ポアソン括弧

数学および古典力学において、ポアソン括弧はハミルトン力学における重要な二項演算であり、ハミルトン運動方程式において中心的な役割を果たします。ハミルトン運動方程式は、ハミルトン力学系の時間発展を記述します。ポアソン括弧はまた、正準座標系を別の正準座標系に写像する、正準変換と呼ばれる特定の種類の座標変換を区別します。「正準座標系」は、正準位置変数と正準運動量変数（以下、で表す）から構成されます。$q_i$そして${\displaystyle p_{i}}$（それぞれ）正準ポアソン括弧関係を満たす。可能な正準変換の集合は常に非常に豊富である。例えば、ハミルトニアン自体を選択することがしばしば可能である。${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(q,p,t)}$新しい正準運動量座標の一つとして。

より一般的な意味では、ポアソン括弧はポアソン代数を定義するために使用され、ポアソン多様体上の関数の代数はその特殊な場合です。他にも一般的な例があります。リー代数の理論では、リー代数のテンソル代数がポアソン代数を形成します。これがどのようにして生じるかの詳細な構成は、普遍包絡代数の記事で説明されています。普遍包絡代数の量子変形は、量子群の概念につながります。

これらの物体はすべて、フランスの数学者シメオン・ドニ・ポアソンにちなんで名付けられました。彼は1809年の力学に関する論文でポアソン括弧を導入しました。^{[ 1 ] [ 2 ]}

位相空間と時間に依存する2つの関数fとgが与えられた場合、それらのポアソン括弧は${\displaystyle \{f,g\}}$は位相空間と時間に依存する別の関数です。以下の規則は任意の３つの関数に対して成り立ちます。${\displaystyle f,\,g,\,h}$位相空間と位相時間について：

反交換性

${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$

双線形性

${\displaystyle \{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},}$${\displaystyle \{h,af+bg\}=a\{h,f\}+b\{h,g\},\quad a,b\in \mathbb {R} }$

ライプニッツの法則

${\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}$

ヤコビのアイデンティティ

${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$

また、関数が${\displaystyle k}$位相空間全体で一定である（ただし時間に依存する可能性がある）ならば、${\displaystyle \{f,\,k\}=0}$いかなる場合でも${\displaystyle f}$。

正準座標（ダルブー座標とも呼ばれる）${\displaystyle (q_{i},\,p_{i})}$位相空間上で、2つの関数が与えられた場合${\displaystyle f(p_{i},\,q_{i},t)}$そして${\displaystyle g(p_{i},\,q_{i},t)}$[^{注1 ]}ポアソン括弧は次の形式をとる ^。$${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}$$

正準座標のポアソン括弧は $${\displaystyle {\begin{aligned}\{q_{k},q_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial q_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial q_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(\delta _{ki}\cdot 0-0\cdot \delta _{li}\right)=0,\\\{p_{k},p_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial p_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(0\cdot \delta _{li}-\delta _{ki}\cdot 0\right)=0,\\\{q_{k},p_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial q_{k}}{\partial $\left(\delta _{ki}\cdot \delta _{li}-0\cdot 0\right)=\delta _{kl},\end{aligned}}}$$$ どこ$\displaystyle \delta _{ij}}$はクロネッカーデルタです。

ハミルトンの運動方程式は、ポアソン括弧を用いて等価な表現を持つ。これは、明示的な座標系において最も直接的に示すことができる。${\displaystyle f(p,q,t)}$は解の軌道多様体上の関数である。すると多変数連鎖律から、 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.}$$

さらに、${\displaystyle p=p(t)}$そして${\displaystyle q=q(t)}$ハミルトン方程式の解となること、すなわち、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dq}{dt}}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}=\{q,{\mathcal {H}}\},\\{\frac {dp}{dt}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}=\{p,{\mathcal {H}}\}.\end{aligned}}}$$

それから $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}f(p,q,t)&={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\\&=\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}~.\end{aligned}}}$$

