ブレーン

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弦理論および関連理論（超重力理論など）において、ブレーンとは、ゼロ次元の 点粒子、1次元の弦、または2次元の膜の概念を高次元の物体に一般化した物理的物体である。ブレーンは、量子力学の法則に従って時空を伝播できる動的物体である。ブレーンには質量があり、電荷などの他の属性を持つことができる。

数学的には、ブレーンはカテゴリー内で表現することができ、ホモロジーミラー対称性や非可換幾何学への洞察を得るために純粋数学で研究されています。

「ブレーン」という言葉は1987年に「膜」の短縮形として生まれました。^[1]

点粒子は0次元の0-ブレーンである。弦は振動する楽器の弦にちなんで名付けられ、1-ブレーンである。膜はドラムのヘッドなどの振動する膜にちなんで名付けられ、2-ブレーンである。^{[2]対応する任意の次元}pのオブジェクトはp-ブレーンと呼ばれ、これは1988年にMJ Duffらによって造られた用語である。 ^[3]

pブレーンは時空内に世界体積と呼ばれる( p +1)次元の体積を広げます。物理学者はしばしば、ブレーンの世界体積上に存在する電磁場に類似した場を研究します。 ^[4]

弦理論では、弦は開いた状態（2つの端点を持つ線分を形成）または閉じた状態（閉じたループを形成）になる。Dブレーンは、開いた弦を考えるときに生じる重要なブレーンのクラスである。開いた弦が時空を伝播するとき、その端点はDブレーン上にある必要がある。Dブレーンの文字「D」は、Dブレーンが満たすディリクレ境界条件を指す。 ^[5]

Dブレーンに関する重要な点の1つは、Dブレーン世界体積上のダイナミクスがゲージ理論によって記述されることです。ゲージ理論は、粒子物理学の標準モデルにおける素粒子の挙動を記述するためにも使用される、一種の高度に対称的な物理理論です。このつながりは、ゲージ理論と 量子場の理論への重要な洞察につながりました。たとえば、これはAdS​​/CFT対応の発見につながりました。これは、物理学者がゲージ理論の難しい問題を弦理論のより数学的に扱いやすい問題に変換するために使用する理論的ツールです。^[6]

数学的には、ブレーンはカテゴリーの概念を使って記述することができます。^[7]これは、オブジェクトと、任意のオブジェクトのペアに対するそれらの間の射の集合からなる数学的構造です。ほとんどの例では、オブジェクトは数学的構造（集合、ベクトル空間、位相空間など）であり、射はこれらの構造間の関数です。 ^[8]同様に、オブジェクトが D ブレーンであり、2 つのブレーンとの間の射がとの間に張られた開いた弦の状態であるカテゴリーを考えることもできます。^[9]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

弦理論の位相的 B モデルと呼ばれるバージョンでは、D ブレーンは、弦の端点に電荷があることから物理的に生じる追加データとともに、カラビ - ヤウ多様体と呼ばれる特定の 6 次元形状の複素部分多様体です。 ^[10]直感的には、部分多様体はカラビ - ヤウ多様体の内部に埋め込まれた面と考えることができますが、部分多様体は 2 次元以外の次元に存在することもできます。^[11]数学的な言語では、これらのブレーンを対象とするカテゴリは、カラビ - ヤウ上のコヒーレント層の導来カテゴリとして知られています。 ^{[12]弦理論の}位相的 A モデルと呼ばれる別のバージョンでは、D ブレーンは再びカラビ - ヤウ多様体の部分多様体と見なすことができます。大まかに言えば、数学者が特殊ラグランジアン部分多様体と呼ぶものです。^[13]これは、とりわけ、それらが配置されている空間の半分の次元を持ち、長さ、面積、または体積を最小化することを意味します。^[14]これらのブレーンを対象とするカテゴリは、深谷カテゴリと呼ばれます。^[15]

連接層の導来カテゴリは、代数的な用語で幾何学的形状を記述し、代数方程式を使用して幾何学的問題を解く数学の分野である複素幾何学のツールを使用して構築されます。^[16]一方、深谷カテゴリは、古典物理学の研究から生まれた数学の分野であるシンプレクティック幾何学を使用して構築されます。シンプレクティック幾何学は、 2次元の例で面積を計算するために使用できる数学的ツールであるシンプレクティック形式を備えた空間を研究します。 ^[17]

マキシム・コンツェビッチのホモロジーミラー対称性予想は、あるカラビ・ヤウ多様体上の連接層の導来カテゴリは、ある意味では全く異なるカラビ・ヤウ多様体の深谷カテゴリと同値であると述べている。^[18]この同値性は、複素幾何学とシンプレクティック幾何学という2つの幾何学分野の間に予期せぬ橋渡しを提供する。^[19]

• ブラックブレーン
• ブレーン宇宙論
• ディラック膜
• ラグランジアン部分多様体
• M2ブレーン
• M5ブレーン
• NS5ブレーン

• Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, PMH, 編 (2009). Dirichlet Branes and Mirror Symmetry . Clay Mathematics Monographs . Vol. 4. American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-3848-8。
• マック・レーン、サンダース（1998年）。働く数学者のためのカテゴリー。ISBN 978-0-387-98403-2。
• ムーア、グレゴリー(2005)。「ブレーンとは何か?」(PDF) AMSの通知52 : 214 2018 年6 月 7 日閲覧。
• ヤウ、シン・トン、ナディス、スティーブ（2010）。『内部空間の形状：弦理論と宇宙の隠れた次元の幾何学』。ベーシックブックス。ISBN 978-0-465-02023-2。
• Zaslow, Eric (2008)。「ミラー対称性」 。Gowers , Timothy (編)。The Princeton Companion to Mathematics。ISBN 978-0-691-11880-2。