ユークリッド距離

数学において、ユークリッド空間内の2点間のユークリッド距離とは、それらの点を結ぶ線分の長さのことである。これは、ピタゴラスの定理を用いて点のデカルト座標から計算できるため、ピタゴラス距離と呼ばれることもある。

これらの名称は、古代ギリシャの数学者ユークリッドとピタゴラスに由来する。ユークリッドの『原論』に代表されるギリシャの演繹幾何学では、距離は数値ではなく、同じ長さの線分で表され、それらは「等しい」と考えられていた。距離の概念は、円を描く際に用いられるコンパスという道具に内在しており、円の中心点からすべての点が同じ距離にある。ピタゴラスの定理と距離計算との関連性が認識されたのは18世紀になってからのことである。

点ではない2つのオブジェクト間の距離は、通常、その2つのオブジェクトから得られる点のペア間の最小距離として定義されます。点から直線までの距離など、さまざまな種類のオブジェクト間の距離を計算する公式が知られています。高度な数学では、距離の概念は抽象的な距離空間に一般化され、ユークリッド距離以外の距離も研究されています。統計学や最適化におけるいくつかの応用例では、距離そのものの代わりにユークリッド距離の二乗が用いられます。

距離の公式

一次元

実数直線上の任意の2点間の距離は、それらの座標の数値差の絶対値、つまり絶対差です。したがって、 $p$ そして $q$ 実数直線上の 2 つの点である場合、それらの間の距離は次のように与えられます。^{[ 1 ]}

$d(p,q)=|pq|.$

同じ値を与えるが、より高次元に容易に一般化できる、より複雑な式は次のとおりです。^{[ 1 ]}

$d(p,q)={\sqrt {(pq)^{2}}}.$

この式では、2乗してから平方根を取ると、正の数はそのまま残りますが、負の数は絶対値に置き換えられます。^{[ 1 ]}

2次元

ユークリッド平面において、点を $p$ デカルト座標を持つ $(p_{1},p_{2})$ そしてポイント $q$ 座標を持っている $(q_{1},q_{2})$ すると、間の距離は $p$ そして $q$ は次のように与えられる：^{[ 2 ]}

$d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}}}.$

これは、水平辺と垂直辺を持つ直角三角形にピタゴラスの定理を適用することで確認できます。 $p$ に $q$ 斜辺として。平方根の中の2つの2乗の公式は水平方向と垂直方向の正方形の面積を与え、外側の平方根は斜辺上の正方形の面積を斜辺の長さに変換します。^{[ 3 ]}ピタゴラスの加算演算の観点から $\oplus$ 多くのソフトウェアライブラリで利用可能であるhypot同じ式は、次のように表現できます。^{[ 4 ]}

$d(p,q)=(p_{1}-q_{1})\oplus (p_{2}-q_{2})={\mathsf {hypot}}(p_{1}-q_{1},p_{2}-q_{2}).$

極座標で与えられた点の距離を計算することも可能である。 $p$ は $(r,\theta )$ そして極座標は $q$ は $(s,\psi )$ すると、それらの距離は^{[ 2 ]}余弦定理によって与えられる。

$d(p,q)={\sqrt {r^{2}+s^{2}-2rs\cos(\theta -\psi )}}.$

いつ $p$ そして $q$ 複素平面上の複素数として表現される場合、実数として表現される一次元点と同じ公式を使用できますが、ここでは絶対値記号は複素ノルムを示します。^[⁵^]

$d(p,q)=|pq|.$

高次元

{\displaystyle n} — 導出 $n$ ピタゴラスの定理を繰り返し適用したn次元ユークリッド距離の公式

3次元空間において、デカルト座標で与えられた点間の距離は

$d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.$

一般に、デカルト座標で与えられた点については $n$ 次元ユークリッド空間では、距離は^{[ 6 ]}

$d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.$

ユークリッド距離は、ユークリッドベクトル差のユークリッドノルムを用いてより簡潔に表現することもできます。^[⁷^]

$d(p,q)=\|pq\|.$

点以外のオブジェクト

点ではないオブジェクトのペアの場合、距離は、2つのオブジェクトから任意の2点間の最小距離として最も単純に定義できますが、ハウスドルフ距離など、点から集合へのより複雑な一般化も一般的に使用されています。^{[ 8 ]}さまざまな種類のオブジェクト間の距離を計算する式には、次のものがあります。

