順方向運動学

ロボットの運動学において、順運動学とはロボットの運動方程式を用いて関節パラメータの指定された値からエンドエフェクタの位置を計算することを指します。^[1]

ロボットの運動学方程式は、ロボット工学、コンピュータ ゲーム、アニメーションで使用されます。エンド エフェクタの指定された位置を実現する関節パラメータを計算する逆のプロセスは、逆運動学と呼ばれます。

ロボットの直列チェーンの運動学方程式は、各関節で許容される相対的な動きを特徴付ける剛体変換[Z]と、各リンクの寸法を定義する別の剛体変換 [X] を使用して得られます。結果は、チェーンのベースからエンドリンクまでのジョイント変換とリンク変換を交互に繰り返す剛体変換のシーケンスであり、エンドリンクの指定された位置に等しくなります。

${\displaystyle [T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}],\!}$

ここで[T]はエンドリンクの位置を決める変換である。これらの方程式はシリアルチェーンの運動学方程式と呼ばれる。^[2]

1955年、ジャック・デナビットとリチャード・ハルテンバーグは、空間リンクの座標フレームを標準化するために、ジョイントマトリックス[Z]とリンクマトリックス[X]の定義に関する規則を導入しました。^{[3] [4]}この規則は、ジョイントフレームをZ軸に沿ったねじ変位で構成されるように配置します 。

${\displaystyle [Z_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i}),}$

リンクフレームをX軸に沿ったねじ変位となるように配置する。

${\displaystyle [X_{i}]=\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}).}$

この表記法を用いると、各変換リンクは直列チェーンロボットに沿って進み、座標変換によって記述することができる。

${\displaystyle {}^{i-1}T_{i}=[Z_{i}][X_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i})\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}),}$

ここで、θ _i、d _i、α _i,i+1、a _i,i+1は、デナビット・ハルテンベルグパラメータとして知られています。

nリンクの直列チェーンの運動学方程式は、関節パラメータθ _iとともに次のように与えられる^[5]。

${\displaystyle [T]={}^{0}T_{n}=\prod _{i=1}^{n}{}^{i-1}T_{i}(\theta _{i}),}$

ここで、はリンクのフレームからリンクへの変換行列です。ロボット工学では、これらは通常、デナビット・ハルテンベルグパラメータによって記述されます。^[6]${\displaystyle {}^{i-1}T_{i}(\theta _{i})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i-1}$

これらの操作に関連付けられた行列は次のとおりです。

${\displaystyle \operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad \operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i})={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

同様に、

${\displaystyle \operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})={\begin{bmatrix}1&0&0&a_{i,i+1}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad \operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i+1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

デナビット・ハルテンベルグの慣性法を用いると、リンク変換行列[ ^i-1 T _i ]は次のように なる。

${\displaystyle \operatorname {} ^{i-1}T_{i}={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}\cos \alpha _{i,i+1}&\sin \theta _{i}\sin \alpha _{i,i+1}&a_{i,i+1}\cos \theta _{i}\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}\cos \alpha _{i,i+1}&-\cos \theta _{i}\sin \alpha _{i,i+1}&a_{i,i+1}\sin \theta _{i}\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},}$

デナビット・ハルテンベルグ行列として知られています。

順運動学方程式は、3D コンピュータ グラフィックスでモデルをアニメーション化する方法として使用できます。

順方向運動学アニメーションの基本的な概念は、指定された時間におけるモデルの特定部分の位置が、オブジェクトの位置と方向、および多関節モデルの関節に関する情報から計算されるというものです。たとえば、アニメーション化するオブジェクトが肩が固定された腕である場合、親指の先端の位置は、肩、肘、手首、親指、および指関節の関節の角度から計算されます。これらの関節のうち 3 つ (肩、手首、および親指の付け根) には複数の自由度があり、そのすべてを考慮する必要があります。モデルが完全な人間の姿である場合、肩の位置もモデルの他のプロパティから計算する必要があります。

順方向運動学アニメーションは、逆方向運動学アニメーションとこの計算方法によって区別されます。逆方向運動学では、関節部分の方向は、モデル上の特定の点の目的の位置から計算されます。また、モデルの動きがアニメーターによって直接定義されるという点でも、他のアニメーション システムと区別されます。重力や他のモデルとの衝突など、モデルに影響を及ぼす可能性のある物理法則は考慮されません。

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