ブルメスターの理論

ブルメスター理論は、運動する物体において、軌跡が円周上に位置する点、すなわち周回点を求める理論である。設計者は、有限個のタスク位置を用いて望ましい動きを近似する。ブルメスターは、最大で5つのタスク位置に対して周回点が存在することを示した。これらの周回点を見つけるには、5つの未知数を含む5つの二次方程式を解く必要があり、彼は記述幾何学の手法を用いてこれを解いた。ブルメスターの図解は、今日でも機械理論の教科書に掲載されている。

2 つの位置:例として、図に示すように、連結リンクの 2 つの位置によって定義されるタスクを考えます。本体内の 2 つの点 A と B を選択すると、その 2 つの位置によってセグメント A ¹ B ¹と A ² B ^{2が定義されます。A はセグメント A 1} A ²の垂直二等分線上にある中心を持つ円周点であることが容易にわかります。同様に、B は B ¹ B ²の垂直二等分線上の任意の点を中心とする円周点です。2 つの垂直二等分線上の任意の点を固定ピボット、A と B を可動ピボットとして、4 節リンク機構を構築できます。点 P は、A ¹ B ¹から A ² B ²への純粋な回転運動を可能にするヒンジであるため、明らかに特別です。これは相対変位極または瞬間回転中心と呼ばれます。

3つの位置：設計者が3つの作業位置を指定する場合、可動体の点Aと点Bはそれぞれ固有の中心点を持つ円周点となります。Aの中心点は、3つの位置においてA1、A2、A3を通る円の中心です^。同様^に、^{Bの中心点は、 B1}、B2 ^、 B3^を通る円の中心です。このように、3つの作業位置に対して、可動支点として選択された点Aと点Bのペアごとに4節リンク機構が得られます。

4つの位置： 4つのタスク位置の場合、合成問題の図解解はより興味深いものになります。なぜなら、身体のすべての点が円周点ではないからです。4つのタスク位置から6つの相対変位極が得られ、ブルメスターは4つを選択して反対側の極四角形を形成し、それを用いて円周点曲線（Kreispunktcurven）を図式的に生成しました。ブルメスターはまた、円周点曲線が移動する身体における円形の3次曲線であることを示しました。

5 つの位置: 5 つのタスク ポジションに到達するために、ブルメスターは、5 つのタスク ポジションのうち 4 つのセットに対して反対極四辺形によって生成される円周点曲線と、別の 4 つのタスク ポジションのセットに対して反対極四辺形によって生成される円周点曲線を交差させます。5 つの姿勢は 10 個の相対変位極を意味し、それぞれ独自の円周点曲線を持つ 4 つの異なる反対極四辺形が得られます。ブルメスターは、これらの曲線が最大 4 つの点で交差することを示し、これらの点はブルメスター点と呼ばれ、それぞれが中心点の周りの円上に 5 つの点を描きます。2 つの円周点が 4 節リンク機構を定義するため、これらの 4 つの点から、指定された 5 つのタスク ポジションを通してカプラ リンクを案内する最大 6 つの 4 節リンク機構が得られます。

ブルメスターの4節リンク機構の合成手法は、座標変換 [ T _i ]  =  [ A _i , d _i ] ( i = 1, ..., 5) を導入することで数学的に定式化できる。ここで、[ A ] は 2×2回転行列、dは 2×1 並進ベクトルであり、設計者によって指定された移動フレームMのタスク位置を定義する。^{[ 6 ]}     

合成手順の目標は、移動フレームMに取り付けられた移動ピボットの座標w  =  ( w _x , w _y ) と、固定フレームF内の固定ピボットG = ( u , v )の座標を計算することです。これらの座標は、 w がGを中心とする半径Rの円上を移動するという性質を持ちます。w の軌跡は、5 つのタスク位置によって定義されます。    

${\displaystyle \mathbf {W} ^{i}=[T_{i}]\mathbf {w} =[A_{i}]\mathbf {w} +\mathbf {d} _{i},\quad i=1,\ldots ,5.}$

したがって、座標wとG は次の 5 つの方程式を満たさなければならない。

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )\cdot (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )=R^{2},\quad i=1,\ldots ,5.}$

最初の式を残りの式から引いて未知の半径Rを消去し、4 つの未知数を含む 4 つの二次方程式を得る。

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )\cdot (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )-(\mathbf {W} ^{1}-\mathbf {G} )\cdot (\mathbf {W} ^{1}-\mathbf {G} )=0,\quad i=2,\ldots ,5.}$

これらの合成方程式を数値的に解くことで、4節リンク機構の一部として使用できるクランクの固定支点と可動支点の位置を示す座標w  =  ( w _x , w _y ) とG = ( u , v ) を得ることができます。ブルメスターは、このようなクランクは最大で 4 つしか存在せず、それらを組み合わせることで、指定された 5 つの作業位置を通して連結器を案内する 4節リンク機構を最大 6 つ作ることができることを証明しました。    

合成方程式は、次の形式に操作できることに注目すると便利です。

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {W} ^{1})\cdot \left({\frac {\mathbf {W} ^{i}+\mathbf {W} ^{1}}{2}}-\mathbf {G} \right)=0,\quad i=2,\ldots ,5,}$

これは、固定ピボットGが 4 つのセグメントW ⁱ  − W ¹、i = 2、...、5のそれぞれの垂直二等分線上にあるという条件の代数的等価物です。