したがって、関数の時間発展${\displaystyle f}$シンプレクティック多様体上の は、時間 を持つ1 パラメータ族のシンプレクティック同相写像(すなわち、標準変換、面積保存微分同相写像)として与えられる。${\displaystyle t}$パラメータは、ハミルトニアン運動はハミルトニアンによって生成される正準変換である。つまり、ポアソン括弧は保存されるため、いつでも${\displaystyle t}$ハミルトン方程式の解において、 $${\displaystyle q(t)=\exp(-t\{{\mathcal {H}},\cdot \})q(0),\quad p(t)=\exp(-t\{{\mathcal {H}},\cdot \})p(0),}$$ ブラケット座標として使用できます。ポアソンブラケットは正準不変量です。

座標をドロップして、 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{{\mathcal {H}},\cdot \}\right)f.}$$

導関数の対流部分の演算子は、${\displaystyle i{\hat {L}}=-\{{\mathcal {H}},\cdot \}}$は、リウヴィル式と呼ばれることもあります（リウヴィルの定理（ハミルトニアン）を参照）。

ポアソン括弧の概念は、ポアソン行列を定義することによって行列の概念に拡張することができる。

次の正準変換を考えてみましょう。$${\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}}\quad \rightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{bmatrix}}}$$定義する${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$ポアソン行列は次のように定義される。${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$、 どこ${\displaystyle J}$は、座標の集合を順序付けるのに用いられるのと同じ規則に基づくシンプレクティック行列である。定義から次のことが導かれる。$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=[MJM^{T}]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{N+k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{N+k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{k}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial q_{k}}}\right)=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }.}$$

ポアソン行列は、以下の既知の性質を満たす。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}^{T}&=-{\mathcal {P}}\\|{\mathcal {P}}|&={\frac {1}{|M|^{2}}}\\{\mathcal {P}}^{-1}(\varepsilon )&=-(M^{-1})^{T}JM^{-1}=-{\mathcal {L}}(\varepsilon )\\\end{aligned}}}$$

どこで${\textstyle {\mathcal {L}}(\varepsilon )}$これはラグランジュ行列として知られており、その要素はラグランジュ括弧に対応します。最後の恒等式は次のように表すこともできます。$${\displaystyle \sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij}}$$ここでの総和は、一般化座標と一般化運動量の両方を含むことに注意してください。

ポアソン括弧の不変性は次のように表すことができます。 ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=J_{ij}}$これは直接的にシンプレクティック条件につながる。${\textstyle MJM^{T}=J}$[ ^{3 ]​}

可積分系は、エネルギーに加えて運動の保存量を持つ。このような運動の保存量は、ポアソン括弧の下でハミルトニアンと可換である。ある関数を仮定する。${\displaystyle f(p,q)}$は運動の保存量である。これは、もし${\displaystyle p(t),q(t)}$がハミルトンの運動方程式の軌道または解である場合、その軌道に沿って：$${\displaystyle 0={\frac {df}{dt}}}$$ここで、上記と同様に、中間ステップは運動方程式を適用することによって行われ、我々は${\displaystyle f}$は時間に対して明示的には依存しない。この方程式はリウヴィル方程式として知られている。リウヴィルの定理の内容は、分布関数によって与えられる測度 の時間発展が時間に対して一定であるということである。${\displaystyle f}$上記の式で与えられる。

ポアソン括弧が${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$消える（${\displaystyle \{f,g\}=0}$）、 それから${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$ハミルトン系が完全に積分可能であるためには、${\displaystyle n}$独立した運動の定数は相互に反比例しなければならない。${\displaystyle n}$は自由度数です。

さらに、ポアソンの定理によれば、2つの量が${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$明示的に時間に依存しない（${\displaystyle A(p,q),B(p,q)}$）運動の定数なので、ポアソン括弧も同様です。${\displaystyle \{A,\,B\}}$これはヤコビ恒等式から導かれる（以下のセクションを参照）。しかし、ポアソンの定理は、可能な運動の定数の数が限られているため、常に有用な結果をもたらすとは限らない（${\displaystyle 2n-1}$システムの場合${\displaystyle n}$自由度）であるため、結果は自明なもの（定数、または${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$）

させて${\displaystyle M}$シンプレクティック多様体、すなわちシンプレクティック形式（2形式）を備えた多様体である。${\displaystyle \omega }$これは閉じている（つまり、その外微分は${\displaystyle d\omega }$（消滅する）かつ非退化である。例えば、上記の処理では、${\displaystyle M}$である${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$そして、 $${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dq_{i}\wedge dp_{i}.}$$