ユークリッド平面上の点から直線までの距離^{[ 9 ]}
3次元ユークリッド空間における点から平面までの距離^{[ 9 ]}
3次元ユークリッド空間における2本の線の間の距離^{[ 10 ]}

点から曲線までの距離は、その曲線に平行な曲線、つまりすべての点が与えられた曲線から同じ距離にある別の曲線を定義するために使用できます。 ^{[ 11 ]}

物件

ユークリッド距離は距離空間における距離の典型的な例であり、^{[ 12 ]}距離空間のすべての定義特性を満たします。^{[ 13 ]}

これは対称であり、すべての点について $p$ そして $q$ 、 $d(p,q)=d(q,p)$ つまり（一方通行の道路距離とは異なり）、2点間の距離は、どちらの点が始点でどちらが終点かによって決まりません。^{[ 13 ]}
これは正の値であり、異なる2点間の距離は正の数である一方、任意の点からその点までの距離はゼロであることを意味します。^{[ 13 ]}
これは三角形の不等式に従います。任意の3点に対して $p$ 、 $q$ 、そして $r$ 、 $\displaystyle d(p,q)+d(q,r)\geq d(p,r)}$ 直感的に、 $p$ に $r$ 経由 $q$ 直接移動よりも短くすることはできません $p$ に $r$ [ ¹³^]

もう一つの性質であるプトレマイオスの不等式は、4点間のユークリッド距離に関するものである。 $p$ 、 $q$ 、 $r$ 、そして $s$ と記載されている。

$d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).$

平面上の点については、これは、任意の四角形について、その四角形の対辺の積の合計が、その対角線の積以上の数になる、と言い換えることができます。ただし、プトレマイオスの不等式は、配置方法に関係なく、任意の次元のユークリッド空間の点に、より一般的に適用されます。^{[ 14 ]}ユークリッド空間ではない距離空間の点については、この不等式は成り立たない場合があります。ユークリッド距離幾何学は、プトレマイオスの不等式などのユークリッド距離の性質と、与えられた距離の集合がユークリッド空間の点から得られたものかどうかをテストする際のそれらの応用を研究します。^{[ 15 ]}

ベックマン・クォールズの定理によれば、単位距離を保存するユークリッド平面または高次元ユークリッド空間の変換は、すべての距離を保存する等長変換でなければならない。^{[ 16 ]}

二乗ユークリッド距離

円錐とは、平面上の原点からのユークリッド距離のグラフのことである。

放物面とは、原点からのユークリッド距離の二乗のグラフのことである。

多くのアプリケーション、特に距離を比較する場合、平方根は順序を変えないため、ユークリッド距離の計算で最後の平方根を省略する方が便利な場合があります（ $d_{1}^{2}>d_{2}^{2}$ かつその場合に限り $d_1>d_2$ ) この省略によって得られる値はユークリッド距離の二乗であり、二乗ユークリッド距離と呼ばれます。^{[ 17 ]}例えば、ユークリッド最小全域木は、距離の数値ではなく、距離間の順序のみを使用して決定できます。二乗距離を比較すると、同じ結果が得られますが、不要な平方根の計算を回避し、数値精度の問題を回避できます。^{[ 18 ]}方程式として、二乗距離は二乗の和として表すことができます。

$d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.$

距離比較への応用以外にも、二乗ユークリッド距離は統計学において中心的な重要性を持ち、観測値と推定値の間の二乗距離の平均を最小化することによって統計的推定値をデータに適合させる標準的な方法である最小二乗法^{[ 19 ]}や、確率分布を比較するための最も単純な形式のダイバージェンスとして使用されます^[²⁰^]。最小二乗法で行われるように、二乗距離同士を加算することは、(二乗されていない)距離に対するピタゴラス加算と呼ばれる演算に対応します^[²¹^]。クラスター分析では、二乗距離を使用して、より長い距離の効果を強めることができます^[¹⁷^]。

