ユークリッド群

E( n )の自由度はn ( n +1)/2であり、 n =2の場合は3 、n =3の場合は6となる。これらのうち、nは利用可能な並進対称性に起因し、残りのn ( n -1)/2は回転対称性に起因する。

直接等長変換（すなわち、キラル部分集合の左右対称性を保持する等長変換）は、 E( n ) の部分群を構成し、特殊ユークリッド群と呼ばれ、通常は E ⁺ ( n ) または SE( n ) と表記されます。これには、平行移動と回転、およびそれらの組み合わせが含まれます。恒等変換も含まれますが、鏡映変換は含まれません。

左右反転する等長変換は、間接等長変換、または反対等長変換と呼ばれます。任意の固定された間接等長変換R （例えば、ある超平面に関する反射）に対して、他のすべての間接等長変換は、 Rと何らかの直接等長変換の合成によって得られます。したがって、間接等長変換はE ⁺ ( n ) の剰余類であり、E ⁻ ( n )と表記できます。このことから、部分群 E ⁺ ( n ) はE( n ) において指数2であることがわかります。

ユークリッド空間の自然なトポロジー$\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$これは、ユークリッド群 E( n )の位相を意味する。すなわち、等長変換の列f _iは、$\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$（${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$) は、 の任意の点pに対して、 が成り立つ場合に限り収束すると定義される。$\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$点列p _{i は}収束する。

この定義から、関数は${\displaystyle f:[0,1]\to E(n)}$は、任意の点pに対して、$\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$関数${\displaystyle f_{p}:[0,1]\to \mathbb {E} ^{n}}$f _p ( t ) = ( f ( t ))( p )で定義される関数は連続です。このような関数は E( n ) において「連続軌跡」と呼ばれます。

特殊ユークリッド群 SE( n ) = E ⁺ ( n ) はこの位相で連結であることが判明した。つまり、任意の2 つの直接等長変換AとBが与えられた場合、$\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$E ⁺ ( n ) には、f (0) = Aかつf (1) = Bとなるような連続軌道fが存在する。間接等長変換 E ⁻ ( n )についても同様である。一方、群 E( n ) 全体としては連結ではない。E ⁺ ( n ) から始まり E ⁻ ( n ) で終わるような連続軌道は存在しない。

E(3)における連続軌道は、古典力学において重要な役割を果たします。なぜなら、それらは3次元空間における剛体の時間経過に伴う物理的に可能な運動を記述するからです。f ( 0)を 恒等変換Iとします。 $\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$これは物体の初期位置を表します。それ以降の任意の時刻tにおける物体の位置と向きは、変換f (t) によって表されます。f ( 0) = Iは E ⁺ (3)に属するため、それ以降の任意の時刻におけるf ( t )についても同様です。そのため、直接的なユークリッド等長変換は「剛体運動」とも呼ばれます。

ユークリッド群は位相群であるだけでなく、リー群でもあるため、微積分学の概念をこの設定にすぐに適用することができる。

ユークリッド群 E( n ) は、 n次元のアフィン群の部分群です。どちらの群も、ユークリッド並進群と原点保存変換群の半直積として構造を持ち、この積構造はユークリッド群をアフィン群に含めることによって維持されます。したがって、要素を明示的な記法で記述する方法が 2 つあります。それは次のとおりです。

1. （A、b）のペアによって、Aはn × nの直交行列、bはサイズnの実数列ベクトルである。
2. アフィン群について説明したように、n + 1サイズの単一の正方行列によって表されます。

最初の表現の詳細については、次のセクションで説明します。

フェリックス・クラインのエアランゲン・プログラムの用語で言えば、ユークリッド幾何学、すなわちユークリッド対称群の幾何学は、アフィン幾何学の特殊化であると読み取れる。すべてのアフィン定理が適用される。ユークリッド幾何学の起源は距離の概念を定義することを可能にし、そこから角度を導き出すことができる。

ユークリッド群はアフィン変換群の部分群である。

E(n) は、並進群 T( n ) と直交群O( n ) を部分群として持ちます。E( n ) の任意の要素は、並進に続いて直交変換 (等長変換の線形部分) を行うという一意的な方法で表されます。$${\displaystyle x\mapsto A(x+b)}$$ここでAは直交行列である。

または、同じ直交変換の後に平行移動を行う。$${\displaystyle x\mapsto Ax+c,}$$c = Ab の場合

T( n ) はE( n )の正規部分群である。すなわち、任意の並進tと任意の等長変換uに対して、合成$${\displaystyle u^{-1}tu}$$これもまた翻訳です。

これらの事実を総合すると、E( n )はO( n )にT( n )を拡張した半直積であり、次のように表される。${\displaystyle {\text{E}}(n)={\text{T}}(n)\rtimes {\text{O}}(n)}$言い換えれば、O( n )は（自然な形で）E( n )をT( n )で割った商群でもある。$${\displaystyle {\text{O}}(n)\cong {\text{E}}(n)/{\text{T}}(n)}$$

さて、特殊直交群SO( n )は、指数2の O( n )の部分群です。したがって、E( n ) は、直接等長変換からなる指数 2 の部分群 E ⁺ ( n ) を持ちます。これらの場合、Aの行列式は 1 です。

これらは、何らかの反射を伴う平行移動ではなく、平行移動に続いて回転するものとして表現されます（2次元と3次元では、これらは原点を含むと考えられる鏡面または鏡線での馴染みのある反射、または3次元では回転反射です）。