もし${\displaystyle \iota _{v}\omega }$内部製品または収縮操作は、${\displaystyle (\iota _{v}\omega )(u)=\omega (v,\,u)}$非退化とは、すべての1形式に対して、${\displaystyle \alpha }$独自のベクトル場が存在する${\displaystyle \Omega _{\alpha }}$そのため${\displaystyle \iota _{\Omega _{\alpha }}\omega =\alpha }$あるいは、${\displaystyle \Omega _{dH}=\omega ^{-1}(dH)}$ならば${\displaystyle H}$は滑らかな関数です${\displaystyle M}$ハミルトニアンベクトル場${\displaystyle X_{H}}$定義すると${\displaystyle \Omega _{dH}}$容易にわかるように、 $${\displaystyle {\begin{aligned}X_{p_{i}}&={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\\X_{q_{i}}&=-{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}.\end{aligned}}}$$

ポアソン括弧${\displaystyle \ \{\cdot ,\,\cdot \}}$( M , ω )上の双線形演算は、微分可能な関数上で定義され、次のように表される。${\displaystyle \{f,\,g\}\;=\;\omega (X_{f},\,X_{g})}$2つの関数のポアソン括弧は、それ自体がM上の関数である。ポアソン括弧は反対称である。なぜなら： $${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=-\omega (X_{g},X_{f})=-\{g,f\}.}$$

さらに、

ここで、X _g f は、関数fに方向微分として適用されるベクトル場X _{gを表し、}${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{g}}f}$は関数fの（完全に等価な）リー微分を表します。

αがM上の任意の1形式である場合、ベクトル場Ωα_は（少なくとも局所的に）流れを生成する。${\displaystyle \phi _{x}(t)}$境界条件を満たす${\displaystyle \phi _{x}(0)=x}$そして1階微分方程式 $${\displaystyle {\frac {d\phi _{x}}{dt}}=\left.\Omega _{\alpha }\right|_{\phi _{x}(t)}.}$$

の${\displaystyle \phi _{x}(t)}$は、すべてのtに対してxの関数としてシンプレクティック同相写像(正準変換)となるのは、${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;0}$; この条件が満たされる場合、Ω _αはシンプレクティックベクトル場と呼ばれる。カルタンの恒等式を思い出すと${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega \;=\;d(\iota _{X}\omega )\,+\,\iota _{X}d\omega }$そしてd ω = 0なので、${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;d\left(\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega \right)\;=\;d\alpha }$したがって、Ω _αは、α が閉形式である場合に限りシンプレクティックベクトル場となる。${\displaystyle d(df)\;=\;d^{2}f\;=\;0}$したがって、すべてのハミルトンベクトル場X _fはシンプレクティックベクトル場であり、ハミルトン流は正準変換から構成されることがわかる。上記の(1)から、ハミルトン流の下で${\displaystyle X_{\mathcal {H}}}$、 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(\phi _{x}(t))=X_{\mathcal {H}}f=\{f,{\mathcal {H}}\}.}$$

これはハミルトン力学における基本的な結果であり、位相空間上で定義された関数の時間発展を規定する。上記のように、${\displaystyle \{f,{\mathcal {H}}\}=0}$、f はシステムの運動の保存量です。さらに、正準座標 (${\displaystyle \{p_{i},\,p_{j}\}\;=\;\{q_{i},q_{j}\}\;=\;0}$そして${\displaystyle \{q_{i},\,p_{j}\}\;=\;\delta _{ij}}$) この式から、システムの時間発展に関するハミルトンの方程式が直ちに導かれる。

また、（１）から、ポアソン括弧は導出であることがわかる。つまり、ライプニッツの積の法則の非可換版を満たす。

ポアソン括弧はハミルトニアンベクトル場のリー括弧と密接に関係している。リー微分は微分であるため、 $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\iota _{u}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}u}\omega +\iota _{u}{\mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,u]}\omega +\iota _{u}{\mathcal {L}}_{v}\omega .}$$

