真空解（一般相対性理論）

一般相対性理論では、真空解はアインシュタインテンソルが恒等的にゼロになるローレンツ多様体である。アインシュタインの場の方程式によれば、これは応力エネルギーテンソルもまた恒等的にゼロになり、物質や非重力場が存在しないことを意味する。これらは、重力場に加えて電磁場も考慮する電気真空解とは異なる。真空解は、応力エネルギーテンソルの唯一の項が宇宙定数項であるラムダ真空解とも異なる（したがって、ラムダ真空は宇宙モデルとして考えることができる）。

より一般的には、ローレンツ多様体内の真空領域は、アインシュタインテンソルが消失する領域です。

真空解は、一般相対論におけるより一般的な厳密解の特殊なケースです。

アインシュタイン テンソルがゼロになるのは、リッチ テンソルがゼロになる場合のみであるというのは数学的な事実です。これは、これら 2 つの 2 階テンソルが一種の双対関係にあるという事実から導かれます。つまり、これらは互いに トレースが逆になっています。

${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\frac {R}{2}}\,g_{ab},\;\;R_{ab}=G_{ab}-{\frac {G}{2}}\,g_{ab}}$

痕跡があるところ。 ${\displaystyle R={R^{a}}_{a},\;\;G={G^{a}}_{a}=-R}$

リーマン曲率テンソルのリッチ分解から、ワイル曲率テンソルとリッチテンソルから構築された項の和として、3 番目の同等の条件が導かれます。つまり、ワイル テンソルとリーマン テンソルは、ある領域が真空領域である場合に限り、その領域で に一致します。 ${\displaystyle R_{abcd}=C_{abcd}}$

一般相対性理論によれば、真空領域では、真空領域にはエネルギーが存在しないと思われるかもしれません。しかし、重力場は仕事をすることができるので、重力場自体がエネルギーを持っていると予想しなければなりませんし、実際そうなのです。しかし、この重力場エネルギーの正確な位置を特定することは、一般相対性理論では、万有引力の相互作用と「その他すべて」に明確に分離するというその性質上、技術的に困難です。 ${\displaystyle T^{ab}=0}$

重力場自体がエネルギーを持っているという事実は、アインシュタインの場の方程式の非線形性を理解する方法を生み出します。つまり、この重力場のエネルギー自体が、より多くの重力を生み出します。(これは「重力の重力」^[1]、または「重力は重力を及ぼす」と表現されます。) これは、太陽の外側の重力場が、一般相対性理論によれば、ニュートンの理論によれば少し強いことを意味します。

明示的な真空解法のよく知られた例には次のものがあります。

• ミンコフスキー時空（宇宙定数を持たない空の空間を記述する）
• ミルンモデル（EAミルンによって開発された、曲率のない空の宇宙を記述するモデル）
• シュヴァルツシルト真空（球状の質量の周りの時空幾何学を記述する）、
• カー真空（回転する物体の周りの形状を記述する）、
• タウブ-NUT真空（奇妙な性質を持つ孤立した物体の外部重力場を記述する有名な反例）、
• カーンズ・ワイルド真空（ロバート・M・カーンズとウォルター・J・ワイルド、1982年）（周囲の「ほぼ均一な」重力場に浸されたシュワルツシルト物体）、
• 二重カー真空（同じ回転軸を共有する 2 つのカー物体だが、無限に離れたサスペンション ポイントまで伸びる非物理的なゼロのアクティブ重力質量「ケーブル」によって分離されている）、
• カーン・ペンローズ真空（KAカーンとロジャー・ペンローズ1971）（単純な衝突平面波モデル）、
• オスヴァート・シュッキング真空（円偏波正弦重力波、もう一つの有名な反例）。
• カスナー計量(3 次元以上の重力カオスを研究するために使用される異方性解)。

これらはすべて、1 つ以上の一般的なソリューション ファミリに属します。

• ワイル真空（ヘルマン・ワイル）（すべての静的真空解の族）、
• ベック真空（グイド・ベック1925 ^[2]）（円筒対称な非回転真空解の族）、
• エルンスト真空（フレデリック・J・エルンスト 1968）（すべての定常軸対称真空解の族）、
• エーラース真空 (ユルゲン・エーラース) (円筒対称の真空解の族)
• ゼケレス真空（ジョージ・ゼケレス）（衝突するすべての重力平面波モデルのファミリー）、
• ゴウディ真空（ロバート・H・ゴウディ）（重力波を用いて構築された宇宙論モデル）、

ここで言及したファミリーのいくつかは、適切な線形または非線形、実数または複素数の偏微分方程式を解くことによって得られるメンバーであり、おそらく驚くべき方法で非常に密接に関連していることがわかります。

これらに加えて、重力平面波を含む真空pp 波時空もあります。

• 一般相対性理論の数学入門
• トポロジカル欠陥

• Stephani, Hans 編 (2003)。アインシュタインの場の方程式の正確な解(PDF)。ケンブリッジ数理物理学モノグラフ (第 2 版)。ケンブリッジ、イギリス、ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-46136-8。