二乗ユークリッド距離は三角不等式を満たさないため、距離空間を形成しません。^{[ 22 ]}しかし、距離とは異なり、二乗ユークリッド距離は滑らかで厳密に凸関数です。距離は滑らかではなく（ほぼ等しい点のペア）、凸関数ですが厳密に凸ではありません。そのため、凸解析を使用できることから、最適化理論では二乗距離が好まれます。二乗は非負の値の単調関数であるため、二乗距離を最小化することはユークリッド距離を最小化することと同等であり、最適化問題はどちらの観点からも同等ですが、二乗距離を使用すると簡単に解くことができます。^[²³^]

有限集合内の点のペア間のすべての二乗距離の集合は、ユークリッド距離行列に格納することができ、この形式で距離幾何学で使用される。^{[ 24 ]}

一般化

数学のより高度な分野では、ユークリッド空間をベクトル空間として見た場合、その距離は、各ベクトルと原点との距離として定義されるユークリッドノルムと呼ばれるノルムに関連付けられます。他のノルムと比較したこのノルムの重要な性質の1つは、原点を中心とした空間の任意の回転の下で変化しないことです。^[²⁵^]ドヴォレツキーの定理により、すべての有限次元ノルム付きベクトル空間には $、$ ノルムが近似的にユークリッドとなる高次元部分空間が存在します。ユークリッドノルムはこの性質を持つ唯一のノルムです。^[²⁶^] $これは、 L2$ ノルムまたは $L2$ 距離として無限次元ベクトル空間に拡張できます。^[²⁷^] $ユークリッド$ 距離は、ユークリッド空間に位相空間の構造、すなわちユークリッド位相を与え、開球（与えられた点から与えられた距離よりも小さい点の部分集合）をその近傍とします。^[²⁸^]

実座標空間および関数空間におけるその他の一般的な距離：^{[ 29 ]}

チェビシェフ距離（ $L\infty距離）は$ 、各座標における距離の最大値として距離を測定する。
タクシー距離（ $L1$ 距離）、別名マンハッタン距離は、各座標における距離の合計として距離を測定する $。$
ミンコフスキー距離（ $Lp距離）は$ 、ユークリッド距離、タクシー距離、チェビシェフ距離を統一する一般化である。

3次元空間の曲面上の点については、ユークリッド距離は、曲面に属する最短曲線の長さである測地距離と区別する必要がある。特に、地球やその他の球面またはほぼ球面上の大円距離を測定するために使用されてきた距離には、球面上の2点間の経度と緯度から大円距離を与えるハバーサイン距離や、回転楕円体上の距離を表す「ヴィンセント距離」としても知られるヴィンセントの公式などがある。^{[ 30 ]}

歴史

ユークリッド距離は、ユークリッド空間における距離です。これらの概念はどちらも、古代ギリシャの数学者ユークリッドにちなんで名付けられており、彼の著書『原論』は何世紀にもわたって幾何学の標準的な教科書となりました。^{[ 31 ]}長さと距離の概念は文化を超えて広く存在し、紀元前4千年紀（ユークリッドよりはるか以前）のシュメールの現存する最古の「原文字」官僚文書にまで遡ることができ、 ^{[ 32 ]}速度や時間といった関連概念よりも早く子供に発達すると仮説が立てられています。^{[ 33 ]}しかし、2点から定義される数としての距離の概念は、実際にはユークリッドの『原論』には登場しません。代わりに、ユークリッドはこの概念を、線分の合同、線分の長さの比較、比例の概念を通して暗黙のうちに扱っています。^{[ 34 ]}

ピタゴラスの定理も古くから存在していますが、距離の測定において中心的な役割を果たすようになったのは、 1637年にルネ・デカルトがデカルト座標を発明した後です。距離の公式自体は、1731年にアレクシス・クレローによって初めて発表されました。^[³⁵^]この公式のため、ユークリッド距離はピタゴラス距離とも呼ばれます。^[³⁶^]地球表面上の長距離の正確な測定（ユークリッド距離ではない）は、古代から多くの文化で研究されてきましたが（測地学の歴史を参照）、数学的空間内の点間の距離を測定する唯一の方法がユークリッド距離ではないかもしれないという考えは、さらに後になって、19世紀の非ユークリッド幾何学の定式化とともに現れました。^[³⁷^] 3 次元を超える幾何学に対するユークリッドノルムとユークリッド距離の定義も、19 世紀にオーギュスタン＝ルイ・コーシーの研究で初めて登場した。^[³⁸^]

