タイプI超重力

超対称性において、タイプ I 超重力は、単一の超電荷を持つ10次元の超重力理論である。これは、単一の超重力多重項と単一のヤン・ミルズ多重項で構成される。完全な非可換作用は、1983 年にジョージ・チャップリンとニコラス・マントンによって初めて導かれた。^[1]古典的には理論は任意のゲージ群を許容するが、異常性のキャンセルをもたらす無矛盾な量子理論は、ゲージ群が またはの場合にのみ存在する。これらの超重力は両方とも、弦理論、特にタイプ I 弦理論と 2 つのヘテロティック弦理論の低エネルギー極限として実現されている。 ${\displaystyle {\text{SO}}(32)}$${\displaystyle E_{8}\times E_{8}}$

超重力は、1980年代に自然界の候補理論として盛んに研究された。その一環として、異なる次元で存在し得る様々な超重力を理解することが重要であり、可能性のある超重力は1978年にヴェルナー・ナームによって分類された。^[2]タイプIの超重力は1983年に初めて記述され、エリック・ベルクショフ、ミース・デ・ロー、ベルナール・デ・ウィット、ピーター・ファン・ニューウェンハウゼンがアーベル理論を記述し、^[3]その後ジョージ・チャップリンとニコラス・マントンがこれを完全な非アーベル理論に拡張した。^[1]マイケル・グリーンとジョン・シュワルツは1984年に重要な進展を遂げ、これらの理論のうち異常のないものはほんの一握りであることを示し、^[4]追加の研究で、とのみが一貫した量子理論につながることを示しました。[ 5 ]^最初のケースは、当時、タイプIのスーパーストリングの低エネルギー極限に対応することが知られていました。翌年、ヘテロティック弦理論が発見され^[6] 、これは両方のゲージ群を持つタイプI超重力によって記述される低エネルギー極限を持っていました。 ${\displaystyle {\text{SO}}(32)}$${\displaystyle E_{8}\times E_{8}}$

タイプ I の超重力は、単一のマヨラナ–ワイル スピノル超荷電を持つ 10 次元の超重力です。^{[nb 1]}その場の内容は、超重力の超多重項と、関連するゲージ群を持つヤン – ミルズ超多重項から構成されます。 ^{[7] : 271}ここで、計量、は2 形式カルブ – ラモンド場、はディラトン、はヤン – ミルズ ゲージ場です。^{[8] : 317–318}一方、はグラビティーノ、はディラティーノ、およびゲージノであり、これらはすべてマヨラナ – ワイル スピノルです。グラビティーノとゲージノは同じカイラリティ を持ち、ディラティーノは反対のカイラリティを持ちます。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle (g_{\mu \nu },\psi _{\mu },B,\lambda ,\phi )}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$${\displaystyle (A_{\mu}^{a},\chi^{a})}$${\displaystyle g_{\mu \nu}}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle A_{\mu}^{a}}$${\displaystyle \psi_{\mu}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \chi^{a}}$

タイプIの超対称性の超代数は[ ^{9]で与えられる。}

${\displaystyle \{Q_{\alpha},Q_{\beta}\}=(P\gamma^{\mu}C)_{\alpha\beta}P_{\mu}+(P\gamma^{\mu\nu\rho\sigma\delta}C)_{\alpha\beta}Z_{\mu\nu\rho\sigma\delta}.}$

ここで は固定されたカイラリティ を持つスーパーチャージ であり、は関連する射影演算子です。一方、は電荷共役演算子であり、 はガンマ行列です。右辺はスーパーチャージ と同じカイラリティを持ち、スピノル指数の交換に関して対称でなければなりません。2 番目の項は、ポアンカレ双対性までのこれらの制約の下で許容される唯一の中心電荷です。これは、10 次元では を法とする行列のみが対称行列であるためです。 ^{[10] : 37–48  [注 2]}中心電荷は、ヘテロティック弦理論の基本弦と双対である超重力の5 次元ブレーン解に対応します。^[11]${\displaystyle Q_{\alpha}}$${\displaystyle PQ_{\alpha}=Q_{\alpha}}$${\displaystyle P={\tfrac {1}{2}}(1\pm \gamma _{*})}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$${\displaystyle P\gamma ^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}C}$${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle 4}$

