ホッジ構造

数学において、ホッジ構造（ホッジせつぞく、英: Hodge structure）は、 WVD Hodgeにちなんで名付けられ、線型代数のレベルでの代数構造であり、ホッジ理論が滑らかでコンパクトなケーラー多様体のコホモロジー群に与える構造に類似している。ホッジ構造は、ピエール・ドリーニュ(1970)によって定義された混合ホッジ構造の形で、すべての複素多様体 (特異で非完全であっても)に対して一般化されている。ホッジ構造のバリエーションは、多様体によってパラメータ化されたホッジ構造の族であり、フィリップ・グリフィス(1968) によって初めて研究された。これらすべての概念は、斎藤守彦 (1989) によって複素多様体上の混合ホッジ加群にさらに一般化された。

整数重みn の純粋なホッジ構造は、アーベル群とその複素化の 複素部分空間の直和への分解で構成されます。ここで、 の複素共役は次のようになります。 ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H^{p,q}}$${\displaystyle p+q=n}$${\displaystyle H^{p,q}}$${\displaystyle H^{q,p}}$

${\displaystyle H:=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =\bigoplus \nolimits _{p+q=n}H^{p,q},}$

${\displaystyle {\overline {H^{p,q}}}=H^{q,p}.}$

同等の定義は、 の直和分解をホッジ濾過、つまり条件を満たす 複素部分空間によるの有限減少濾過に置き換えることによって得られる。${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle F^{p}H(p\in \mathbb {Z} ),}$

${\displaystyle \forall p,q\ :\ p+q=n+1,\qquad F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}}=0\quad {\text{and}}\quad F^{p}H\oplus {\overline {F^{q}H}}=H.}$

これら 2 つの説明の関係は次のとおりです。

${\displaystyle H^{p,q}=F^{p}H\cup {\overline {F^{q}H}},}$

${\displaystyle F^{p}H=\bigoplus \nolimits _{i\geq p}H^{i,ni}.}$

例えば、がコンパクトなケーラー多様体 で、が整数係数を持つXの- 番目のコホモロジー群である場合、 はその- 番目の複素係数を持つコホモロジー群であり、ホッジ理論は上記のように を直和に分解するため、これらのデータは重み の純粋なホッジ構造を定義します。一方、ホッジ・ド・ラームのスペクトル列は、 2 番目の定義のようにによる減少フィルタリングを伴います。 ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }=H^{n}(X,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H=H^{n}(X,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H^{n}}$${\displaystyle F^{p}H}$

代数幾何学への応用、すなわち複素射影多様体の周期による分類では、上の重みのすべてのホッジ構造の集合は大きすぎる。リーマン双線型関係（この場合はホッジ・リーマン双線型関係と呼ばれる）を使用すると、大幅に簡略化できる。重みnの偏極ホッジ構造は、ホッジ構造と上の非退化整数双線型形式（偏極）で構成され、これは線型性によって に拡張され、次の条件を満たす。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },H^{p,q})}$ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(\varphi ,\psi )&=(-1)^{n}Q(\psi ,\varphi )&&{\text{ }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'} の場合;\\Q(\varphi ,\psi )&=0&&{\text{ }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'},p\neq q' の場合;\\i^{pq}Q\left(\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ }}\varphi \in H^{p,q},\ \varphi \neq 0 の場合.\end{aligned}}}$

ホッジ濾過の観点から見ると、これらの条件は次のことを意味する。

${\displaystyle {\begin{aligned}Q\left(F^{p},F^{n-p+1}\right)&=0,\\Q\left(C\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ }}\varphi \neq 0,\end{aligned}}}$

ここで、 は上のWeil 演算子であり、上で によって与えられます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle H}$${\displaystyle C=i^{pq}}$${\displaystyle H^{p,q}}$

ホッジ構造のもう一つの定義は、複素ベクトル空間上の - 次数と円群U(1)の作用の同値性に基づいています。この定義では、 2次元の実代数トーラスとして見た複素数の乗法群の作用がに与えられます。^[2]この作用は、実数a がⁿによって作用するという性質を持たなければなりません。部分空間は、乗法として作用する部分空間です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H^{p,q}}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle z^{\,p}{\bar {z}}^{\,q}.}$

動機理論では、コホモロジーのより一般的な係数を許容することが重要になります。ホッジ構造の定義は、実数体のネーター部分環Aを固定することによって変更されます。このネーター部分環は体です。次に、重みnの純粋なホッジA構造が、前と同じように定義され、 が置き換えられます。Bの部分環であるAに対して、ホッジA構造とB構造を関連付ける基底変更と制限の自然な関数があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {A} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