参考文献

1 2 3スミス、カール（2013）、『プレカリキュラス：グラフ作成と問題解決への関数的アプローチ』、ジョーンズ＆バートレット出版社、p. 8、ISBN 978-0-7637-5177-7
1 2 David Cohen (2004)、Precalculus: A 問題指向アプローチ(第 6版)、Cengage Learning、p. 2 698、ISBN 978-0-534-40212-9
↑ Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), College Trigonometry (6th ed.), Cengage Learning, p. 17, ISBN 978-1-111-80864-8
↑ Manglik, Rohit (2024)、「セクション 14.22: Math.hypot」、Java Script Notes for Professionals、EduGorilla、p. 144、ISBN 9789367840320
↑ Andreescu, Titu; Andrica, Dorin (2014), "3.1.1 2点間の距離", Complex Numbers from A to ... Z (第2版), Birkhäuser, pp. 57–58 , ISBN 978-0-8176-8415-0
↑タバック、ジョン（2014）、『幾何学：空間と形態の言語』、Facts on File 数学ライブラリ、Infobase Publishing、p. 150、ISBN 978-0-8160-6876-0
↑リベルティ＆ラヴァー (2017)、p. 105 .
↑ Ó Searcóid, Mícheál (2006), "2.7 集合から集合への距離", Metric Spaces , Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, pp. 29–30 , ISBN 978-1-84628-627-8
1 2 Ballantine, JP; Jerbert, AR (1952年4月)、「直線または平面から点までの距離」、授業ノート、American Mathematical Monthly、59 (4): 242–243、doi : 10.2307/2306514、JSTOR 2306514
↑ベル、ロバート JT ( 1914)、「49. 2 本の線間の最短距離」、三次元座標幾何学入門（第 2版）、マクミラン、 57–61頁
↑前川隆（1999年3月）「オフセット曲線とオフセット曲面の概要」、コンピュータ支援設計、31（3）：165–173、doi：10.1016/s0010-4485(99)00013-5
↑イワノフ、オレグ A. (2013)、『Easy as π?: An Introduction to Higher Mathematics』、Springer、p. 140、ISBN 978-1-4612-0553-1
1 2 3 4ストリチャーツ、ロバート S. (2000)、『分析の方法』、ジョーンズ＆バートレットラーニング、357 ページ、ISBN 978-0-7637-1497-0
↑ Adam, John A. (2017), "第2章光線の「物理学」入門" , Rays, Waves, and Scattering: Topics in Classical Mathematical Physics , Princeton Series in Applied Mathematics, Princeton University Press, pp. 26–27 , doi : 10.1515/9781400885404-004 , ISBN 978-1-4008-8540-4
↑ Liberti, Leo; Lavor, Carlile (2017), Euclidean Distance Geometry: An Introduction , Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology, Springer, p. xi, ISBN 978-3-319-60792-4
↑ Beckman, FS; Quarles, DA Jr. (1953)、「ユークリッド空間の等長変換について」、アメリカ数学会紀要、4 (5): 810–815、doi : 10.2307/2032415、JSTOR 2032415、MR 0058193
1 2 Spencer, Neil H. (2013), "5.4.5 二乗ユークリッド距離" , Essentials of Multivariate Data Analysis , CRC Press, p. 95, ISBN 978-1-4665-8479-2
↑ Yao, Andrew Chi Chih (1982)、「 $k$ 次元空間における最小全域木の構築と関連問題」、SIAM Journal on Computing、11 (4): 721–736、doi : 10.1137/0211059、MR 0677663
↑ Randolph, Karen A. ; Myers, Laura L. (2013), Basic Statistics in Multivariate Analysis , Pocket Guide to Social Work Research Methods, Oxford University Press, p. 116, ISBN 978-0-19-976404-4
↑ Csiszár, I. (1975), " $I-$ 発散幾何学による確率分布と最小化問題", Annals of Probability , 3 (1): 146–158 , doi : 10.1214/aop/1176996454 , JSTOR 2959270 , MR 0365798