アインシュタインフレームにおけるタイプI超重力の作用は、4フェルミオン項まで^{[12] : 325  [nb 3]}で与えられる。

${\displaystyle S={\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int d^{10}x\ e{\bigg [}R-2\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\tfrac {3}{4}}e^{-2\phi }H_{\mu \nu \rho }H^{\mu \nu \rho }-{\tfrac {\kappa ^{2}}{2g^{2}}}e^{-\phi }{\text{tr}}(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu })}$

${\displaystyle \ \ \ -{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }D_{\nu }\psi _{\rho }-{\bar {\lambda }}\gamma ^{\mu }D_{\mu }\lambda -{\text{tr}}({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }D_{\mu }\chi )}$

${\displaystyle \ \ \ -{\sqrt {2}}{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\lambda \partial _{\nu } \phi +{\tfrac {1}{8}}e^{-\phi }{\text{tr}}({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu \nu \rho }\chi )H_{\mu \nu \rho }}$

${\displaystyle \ \ \ -{\tfrac {\kappa }{2g}}e^{-\phi /2}{\text{tr}}[{\bar {\chi }}\gamma ^{\mu } \gamma ^{\nu \rho }(\psi _{\mu }+{\tfrac {\sqrt {2}}{12}}\gamma _{\mu }\lambda )F_{\nu \rho }]}$

${\displaystyle \ \ \ +{\tfrac {1}{8}}e^{-\phi }({\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho \sigma \delta }\psi _{\delta }+6{\bar {\psi }}^{\nu }\gamma ^{\rho }\psi ^{\sigma }-{\sqrt {2}}{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\lambda )H_{\nu \rho \シグマ }{\bigg ]}.}$

ここでは重力結合定数、はディラトン、そして^{[13] : 92–93}${\displaystyle \kappa^{2}}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle H_{\mu \nu \rho }=\partial _{[\mu }B_{\nu \rho ]}-{\tfrac {\kappa ^{2}}{g^{2}}}\オメガ _{{\text{YM}},\mu \nu \rho },}$

ここで、ヤン ・ミルズ・チャーン・サイモンズ形の軌跡は${\displaystyle \omega _{\text{YM}}}$

${\displaystyle \omega _{\text{YM}}={\text{tr}}(A\wedge dA+{\tfrac {2}{3}}A\wedge A\wedge A).}$

ゲージ場に対応する非可換場の強度テンソルは で表されます。時空指数ガンマ行列は位置依存場です。一方、は共変微分であり、 およびはスピン接続です。 ${\displaystyle A_{\mu}}$${\displaystyle F_{\mu \nu}}$${\displaystyle \gamma _{\mu }=e_{\mu }^{a}\gamma _{a}}$${\displaystyle D_{\mu}}$ ${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\tfrac {1}{4}}\omega _{\mu }^{ab}\gamma _{ab}}$${\displaystyle \gamma _{ab}=\gamma _{a}\gamma _{b}}$${\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}}$

^{超対称性変換則は[12]}によって3つのフェルミオン項まで与えられる^：324

${\displaystyle \delta e^{a}{}_{\mu }={\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\gamma ^{a}\psi _{\mu }, }$

${\displaystyle \delta \psi _{\mu }=D_{\mu }\epsilon +{\tfrac {1}{32}}e^{-\phi }(\gamma _{\mu }{}^{\nu \rho \sigma }-9\delta _{\mu }^{\nu }\gamma ^{\rho \sigma })\epsilon H_{\nu \rho \sigma },}$

${\displaystyle \delta B_{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}e^{\phi }{\bar {\epsilon }}(\gamma _{\mu }\psi _{\nu }-\gamma _{\nu }\psi _{\mu }-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\gamma _{\mu \nu }\lambda )+{\tfrac {\kappa }{g}}e^{\phi /2}{\bar {\epsilon }}\gamma _{[\mu }{\text{tr}}(\chi A_{\nu ]}),}$

${\displaystyle \delta \phi =-{\tfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\bar {\epsilon }}\lambda ,}$

${\displaystyle \delta \lambda =-{\tfrac {\kappa }{\sqrt {2}}}{\partial \!\!\!/}\phi +{\tfrac {1}{8{\sqrt {2}}}}e^{-\phi }\gamma ^{\mu \nu \rho }\epsilon H_{\mu \nu \rho },}$

${\displaystyle \delta A_{\mu }^{a}={\tfrac {g}{2\kappa }}e^{\phi /2}{\bar {\epsilon }}\gamma _{\mu }\chi ^{a},}$