1960年代にジャン＝ピエール・セールはヴェイユ予想に基づいて、特異（おそらくは可約）で非完全な代数多様体でさえも「仮想ベッティ数」を持つはずだと指摘した。より正確には、任意の代数多様体Xに、その仮想ポアンカレ多項式と呼ばれる多項式P _X ( t )を割り当てることができ、次の性質を持つ はずである。

• Xが非特異かつ射影的（または完全）である場合$${\displaystyle P_{X}(t)=\sum \operatorname {rank} (H^{n}(X))t^{n}}$$
• YがXの閉じた代数的部分集合であり、U = X  \  Yである場合 $${\displaystyle P_{X}(t)=P_{Y}(t)+P_{U}(t)}$$

このような多項式の存在は、一般（特異かつ非完全な）代数多様体のコホモロジーにおけるホッジ構造の類似物の存在から導かれる。新しい特徴は、一般多様体のn番目のコホモロジーが、あたかも異なる重みの部分を含んでいるように見えることである。これはアレクサンダー・グロタンディークをモチーフの予想理論に導き、ホッジ理論の拡張の探求を動機づけ、ピエール・ドリーニュの研究で最高潮に達した。彼は混合ホッジ構造の概念を導入し、それを扱うための技術を開発し、その構成法（広中平祐の特異点の解決に基づく）を与え、それらをl 進コホモロジーの重みと関連付けて、ヴェイユ予想の最後の部分を証明した。

定義の根拠として、2 つの非特異成分 および から成り 、点およびで交差する簡約可能な複素代数曲線 Xの場合を考えてみましょう。さらに、成分はコンパクトではないが、点 を追加することでコンパクト化できるものとします。曲線X (コンパクトなサポートを持つ) の最初のコホモロジー群は、最初のホモロジー群と双対であり、視覚化が容易です。この群には 3 種類の 1 サイクルがあります。まず、穴 の周りの小さなループを表す要素があります。次に、各成分のコンパクト化の最初のホモロジーから来る要素があります。この成分のコンパクト化のサイクルに対応する( )の 1 サイクルは標準的ではありません。これらの要素は のスパンを法として決定されます。最後に、最初の 2 つのタイプを法として、群は、1 つの成分のパスに沿ってからに行き、他の成分 のパスに沿って戻ってくる組み合わせサイクルによって生成されます。これは、が増加するフィルタリングを許容する ことを示唆しています。${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle \beta _{j}}$${\displaystyle X_{k}\subset X}$${\displaystyle k=1,2}$${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle H_{1}(X)}$

${\displaystyle 0\subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}=H^{1}(X),}$

連続する商W _n / W _{n −1}は滑らかな完備多様体のコホモロジーから生じるため、重みは異なるものの（純粋な）ホッジ構造を許容する。さらなる例は「混合ホッジ理論への素朴なガイド」に記載されている。^[3]

アーベル群上の混合ホッジ構造は、複素ベクトル空間H ( の複素化)上の有限減少フィルタF ^p (ホッジフィルタと呼ばれる) と、有理ベクトル空間(スカラーを有理数に拡張することによって得られる)上の有限増加フィルタW _i (重みフィルタと呼ばれる) から構成されます。ただし、重みフィルタに関する のn番目の関連する次数付き商は、 Fの複素化で誘導されるフィルタとともに、すべての整数nに対して、重みnの純粋なホッジ構造である必要があります。ここで、 上の誘導されるフィルタは ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle \operatorname {gr} _{n}^{W}H=W_{n}\otimes \mathbb {C} /W_{n-1}\otimes \mathbb {C} }$

定義される

${\displaystyle F^{p}\operatorname {gr} _{n}^{W}H=\left(F^{p}\cap W_{n}\otimes \mathbb {C} +W_{n-1}\otimes \mathbb {C} \right)/W_{n-1}\otimes \mathbb {C} .}$

混合ホッジ構造の射の概念を定義することができます。これはフィルターFとWと互換性があり、次のことを証明する必要があります。

定理。 混合ホッジ構造はアーベル圏を形成します。この圏の核と余核は、誘導フィルタリングを伴うベクトル空間の圏の通常の核と余核と一致します。

コンパクトなケーラー多様体の全コホモロジーは混合ホッジ構造を持ち、ここで重み濾過W _nのn番目の空間は、次数がn以下のコホモロジー群 (有理係数を持つ) の直和である。したがって、コンパクトで複素数の場合の古典的ホッジ理論は、複素コホモロジー群に二重の次数付けを提供するものと考えることができる。これは、ある方法で両立する増加濾過F ^pと減少濾過W _{n を}定義する。一般に、全コホモロジー空間には依然としてこれら 2 つの濾過が存在するが、これらは直和分解からはもはや生じない。純粋ホッジ構造の 3 番目の定義との関係で、混合ホッジ構造は群の作用を使用して記述することはできないと言うことができる。ドリーニュの重要な洞察は、混合ケースには、タンナキアン形式を使用して同じ効果に使用できる、より複雑な非可換な前代数群が存在するということである。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}.}$