↑ Moler, Cleve および Donald Morrison (1983)、「平方根をピタゴラスの和に置き換える」(PDF)、IBM Journal of Research and Development、27 (6): 577–581、CiteSeerX 10.1.1.90.5651、doi : 10.1147/rd.276.0577
↑ Mielke, Paul W.; Berry, Kenneth J. (2000), "大気科学におけるユークリッド距離に基づく順列法", Brown, Timothy J.; Mielke, Paul W. Jr. (編),大気科学における統計マイニングとデータ可視化, Springer, pp. 7–27 , doi : 10.1007/978-1-4757-6581-6_2 , ISBN 978-1-4419-4974-5
↑カプラン、ウィルフレッド (2011)、『Maxima and Minima with Applications: Practical Optimization and Duality』、Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization、第51巻、John Wiley & Sons、61ページ、ISBN 978-1-118-03104-9
↑ Alfakih, Abdo Y. (2018), Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory , Springer, p. 51, ISBN 978-3-319-97846-8
↑コペイキン、セルゲイ；エフロイムスキー、マイケル；カプラン、ジョージ（2011）『太陽系の相対論的天体力学』ジョン・ワイリー＆サンズ、106ページ、ISBN 978-3-527-63457-6
↑ Matoušek、Jiří (2002)、離散幾何学の講義、数学の大学院テキスト、Springer、p. 349、ISBN 978-0-387-95373-1
↑ Ciarlet, Philippe G. (2013), Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications , Society for Industrial and Applied Mathematics, p. 173, ISBN 978-1-61197-258-0
↑ Richmond、Tom (2020)、General Topology: An Introduction、De Gruyter、p. 32、ISBN 978-3-11-068657-9
↑ Klamroth, Kathrin (2002), "Section 1.1: Norms and Metrics", Single-Facility Location Problems with Barriers , Springer Series in Operations Research, Springer, pp. 4–6 , doi : 10.1007/0-387-22707-5_1 , ISBN 978-1-4419-3027-9
↑ Panigrahi, Narayan (2014), "12.2.4 ハバーサイン公式と 12.2.5 ヴィンセンティ公式", Computing in Geographic Information Systems , CRC Press, pp. 212–214 , ISBN 978-1-4822-2314-9
↑ Zhang, Jin (2007), Visualization for Information Retrieval , Springer, ISBN 978-3-540-75148-9
↑ Høyrup, Jens (2018)、「メソポタミアの数学」（PDF）、Jones, Alexander、Taub, Liba (編)、『ケンブリッジ科学史第1巻：古代科学』、ケンブリッジ大学出版局、58–72頁、 2021年5月17日にオリジナル（PDF）からアーカイブ、 2020年10月21日に取得
↑ Acredolo, Curt; Schmid, Jeannine (1981), "相対的な速度、距離、および運動時間の理解", Developmental Psychology , 17 (4): 490–493 , doi : 10.1037/0012-1649.17.4.490
↑ヘンダーソン、デイビッド W. (2002)、「ロビン・ハートショーン著『幾何学：ユークリッドとその先』の書評」、アメリカ数学会報、39 (4): 563–571、doi : 10.1090/S0273-0979-02-00949-7
↑マオール、エリ（2019）『ピタゴラスの定理：4000年の歴史』プリンストン大学出版局、 133～ 134ページ、ISBN 978-0-691-19688-6
↑ランキン、ウィリアム C.、マークリー、ロバート P.、エヴァンス、セルビー H. (1970 年 3 月)、「ピタゴラス距離と図式刺激の類似性判断」、Perception & Psychophysics、7 (2): 103–107、doi : 10.3758/bf03210143
↑ミルナー、ジョン（1982）「双曲幾何学：最初の150年」（PDF）、『アメリカ数学会紀要』、6（1）：9–24、doi：10.1090/S0273-0979-1982-14958-8、MR 0634431
↑ラトクリフ、ジョン・G. (2019)、『双曲多様体の基礎』、大学院数学テキスト、第149巻（第3版）、シュプリンガー、32ページ、ISBN 978-3-030-31597-9