${\displaystyle \delta \chi ^{a}=-{\tfrac {\kappa }{4g}}e^{-\phi /2}\gamma ^{\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}\epsilon .}$

超対称性パラメータは で表されます。これらの変換規則は、キリングスピノル方程式を構築し、超対称基底状態を見つけるのに役立ちます。 ${\displaystyle \epsilon }$

古典レベルでは、超重力は任意のゲージ群を持つが、すべてのゲージ群が量子レベルで矛盾しないわけではない。^{[13] : 98–101}グリーン・シュワルツ異常相殺機構は、六方図でゲージ異常、混合異常、重力異常が消えるときを示すために使用される。^[4]特に、唯一の異常のないタイプI型超重力理論は、、、、およびのゲージ群を持つ理論である。後に、アーベル因子を持つ後者の2つは量子重力の矛盾した理論であることが判明した。^[14]残りの2つの理論はどちらも弦理論への紫外線完成を持ち、対応する弦理論も弦レベルで異常フリーであることが示される。 ${\displaystyle {\text{SO}}(32)}$${\displaystyle E_{8}\times E_{8}}$${\displaystyle E_{8}\times {\text{U}}(1)^{248}}$${\displaystyle {\text{U}}(1)^{496}}$

タイプ I 超重力は、タイプ I 弦理論と両方のヘテロティック弦理論の低エネルギー有効場理論である。特に、タイプ I 弦理論とヘテロティック弦理論はゲージ群を持つタイプ I 超重力に帰着し、ヘテロティック弦理論はゲージ群を持つタイプ I 超重力に帰着する。^{[13] : 92–93}弦理論では超重力が受ける追加の補正があり、特にチャーン・サイモンズ項はツリーレベルで見つかったヤン・ミルズ チャーン・サイモンズ 3 形式とローレンツ チャーン・サイモンズ 3 形式の線形結合になる。^[15]この後者の 3 形式は、次式で与えられる高階微分補正である 。${\displaystyle {\text{SO}}(32)}$${\displaystyle {\text{SO}}(32)}$${\displaystyle E_{8}\times E_{8}}$${\displaystyle E_{8}\times E_{8}}$${\displaystyle \omega _{\text{YM}}\rightarrow \omega _{\text{YM}}-\omega _{\text{L}}}$

${\displaystyle \omega _{\text{L}}={\text{tr}}(\omega \wedge d\omega +{\tfrac {2}{3}}\omega \wedge \omega \wedge \omega )}$、

ここで、 はスピン接続です。この項が含まれる場合に作用の超対称性を維持するには、 の 2 次までの高次微分補正を作用に追加する必要があります。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \kappa }$

タイプI弦理論では、ゲージ結合定数は10次元ヤン・ミルズ結合定数と で関連し、結合定数は弦の長さと で関連している。[ ^{8] : 318}一方、ヘテロティック弦理論では、重力結合定数は弦の長さと で関連している。^{[13] : 108}${\displaystyle g_{YM}^{2}=g^{2}g_{s}}$${\displaystyle l_{s}={\sqrt {\alpha '}}}$${\displaystyle g^{2}=4\pi (2\pi l_{s})^{6}}$${\displaystyle 2\kappa =l_{s}g}$

アインシュタインフレームの場は弦の状態に対応する場と同じではない。代わりに、ワイル変換とディラトン再定義を通じて、作用をさまざまな弦フレームに変換する必要がある^{[13] ：93}

${\displaystyle {\text{Heterotic}}:\ \ \ \ \ \ \ \ g_{\mu \nu }=e^{-\phi _{h}/2}g_{h,\mu \nu },\ \ \ \ \ \ \phi =\phi _{h}/2,}$

${\displaystyle {\text{Type I}}:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g_{\mu \nu }=e^{-\phi _{I}/2}g_{I,\mu \nu },\ \ \ \ \ \ \ \phi =-\phi _{I}/2.}$

タイプ I 弦理論とヘテロティック弦理論の間のS 双対性は、それぞれの弦フレームの作用が正しい場の再定義と等価であるため、作用のレベルで見ることができます。^[16]同様に、ヘテロティック弦理論とM 理論の間の双対性を記述するHořava–Witten 理論も、 11 次元超重力を上でコンパクト化すると超重力が生じるため、超重力のレベルで見ることができます。^[16]${\displaystyle {\text{SO}}(32)}$${\displaystyle E_{8}\times E_{8}}$${\displaystyle S^{1}/\mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle E_{8}\times E_{8}}$