対偶

古典力学では、対偶とは2つの物体間の接続であり、相対的な動きに制約を課す（運動学）。ドイツのエンジニア、フランツ・ルーローは、機械の研究に対する新しいアプローチとして対偶を導入し^{[1] 、}単純な機械で構成される要素の概念に進歩をもたらしました^[2]。

運動学は古典力学の一分野であり、運動の原因を考慮せずに点、物体（オブジェクト）、物体のシステム（オブジェクトのグループ）の運動を記述します。 ^[3]研究分野としての運動学は、しばしば「運動の幾何学」と呼ばれます。^[4]詳細については、運動学を参照してください。

Hartenberg & Denavit ^[5]は運動学的対偶の定義を提示している。

剛体間の接続に関して、ルーローは 2 種類の接続を認識し、それらを高次の対 (要素) と低次の対 (要素) と呼んだ。高次の対では、ボール ベアリングやディスク カムとフォロワーのように、2 つの要素が点または線に沿って接触し、一致点の相対的な動きは異なる。低次の対は、ピン接続、クロスヘッド、ボール ソケット ジョイントなどのように、面接触を視覚化できる対である。要素の一致点の相対的な動き、したがってそれらのリンクの相対的な動きは類似しており、1 つのリンクから他のリンクへの要素の交換は、高次の対のようにパーツの相対的な動きを変更しない。

運動学では、運動学的対を形成する 2 つの接続された物理的オブジェクトは「剛体」と呼ばれます。メカニズム、マニピュレータ、またはロボットの研究では、2 つのオブジェクトは通常「リンク」と呼ばれます。

下部ペアは、移動体の表面と固定体の対応する表面との間の接触を制限する理想的なジョイントです。 下部ペアは、ナットとネジ、 2 つのプロペラ シャフトを接続するために使用されるユニバーサル ジョイントなど、2 つのメンバー間に表面または領域接触が発生するペアです。

下関節の場合：

• 回転Rジョイント、またはヒンジ ジョイントでは、移動体の線が固定体の線と同一直線上にあり、移動体のこの線に垂直な平面が固定体の同様の垂直平面と接触している必要があります。これにより、リンクの相対的な動きに 5 つの制約が課せられ、したがって 1 つの自由度があります。
• 直動型Pジョイント、またはスライダーでは、移動体の線が固定体の線と同一直線上にあり、移動体のこの線に平行な平面が固定体の同様の平行平面と接触している必要があります。これにより、リンクの相対的な動きに 5 つの制約が課せられ、したがって 1 つの自由度があります。
• ねじジョイントまたはらせん状のHジョイントでは、2 つのリンクにねじ山を切る必要があります。これにより、リンク間で回転とスライドの動きが生じます。このジョイントには 1 つの自由度があります。
• 円筒形のCジョイントでは、移動体の線が固定体の線と同一直線上になければなりません。これは回転ジョイントとスライド ジョイントを組み合わせたものです。このジョイントには 2 つの自由度があります。
• ユニバーサルUジョイントは、軸が互いに傾斜している剛性リンクを接続する、交差する相互に直交する 2 つの回転ジョイントで構成されます。
• 球面Sジョイントまたはボール ソケット ジョイントでは、移動体の 1 点が固定体内で静止している必要があります。このジョイントには、直交軸の周りの回転に対応する 3 つの自由度があります。
• 平面ジョイントでは、移動体の平面が固定体の平面と接触している必要があります。このジョイントには 3 つの自由度があります。移動面は固定面に沿って 2 次元でスライドでき、固定面に対して垂直な軸上で回転できます。
• 平行四辺形Paジョイントは、平行四辺形の角にある 4 つの回転ジョイントによって接続された 4 つのリンクで構成されます。

一般に、高次の対とは、移動体の曲線または面が固定体の曲線または面との接触を維持することを要求する拘束です。たとえば、カムとその従動子の間の接触は、カム ジョイントと呼ばれる高次の対です。同様に、2 つのギアのかみ合う歯を形成するインボリュート曲線間の接触は、面上を転がる車輪と同様に、カム ジョイントです。これは点接触または線接触です。

ラッピング/上位ペアは、ベルト、チェーン、その他のデバイスで構成される拘束です。ベルト駆動プーリはこのペアの例です。このタイプのは、上位ペア (点接触または線接触) と非常に似ていますが、複数の点接触があります。

機構、マニピュレータ、またはロボットは、通常、ジョイントによって互いに接続されたリンクで構成さ  れています。SCARAロボットなどのシリアル マニピュレータは、リンクとジョイントの単一のチェーンを介して、移動プラットフォームをベースに接続します。ロボット工学では、移動プラットフォームは「エンド エフェクタ」と呼ばれます。Gough -Stewart機構などのパラレル マニピュレータでは、複数のシリアル チェーンが移動プラットフォームをベースに接続します。パラレル マニピュレータの個々のシリアル チェーンは、「リム」または「レッグ」と呼ばれます。トポロジーは、マニピュレータまたはロボットを形成するリンクとジョイントの配置を指します。ジョイント表記は、機構、マニピュレータ、またはロボットのジョイント トポロジーを定義する便利な方法です。

ジョイントは次のように略されます: 直動型P、回転型R、ユニバーサル型U、円筒型C、球面型S、平行四辺形Pa。作動型またはアクティブ ジョイントは、下線で識別されます (つまり、P、 R、U、C、S、Pa )。

関節表記法は、機構を形成する関節の種類と順序を指定します。^[6]関節の順序は、ベースの最初の関節の略語から移動プラットフォームの最後の略語までで識別されます。たとえば、シリアル SCARA ロボットの関節表記はRRPで、2 つのアクティブ回転関節RRとそれに続くアクティブ直動P関節で構成されていることを示します。繰り返し関節は番号でまとめることができるため、SCARA ロボットの関節表記は 2 RPなどと書くこともできます。並列 Gough-Stewart 機構の関節表記は6-U P Sまたは6(U P S)で、6 つの同一のシリアル リムで構成されていることを示します。  各リムはユニバーサルU関節、アクティブ直動P 関節、および球面S関節で構成

• メカニズム（工学）
• マニピュレーター（デバイス）
• リンケージ（機械式）

• Hartenberg, RS & J. Denavit (1964) Kinematic synthesis of linkages、pp 17,18、ニューヨーク: McGraw-Hill、コーネル大学からのオンラインリンク。