[smith-1] 1 2 3スミス、カール（2013）、『プレカリキュラス：グラフ作成と問題解決への関数的アプローチ』、ジョーンズ＆バートレット出版社、p. 8、ISBN 978-0-7637-5177-7

[cohen-2] 1 2 David Cohen (2004)、Precalculus: A 問題指向アプローチ(第 6版)、Cengage Learning、p. 2 698、ISBN 978-0-534-40212-9

[3] Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), College Trigonometry (6th ed.), Cengage Learning, p. 17, ISBN 978-1-111-80864-8

[4] Manglik, Rohit (2024)、「セクション 14.22: Math.hypot」、Java Script Notes for Professionals、EduGorilla、p. 144、ISBN 9789367840320

[5] Andreescu, Titu; Andrica, Dorin (2014), "3.1.1 2点間の距離", Complex Numbers from A to ... Z (第2版), Birkhäuser, pp. 57–58 , ISBN 978-0-8176-8415-0

[6] タバック、ジョン（2014）、『幾何学：空間と形態の言語』、Facts on File 数学ライブラリ、Infobase Publishing、p. 150、ISBN 978-0-8160-6876-0

[FOOTNOTELibertiLavor2017[httpsbooksgooglecombooksidjOQ2DwAAQBAJpgPA105_105]-7] リベルティ＆ラヴァー (2017)、p. 105 .

[8] Ó Searcóid, Mícheál (2006), "2.7 集合から集合への距離", Metric Spaces , Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, pp. 29–30 , ISBN 978-1-84628-627-8

[baljer-9] 1 2 Ballantine, JP; Jerbert, AR (1952年4月)、「直線または平面から点までの距離」、授業ノート、American Mathematical Monthly、59 (4): 242–243、doi : 10.2307/2306514、JSTOR 2306514

[10] ベル、ロバート JT ( 1914)、「49. 2 本の線間の最短距離」、三次元座標幾何学入門（第 2版）、マクミラン、 57–61頁

[11] 前川隆（1999年3月）「オフセット曲線とオフセット曲面の概要」、コンピュータ支援設計、31（3）：165–173、doi：10.1016/s0010-4485(99)00013-5

[12] イワノフ、オレグ A. (2013)、『Easy as π?: An Introduction to Higher Mathematics』、Springer、p. 140、ISBN 978-1-4612-0553-1

[strichartz-13] 1 2 3 4ストリチャーツ、ロバート S. (2000)、『分析の方法』、ジョーンズ＆バートレットラーニング、357 ページ、ISBN 978-0-7637-1497-0

[14] Adam, John A. (2017), "第2章光線の「物理学」入門" , Rays, Waves, and Scattering: Topics in Classical Mathematical Physics , Princeton Series in Applied Mathematics, Princeton University Press, pp. 26–27 , doi : 10.1515/9781400885404-004 , ISBN 978-1-4008-8540-4

[15] Liberti, Leo; Lavor, Carlile (2017), Euclidean Distance Geometry: An Introduction , Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology, Springer, p. xi, ISBN 978-3-319-60792-4

[16] Beckman, FS; Quarles, DA Jr. (1953)、「ユークリッド空間の等長変換について」、アメリカ数学会紀要、4 (5): 810–815、doi : 10.2307/2032415、JSTOR 2032415、MR 0058193

[spencer-17] 1 2 Spencer, Neil H. (2013), "5.4.5 二乗ユークリッド距離" , Essentials of Multivariate Data Analysis , CRC Press, p. 95, ISBN 978-1-4665-8479-2

[18] Yao, Andrew Chi Chih (1982)、「 $k$ 次元空間における最小全域木の構築と関連問題」、SIAM Journal on Computing、11 (4): 721–736、doi : 10.1137/0211059、MR 0677663

[19] Randolph, Karen A. ; Myers, Laura L. (2013), Basic Statistics in Multivariate Analysis , Pocket Guide to Social Work Research Methods, Oxford University Press, p. 116, ISBN 978-0-19-976404-4

[20] Csiszár, I. (1975), " $I-$ 発散幾何学による確率分布と最小化問題", Annals of Probability , 3 (1): 146–158 , doi : 10.1214/aop/1176996454 , JSTOR 2959270 , MR 0365798

[21] Moler, Cleve および Donald Morrison (1983)、「平方根をピタゴラスの和に置き換える」(PDF)、IBM Journal of Research and Development、27 (6): 577–581、CiteSeerX 10.1.1.90.5651、doi : 10.1147/rd.276.0577