したがって、vとuがシンプレクティックである場合、${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\omega =0={\mathcal {L}}_{u}\omega }$カルタンの正体、そして${\displaystyle \iota _{u}\omega }$閉じた形式です。 $${\displaystyle \iota _{[v,u]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{u}\omega =d(\iota _{v}\iota _{u}\omega )+\iota _{v}d(\iota _{u}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{u}\omega )=d(\omega (u,v)).}$$

したがって、${\displaystyle [v,u]=X_{\omega (u,v)}}$、 となることによって

したがって、関数のポアソン括弧は、関連するハミルトンベクトル場のリー括弧に対応します。また、2 つのシンプレクティックベクトル場のリー括弧はハミルトンベクトル場であり、したがってシンプレクティックでもあることを示しました。抽象代数学の言葉で言えば、シンプレクティックベクトル場はM上の滑らかなベクトル場のリー代数の部分代数を形成し、ハミルトンベクトル場はこの部分代数のイデアルを形成します。シンプレクティックベクトル場は、 Mのシンプレクティック同相写像の (無限次元)リー群のリー代数です。

ポアソン括弧の ヤコビ恒等式は、$${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$$ これはベクトル場のリー括弧に対応する恒等式から導かれるが、これは局所的に定数関数を除いてのみ成り立つ。しかし、ポアソン括弧のヤコビ恒等式を証明するには、次のことを示せば十分である。 $${\displaystyle \operatorname {ad} _{\{g,f\}}=\operatorname {ad} _{-\{f,g\}}=[\operatorname {ad} _{f},\operatorname {ad} _{g}]}$$ オペレーターが${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$M上の滑らかな関数は次のように定義されます。${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}(\cdot )\;=\;\{\cdot ,\,g\}}$そして右側の括弧は演算子の交換子であり、${\displaystyle [\operatorname {A} ,\,\operatorname {B} ]\;=\;\operatorname {A} \operatorname {B} -\operatorname {B} \operatorname {A} }$（１）により、演算子は${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$は演算子X _gに等しい。ヤコビ恒等式の証明は(3)から導かれる。なぜなら、-1 の係数を除いて、ベクトル場のリー括弧は微分演算子としてのそれらの交換子に等しいからである。

M 上の滑らかな関数の代数は、ポアソン括弧とともにポアソン代数を形成します。これは、ポアソン括弧の下でリー代数であり、さらにライプニッツの規則(2)を満たすためです。すべてのシンプレクティック多様体はポアソン多様体、つまり滑らかな関数に「波括弧」演算子があり、滑らかな関数がポアソン代数を形成する多様体であることを示しました。しかし、すべてのポアソン多様体がこのようにして生じるわけではありません。ポアソン多様体は、シンプレクティックの場合には生じない退化を許容するからです。

滑らかなベクトル場が与えられた場合${\displaystyle X}$構成空間上で、${\displaystyle P_{X}}$をその共役運動量とする。共役運動量写像は、リー括弧からポアソン括弧への リー代数反準同型写像である。$${\displaystyle \{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}.}$$

この重要な結果には、簡単な証明がふさわしい。ベクトル場を記述する。${\displaystyle X}$地点で${\displaystyle q}$構成 空間において$${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$$ どこ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$はローカル座標系です。${\displaystyle X}$表現 $${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$$ どこで${\displaystyle p_{i}}$運動量関数は座標に共役である。したがって、点に対して、${\displaystyle (q,p)}$位相空間において、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)&=\sum _{i}\sum _{j}\left\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\right\}\\&=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}\\&=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)\\&=-P_{[X,Y]}(q,p).\end{aligned}}}$$

上記はすべてに当てはまります${\displaystyle (q,p)}$望ましい結果が得られる。

ポアソン括弧は量子化によってモヤル括弧に変形する。つまり、異なるリー代数であるモヤル代数、あるいはヒルベルト空間では量子交換子に一般化される。これらのウィグナー・イノニュ群の縮約（古典極限、ħ → 0）によって上記のリー代数が得られる。

これをより明確かつ正確に述べると、ハイゼンベルク代数の普遍包絡代数は、ワイル代数（中心が単位元であるという関係を除けば）である。モヤル積は、記号代数上のスター積の特殊な場合である。記号代数とスター積の明確な定義は、普遍包絡代数に関する記事に記載されている。

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