この関係は一般的に次のように表記されます。$${\displaystyle {\text{SO}}(n)\cong {\text{E}}^{+}(n)/{\text{T}}(n)}$$ あるいは、同等に：$${\displaystyle {\text{E}}^{+}(n)={\text{SO}}(n)\ltimes {\text{T}}(n).}$$

E( n )の部分群の種類:

有限群。

それらは常に固定点を持つ。3Dでは、すべての点に対して、すべての向きに対して、有限群の中で（包含関係に関して）最大となる群が2つ存在する。それはO _hとI _hである。群I _hは、次のカテゴリを含む群の中でも最大である。

可算無限群であって、任意に小さな平行移動、回転、または組み合わせを持たないもの

すなわち、すべての点について、等長変換による像の集合は位相的に離散的である（例えば、1 ≤ m ≤ nの場合、 m 個の独立した方向への並進によって生成される群、場合によっては有限点群）。これには格子が含まれる。これらよりも一般的な例としては、離散空間群がある。

可算無限群で、並進、回転、または組み合わせが任意に小さいもの

この場合、等長変換による像の集合が閉じていない点が存在する。そのような群の例としては、1次元では1の平行移動と√2の平行移動によって生成される群、2次元では原点を中心とした1ラジアンの回転によって生成される群などが挙げられる。

非可算群とは、等長変換による像の集合が閉じていない点が存在する群のことである。

（例えば、2次元空間では、一方向へのすべての並進移動と、別の方向への有理距離によるすべての並進移動）。

非可算群。すべての点について、等長変換による像の集合が閉じている。

例えば：

• 原点を固定するすべての直接等長変換、またはより一般的には、ある点（3Dでは回転群と呼ばれる）を固定する変換。
• 原点を固定するすべての等長変換、またはより一般的には、ある点（直交群）
• すべての直接等長変換 E ⁺ ( n )
• ユークリッド群全体 E( n )
• m次元部分空間内のこれらのグループの 1 つと、直交 ( n − m ) 次元空間内の離散的な等長変換グループとの組み合わせ
• m次元部分空間内のこれらのグループのうちの 1 つと、直交する ( n − m ) 次元空間内の別のグループとの組み合わせ

組み合わせの3D例：

• すべての回転は1つの固定軸を中心に行われる
• 軸を通る平面および／または軸に垂直な平面での反射と組み合わせた同上
• 軸に沿った離散的な並進、または軸に沿ったすべての等長変換と組み合わせた同上
• 平面上の離散点群、フリーズ群、または壁紙群と、それに垂直な方向の任意の対称群との組み合わせ。
• 等長変換とは、ある軸を中心とした回転と、その軸に沿った比例的な平行移動の組み合わせであるすべての等長変換を指します。一般に、これは同じ軸を中心としたk回の回転等長変換 ( k ≥ 1 ) と組み合わされます。等長変換による点の像の集合はk回らせんです。さらに、垂直に交差する軸を中心とした 2 回の回転も存在し、そのような軸のk回らせんも存在します。
• 任意の点群の場合：点群内の等長変換と平行移動の組み合わせであるすべての等長変換の群。たとえば、原点での反転によって生成される群の場合：すべての点におけるすべての平行移動と反転の群。これはR ^{3の一般化}二面体群Dih(R ³ ) です。

E(1)、E(2)、E(3)は、自由度に応じて以下のように分類できます。

シャールの定理は、E ⁺ (3)の任意の要素がねじ変位であることを主張している。

原点を固定したままの 3D 等長変換、空間群、対合も参照してください。

一部の等長変換ペアでは、構成は順序に依存しません。

• 2つの翻訳
• 同じ軸を中心とした2回の回転またはねじり
• 平面に関する鏡映、その平面内での平行移動、平面に垂直な軸を中心とした回転、または垂直な平面に関する鏡映
• 平面に関するすべり反射と、その平面内での平行移動
• 点における反転と、点を固定したままの等長変換
• 軸を中心とした180°の回転と、その軸を通る平面内での鏡映
• ある軸を中心とした180°回転と、それに垂直な軸を中心とした180°回転（結果として、両方の軸に垂直な軸を中心とした180°回転となる）
• 同一平面上における、同一軸を中心とした2つの回転反射
• 同一平面に関する2つのすべり反射

任意の方向における特定の距離による平行移動は共役類を形成し、平行移動群はすべての距離におけるそれらの和集合である。

1次元空間では、すべての反射は同じクラスに属する。

2次元空間では、同じ角度でどちらの方向にも回転する場合、それらは同じクラスに分類されます。同じ距離だけ平行移動を伴うすべり鏡映も、同じクラスに分類されます。

3Dで：

• すべての点に関する反転はすべて同じクラスに属する。
• 同じ角度での回転は、同じ種類に分類される。
• 軸を中心とした回転と、その軸に沿った並進移動を組み合わせたものは、角度と並進距離が同じであれば、同じ種類の運動とみなされます。
• 平面反射は同じクラスに属する
• 平面内での鏡映と、その平面内での同じ距離だけ平行移動を組み合わせたものは、同じ種類の操作である。
• 180°に等しくない同じ角度で軸を中心に回転することと、その軸に垂直な平面内で鏡映することを組み合わせたものは、同じ種類の回転である。