[22] Mielke, Paul W.; Berry, Kenneth J. (2000), "大気科学におけるユークリッド距離に基づく順列法", Brown, Timothy J.; Mielke, Paul W. Jr. (編),大気科学における統計マイニングとデータ可視化, Springer, pp. 7–27 , doi : 10.1007/978-1-4757-6581-6_2 , ISBN 978-1-4419-4974-5

[23] カプラン、ウィルフレッド (2011)、『Maxima and Minima with Applications: Practical Optimization and Duality』、Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization、第51巻、John Wiley & Sons、61ページ、ISBN 978-1-118-03104-9

[24] Alfakih, Abdo Y. (2018), Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory , Springer, p. 51, ISBN 978-3-319-97846-8

[25] コペイキン、セルゲイ；エフロイムスキー、マイケル；カプラン、ジョージ（2011）『太陽系の相対論的天体力学』ジョン・ワイリー＆サンズ、106ページ、ISBN 978-3-527-63457-6

[26] Matoušek、Jiří (2002)、離散幾何学の講義、数学の大学院テキスト、Springer、p. 349、ISBN 978-0-387-95373-1

[27] Ciarlet, Philippe G. (2013), Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications , Society for Industrial and Applied Mathematics, p. 173, ISBN 978-1-61197-258-0

[28] Richmond、Tom (2020)、General Topology: An Introduction、De Gruyter、p. 32、ISBN 978-3-11-068657-9

[29] Klamroth, Kathrin (2002), "Section 1.1: Norms and Metrics", Single-Facility Location Problems with Barriers , Springer Series in Operations Research, Springer, pp. 4–6 , doi : 10.1007/0-387-22707-5_1 , ISBN 978-1-4419-3027-9

[30] Panigrahi, Narayan (2014), "12.2.4 ハバーサイン公式と 12.2.5 ヴィンセンティ公式", Computing in Geographic Information Systems , CRC Press, pp. 212–214 , ISBN 978-1-4822-2314-9

[31] Zhang, Jin (2007), Visualization for Information Retrieval , Springer, ISBN 978-3-540-75148-9

[32] Høyrup, Jens (2018)、「メソポタミアの数学」（PDF）、Jones, Alexander、Taub, Liba (編)、『ケンブリッジ科学史第1巻：古代科学』、ケンブリッジ大学出版局、58–72頁、 2021年5月17日にオリジナル（PDF）からアーカイブ、 2020年10月21日に取得

[33] Acredolo, Curt; Schmid, Jeannine (1981), "相対的な速度、距離、および運動時間の理解", Developmental Psychology , 17 (4): 490–493 , doi : 10.1037/0012-1649.17.4.490

[34] ヘンダーソン、デイビッド W. (2002)、「ロビン・ハートショーン著『幾何学：ユークリッドとその先』の書評」、アメリカ数学会報、39 (4): 563–571、doi : 10.1090/S0273-0979-02-00949-7

[35] マオール、エリ（2019）『ピタゴラスの定理：4000年の歴史』プリンストン大学出版局、 133～ 134ページ、ISBN 978-0-691-19688-6

[36] ランキン、ウィリアム C.、マークリー、ロバート P.、エヴァンス、セルビー H. (1970 年 3 月)、「ピタゴラス距離と図式刺激の類似性判断」、Perception & Psychophysics、7 (2): 103–107、doi : 10.3758/bf03210143

[37] ミルナー、ジョン（1982）「双曲幾何学：最初の150年」（PDF）、『アメリカ数学会紀要』、6（1）：9–24、doi：10.1090/S0273-0979-1982-14958-8、MR 0634431

[38] ラトクリフ、ジョン・G. (2019)、『双曲多様体の基礎』、大学院数学テキスト、第149巻（第3版）、シュプリンガー、32ページ、ISBN 978-3-030-31597-9

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[

[ 6 ]

[

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[

[

[ 22 ]

[

[ 24 ]

[

[

[

[

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[

[

[

[

距離の公式

一次元

2次元

高次元

点以外のオブジェクト

物件

二乗ユークリッド距離

一般化

歴史

参考文献

関連するトピック

数学

ユークリッド空間

点間の

結ぶ線分