運動連鎖

機械工学において、運動連鎖とは、関節で接続された剛体の集合体であり、拘束された運動を提供する機械システムの数学モデルである。^[¹^]連鎖という言葉が示すように、剛体、つまりリンクは、他のリンクとの接続によって拘束される。例としては、通常の鎖のように、リンクが直列に接続された単純な開鎖があり、これは典型的なロボットマニピュレータの運動モデルである。^[²^]

2つのリンク間の接続部、すなわちジョイントを数学的にモデル化したものを運動対と呼びます。運動対は、ロボット工学の基本となるヒンジジョイントやスライドジョイント（しばしば低次対と呼ばれる）と、カムやギアリングに不可欠な表面接触ジョイント（高次対と呼ばれる）をモデル化します。これらのジョイントは一般的にホロノミック拘束としてモデル化されます。運動図は、運動連鎖を示す機械システムの概略図です。

現代の運動連鎖の利用には、リンク機構の解析、精密機構のフレキシブルジョイントから生じるコンプライアンス、コンプライアント機構およびマイクロ電気機械システムにおけるリンクコンプライアンス、ケーブルロボットおよびテンセグリティシステムにおけるケーブルコンプライアンスが含まれます。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

可動性フォーミュラ

運動連鎖の自由度、または可動性は、連鎖の構成を定義するパラメータの数です。^{[ 2 ]}^{[ 5 ]} $空間内を移動するn$ 個の剛体のシステムは、固定フレームに対して $6n の$ 自由度を持ちます。このフレームは物体の数に含まれるため、可動性は固定フレームを形成するリンクに依存しません。つまり、このシステムの自由度は $M = 6(N - 1)$ であり、 $N = n + 1$ は移動する物体の数と固定された物体の数の合計です。

物体を接続するジョイントは制約を課します。具体的には、ヒンジとスライダーはそれぞれ 5 つの制約を課し、したがって 5 つの自由度を減少させます。ジョイントが課す制約の数 $c をジョイントの自由度$ $f$ で定義すると便利です。ここで、 $c = 6 - f$ です。1 自由度のジョイントであるヒンジまたはスライダーの場合、 $f = 1$ となり、したがって $c = 6 - 1 = 5$ となります。

一般的に、 $d$ $n 個の$ 可動リンクと $j 個$ のジョイントから構成される運動連鎖の可動性の自由度は、それぞれ自由度 $f i$ （ $i = 1, 2, \dots, j$ ）を持ち、次式で与えられる。

M=dn-\sum _{i=1}^{j}(d-f_{i})=d(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}f_{i}

ここで $N$ はリンクの総数であり、固定リンクを含む。空間リンクが使用される。 $d=6$ 平面リンク機構は $d=3$ この結果はチェビシェフ・グリュブラー・クッツバッハ基準として知られています。

運動連鎖の解析

運動連鎖の拘束方程式は、各関節で許容される動きの範囲を連鎖内のリンクの寸法に結び付け、入力パラメータの特定の値に関連付けられた連鎖の構成を決定するために解かれる代数方程式を形成します。この構成は自由度と呼ばれます。

運動連鎖の拘束方程式は、各関節で許容される相対運動を特徴付ける剛体変換 $[Z]と、各リンクの寸法を定義する個別の剛体変換$ $[X]$ を使用して得られます。直列開鎖の場合、結果として得られるのは、鎖の基部から末端リンクまで、関節変換とリンク変換を交互に繰り返す剛体変換のシーケンスであり、末端リンクの指定された位置に等しくなります。直列に接続された $n個$ のリンクからなる鎖の運動方程式は次のようになります。

[T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\cdots [X_{n-1}][Z_{n}],\!

ここで、 $[T]$ はエンドリンクの位置を示す変換です。チェーンには、それが取り付けられている地面フレームからなる「ゼロ番目」のリンクが含まれていることに注意してください。これらの方程式は、直列チェーンの順運動学方程式と呼ばれます。 ^{[ 6 ]}

様々な複雑さを持つ運動連鎖は、運動連鎖内でループを形成する直列連鎖の運動方程式を等式化することによって解析される。これらの方程式はしばしばループ方程式と呼ばれる。

チェーンの複雑さ（順運動学と逆運動学の計算という観点から）は、以下の要因によって決まります。

そのトポロジー：直列チェーン、並列マニピュレータ、ツリー構造、またはグラフ。
その幾何学的形状：隣接する関節は空間的にどのように接続されているのか？

説明

空間内の2つ以上の剛体は、まとめて剛体システムと呼ばれます。運動学的拘束によって、これらの独立した剛体の動きを制限できます。運動学的拘束とは、剛体間の拘束であり、剛体システムの自由度を減少させるものです。^{[ 5 ]}

運動連鎖の合成

運動連鎖の拘束方程式を逆算して、システムの望ましい動きの仕様からリンクの寸法を決定することができます。これは運動学的合成と呼ばれます。^{[ 7 ]}

おそらく最も発展した運動学的合成の定式化は、4節リンク機構に関するもので、これはブルメスター理論として知られています。^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

フェルディナント・フロイデンシュタインは、1950年代から始まったリンク機構の運動学的合成への貢献により、現代運動学の父と呼ばれることが多い。彼が新しく開発されたコンピュータを使用してフロイデンシュタイン方程式を解いたことは、コンピュータ支援設計システムの原型となった。^{[ 7 ]}

この研究は、球状および空間的なメカニズムの合成に一般化されている。^{[ 2 ]}

参考文献

↑ Reuleaux, F. , 1876『機械の運動学』（ABW Kennedy 訳・注釈）、Dover、ニューヨークより再版（1963年）
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[Reuleaux1876-1] Reuleaux, F. , 1876『機械の運動学』（ABW Kennedy 訳・注釈）、Dover、ニューヨークより再版（1963年）

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[3] Larry L. Howell、2001年、『Compliant mechanisms』、John Wiley & Sons。

[4] アレクサンダー・スロカム、1992年、『精密機械設計』、SME

[Uicker2003-5] 1 2 J. J. Uicker、GR Pennock、および JE Shigley、2003、機械と機構の理論、オックスフォード大学出版局、ニューヨーク。

[6] JM McCarthy、1990年、『理論運動学入門』、 MIT Press、マサチューセッツ州ケンブリッジ。

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[8] Suh, CH、および Radcliffe, CW、『運動学と機構設計』、John Wiley and Sons、ニューヨーク、1978 年。

[9] Sandor, GN、および Erdman, AG、1984、Advanced Mechanism Design: Analysis and Synthesis、Vol. 2、Prentice-Hall、Englewood Cliffs、NJ。

[10] Hunt, KH、『機構の運動幾何学』、オックスフォード工学科学シリーズ、1979年

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関連項目

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