${\displaystyle \delta _{s}A_{\mu \nu \rho }=-{\tfrac {3{\sqrt {2}}}{4}}{\bar {\epsilon }}\gamma _{[\mu \nu }\psi _{\rho ]},}$

ここで、 は超対称性マヨラナゲージパラメータです。ハット付きの変数はすべて、超対称性パラメータ の導関数に依存しないという意味で超共変です。さらに、作用はパリティに対して不変であり、ゲージ場は擬テンソルとして変換されます。この超重力の運動方程式には、 および となるトロンボーン対称性と呼ばれる剛体対称性もあります。^[14]${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \partial _{\mu }\epsilon }$ ${\displaystyle A\rightarrow -A}$${\displaystyle g_{\mu \nu }\rightarrow \alpha ^{2}g_{\mu \nu }}$${\displaystyle A_{\mu \nu \rho }\rightarrow \alpha ^{3}A_{\mu \nu \rho }}$

11次元超重力には多くの特殊解があり、最も有名なものはpp波、M2ブレーン、M5ブレーン、KKモノポール、およびM9ブレーンである。ブレーン解は、対応するM理論ブレーンの低エネルギー極限である超重力内のソリトン物体である。3形式ゲージ場は、M2ブレーンに電気的に、M5ブレーンに磁気的に結合します。 ^{[8] ：307} M2ブレーンとM5ブレーンの明示的な超重力ソリトン解が知られています。

M2-ブレーンとM5-ブレーンは、定常時間断面積が位相的にそれぞれ7球と4球である、正規の非縮退 事象の地平線を持つ。 ^{[13] : 737–740}極端なM2-ブレーンの地平線近傍の極限は幾何学で与えられ、極端なM5-ブレーンの場合は で与えられる。これらの極限解は真空解の超対称性の半分を保存するため、極端なM2-ブレーンとM5-ブレーンはどちらも、それぞれまたは地平線を持つ、無限遠にある2つの最大限に超対称なミンコフスキー真空の間を補間するソリトンと見なすことができる。 ${\displaystyle AdS_{4}\times S^{7}}$ ${\displaystyle AdS_{7}\times S^{4}}$${\displaystyle AdS_{4}\times S^{7}}$${\displaystyle AdS_{6}\times S^{4}}$

11次元超重力のフロイント・ルビンのコンパクト化は、それが7次元と4次元に優先的にコンパクト化することを示しており、1980年代を通じて広範囲に研究されることになった。^[4]このコンパクト化は、コンパクト多様体と非コンパクト多様体が計量に比例するリッチテンソルを持つこと、つまりそれらがアインシュタイン多様体であることを要求することによって最も簡単に達成される。さらに、解が変動に対して安定であることが要求され、反ド・ジッター時空ではブレテンローナー・フリードマン境界が満たされることが要求される。安定性は、何らかの破れていない超対称性があれば保証されるが、超対称性を完全に破る古典的に安定した解も存在する。

研究された主なコンパクト化多様体の 1 つは 7 次元球面でした。^[6]この多様体には 8 個のキリングスピノルがあり、結果として得られる 4 次元理論は超対称性を持ちます。さらに、球面の等長変換群に対応するゲージ群も生じます。広く研究されている同様のコンパクト化は、押しつぶされた 7 次元球面を使用するもので、これは7 次元球面を四元数射影空間に埋め込むことで得られ、これにより のゲージ群が得られます。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$${\displaystyle {\text{SO}}(8)}$${\displaystyle {\text{SO}}(5)\times {\text{SU}}(2)}$

7 球面カルツァ＝クラインのコンパクト化の重要な特性は、その切断が矛盾のないことであるが、これは7 次元トーラス以外のアインシュタイン多様体では必ずしも当てはまらない。矛盾のある切断は、結果として得られる 4 次元理論が高次元場の方程式と矛盾することを意味する。矛盾のある切断は単に作用における無関係な演算子の追加をもたらすだけなので、物理的にはミンコフスキー時空へのコンパクト化ではこれが問題になる必要はない。しかし、ほとんどのアインシュタイン多様体のコンパクト化は、比較的大きな宇宙定数を持つ反ド・ジッター時空へのコンパクト化である。この場合、無関係な演算子は運動方程式を通じて関連する演算子に変換できる。^{[nb 8]}

11次元超重力は、作用のレベルで11次元における唯一の超重力であるが、運動方程式のレベルで関連する理論を得ることができ、修正11D超重力として知られる。^{[nb 9]}これは、スピン接続を元のものと共形的に関連するものに置き換えることによって行われる。^{[14]このような理論は、}単純接続されていない空間でのみ、標準的な11D超重力と等価ではない。質量のある11D理論の作用は、補助的な非動的キリングベクトル場を導入することによっても得られ、この理論は次元縮小により質量のあるタイプIIA超重力に縮小される。 ^[15]これは、場が座標の1つに明示的に依存しないため、適切な11次元理論ではないが、質量のあるブレーンの研究には有用である。

11次元超重力を10次元に次元縮小するとIIA型超重力が生じ、4次元に次元縮小すると超重力が生じる。これが理論構築の当初の動機の1つであった。^{[16] 11次元超重力は紫外線有限ではないが、M理論の低エネルギー限界である。超重力は}量子レベルで補正も受け、これらの補正はさまざまなコンパクト化メカニズムで重要な役割を果たすことがある。^{[8] : 469–471}${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$

他の次元における超重力とは異なり、11次元反ド・ジッター時空への拡張は存在しない。^[17]この理論は最高次元数の超対称理論であるが、注意すべき点は、これは1つの時間次元を持つ時空シグネチャにのみ当てはまるということである。任意の時空シグネチャが許されるなら、2つの時間次元を持つ12次元の超重力も存在する。