逆運動学

逆運動学問題には、解析解が存在する場合もありますが、すべての場合に存在するわけではありません。その一例として、3D空間（位置自由度3、回転自由度3）を移動する6自由度（DOF）（例えば、回転関節6個）のロボットが挙げられます。ロボットの自由度がエンドエフェクタの自由度以上である場合、例えば回転関節7個を持つ7自由度ロボットの場合、逆運動学問題には無限に多くの解が存在し、解析解は存在しません。この例をさらに拡張すると、1つの関節を固定して他の関節を解析的に解くことは可能ですが、数値的手法の方がより良い解が得られる可能性があります。数値的手法では、追加の優先順位（最適化問題におけるコスト）に基づいて解を最適化することができます。

逆運動学問題の解析解は、エンドエフェクタの姿勢を入力として受け取り、関節位置を出力として与える閉形式の式である。${\displaystyle q=f(x)}$解析的逆運動学ソルバーは、数値ソルバーよりも大幅に高速で、与えられたエンドエフェクタの姿勢に対して複数の解を提供するが、解の数は有限である。

IKFastやInverse Kinematics LibraryなどのFOSSプログラムをはじめとする多くの異なるプログラムは、FABRIKソルバーなどの様々なアルゴリズムを使用して、これらの問題を迅速かつ効率的に解決することができます。これらのソルバーの問題点の一つは、隣接する2つの構成間で局所的に滑らかな解を必ずしも得られるとは限らないことです。そのため、逆運動学の反復解が必要な場合（例えば、高速制御ループ内で逆運動学を解く場合など）には、不安定性が発生する可能性があります。

多くの産業用6DOFロボットは、交差する軸を持つ3つの回転関節（「球面手首」）を備えています。これらのロボットは「直交平行基底と球面手首」を持つロボットとして知られており、想定される標準ジオメトリにおける距離である7つの運動学的パラメータによって定義できます。^{[ 11 ]}これらのロボットは、ロボットツールヘッドの任意の位置と回転に対して最大8つの独立した解を持つ可能性があります。C ++ ^{[ 12 ]}およびRust ^{[ 13 ]}用のオープンソースソリューションが存在します。OPWはROSフレームワークにも統合されています。^{[ 14 ]}

ヤコビアン逆法は、逆運動学を実装するシンプルかつ効果的な方法です。${\displaystyle m}$順運動学方程式、すなわち位置関数を支配する変数。これらの変数は、関節角度、長さ、またはその他の任意の実数値である可能性があります。たとえば、IKシステムが3次元空間に存在する場合、位置関数はマッピングとして見なすことができます。${\displaystyle p(x):\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$。 させて${\displaystyle p_{0}=p(x_{0})}$システムの初期位置を与え、

${\displaystyle p_{1}=p(x_{0}+\Delta x)}$

をシステムの目標位置とする。ヤコビアン逆法は、 の推定値を反復的に計算する。${\displaystyle \Delta x}$誤差を最小限に抑える ${\displaystyle ||p(x_{0}+\Delta x_{\text{estimate}})-p_{1}||}$。

小規模向け${\displaystyle \Delta x}$-ベクトルでは、位置関数の級数展開は次のようになります。

${\displaystyle p(x_{1})\approx p(x_{0})+J_{p}(x_{0})\Delta x}$、

どこ${\displaystyle J_{p}(x_{0})}$は、位置関数の(3 × m)ヤコビ行列です。${\displaystyle x_{0}}$。

ヤコビ行列の (i, k) 番目の要素は数値的に近似できる

$\displaystyle {\frac {\partial p_{i}}{\partial x_{k}}}\approx {\frac {p_{i}(x_{0,k}+h)-p_{i}(x_{0})}{h}}}$、

どこ${\displaystyle p_{i}(x)}$位置関数の i 番目の成分を示します。${\displaystyle x_{0,k}+h}$単に${\displaystyle x_{0}}$k番目の成分に小さなデルタを追加し、${\displaystyle h}$これは、比較的小さな正の値です。

ヤコビ行列のムーア・ペンローズ擬似逆行列（特異値分解を用いて計算可能）を取り、項を並べ替えると、

${\displaystyle \Delta x\approx J_{p}^{+}(x_{0})\Delta p}$、

どこ${\displaystyle \Delta p=p(x_{0}+\Delta x)-p(x_{0})}$。

逆ヤコビアン法を一度適用すると、目的の値の非常に大まかな推定値が得られます。${\displaystyle \Delta x}$-ベクトル。これをスケーリングするには、線探索を使用する必要があります。${\displaystyle \Delta x}$許容値に。${\displaystyle \Delta x}$以下のアルゴリズム（ニュートン・ラフソン法として知られる）によって改善することができる。

${\displaystyle \Delta x_{k+1}=J_{p}^{+}(x_{k})\Delta p_{k}}$

かつては${\displaystyle \Delta x}$-ベクトルによって誤差がほぼゼロにまで低下したため、アルゴリズムは終了するべきである。システムのヘッセ行列に基づく既存の手法は、望ましい収束を示すことが報告されている。${\displaystyle \Delta x}$ただし、場合によっては、より少ない反復回数で値が得られますが、より多くの計算リソースが必要になることもあります。

逆運動学の問題は、ヒューリスティック法を用いて近似することもできます。これらの方法は、単純な反復操作を実行して、徐々に解の近似値に導きます。ヒューリスティックアルゴリズムは計算コストが低く（最終姿勢を非常に速く返します）、通常は関節拘束をサポートしています。最も一般的なヒューリスティックアルゴリズムは、サイクリック座標降下法（CCD）^{[ 15 ]}と前方および後方到達逆運動学（FABRIK）^{[ 16 ]です。}