さらに、（混合）ホッジ構造のカテゴリーは、多様体の積に対応するテンソル積の優れた概念、および内部ホムと双対オブジェクトという関連する概念を許容し、 Tannakianカテゴリーになります。Tannaka -Krein哲学によれば、このカテゴリーは、Deligne、Milneらが明示的に記述した特定のグループの有限次元表現のカテゴリーに相当します。Deligne & Milne（1982）^[4]およびDeligne（1994）を参照してください。このグループの記述は、Kapranov（2012）によってより幾何学的な用語で書き直されました。有理純粋分極可能ホッジ構造に対する対応する（はるかに複雑な）分析は、Patrikis（2016）によって行われました。

ドリーニュは、任意の代数多様体のn番目のコホモロジー群が標準混合ホッジ構造を持つことを証明しました。この構造は関数的であり、多様体の積 (キュネス同型) およびコホモロジーの積と互換性があります。完全な非特異多様体X の場合、この構造は重みnの純粋であり、ホッジ濾過は切断されたド・ラーム複体のハイパーコホモロジーを通じて定義できます。

証明は、非コンパクト性と特異点を扱う 2 つの部分から成ります。どちらの部分も、本質的には (広中による) 特異点の解決を使用しています。特異点の場合、多様体は単体スキームに置き換えられ、より複雑なホモロジー代数につながり、複体上のホッジ構造 (コホモロジーとは対照的) という技術的な概念が使用されます。

動機理論を用いると、有理係数を持つコホモロジー上の重みフィルタリングを整数係数を持つコホモロジーに改良することが可能である。^[5]

• テイト・ホッジ構造は 、基礎となる加群が( のサブグループ)で与えられるホッジ構造です。したがって、定義により重みが −2 の純粋であり、同型を除いて重みが −2 の唯一の 1 次元純粋ホッジ構造です。より一般的には、そのn番目のテンソル冪は で表され、1 次元で重みが −2 nの純粋です。${\displaystyle \mathbb {Z} (1)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Z} (1)\otimes \mathbb {C} =H^{-1,-1}.}$${\displaystyle \mathbb {Z} (n);}$
• コンパクト ケーラー多様体のコホモロジーはホッジ構造を持ち、n番目のコホモロジー群は重みnの純粋群です。
• 複素多様体（特異または非固有）のコホモロジーは混合ホッジ構造を持ちます。これは、滑らかな多様体については Deligne (1971)、Deligne (1971a) によって示され、一般には Deligne (1974) によって示されました。
• 正規交差特異点を持つ射影多様体に対しては、その混合ホッジ構造のすべてを計算する退化したE ₂ページを持つスペクトル列が存在する。E ₁ページには、単体集合から派生した微分を持つ明示的な項がある。^[6]${\displaystyle X}$
• 任意の滑らかな多様体Xは、正規交差因子を補集合とする滑らかなコンパクト化を許容する。対応する対数形式は、Xのコホモロジー上の混合ホッジ構造を明示的に記述するために使用できる。^[7]
• 次数の滑らかな射影超曲面のホッジ構造は、グリフィスが「代数多様体の周期積分」という論文で明示的に解明しました。 が超曲面を定義する多項式である場合、次数付きヤコビ商環には の中間コホモロジーの情報がすべて含まれます。グリフィスは、次数付きヤコビ環は次の式であることを示しています。たとえば、で与えられるK3 曲面を考えます。したがって、となります。すると、次数付きヤコビ環は次の式になります。 原始コホモロジー群の同型は、したがって と読みます。はが張るベクトル空間であり、 19 次元であることに注意してください。 には、レフシェッツ類によって与えられる余分なベクトルがあります。 レフシェッツ超平面定理とホッジ双対性から、コホモロジーの残りの部分は であり、 は-次元です。したがって、ホッジダイヤモンドは次の式になります。${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n+1}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}$${\displaystyle X}$ $${\displaystyle R(f)={\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{0}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n+1}}}\right)}}}$$${\displaystyle X}$$${\displaystyle H^{p,n-p}(X)_{\text{prim}}\cong R(f)_{(n+1-p)d-n-2}}$$${\displaystyle g=x_{0}^{4}+\cdots +x_{3}^{4}}$${\displaystyle d=4}$${\displaystyle n=2}$$${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{3},x_{1}^{3},x_{2}^{3},x_{3}^{3})}}}$$$${\displaystyle H^{p,n-p}(X)_{prim}\cong R(g)_{(2+1-p)4-2-2}=R(g)_{4(3-p)-4}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0,2}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{8}=\mathbb {C} \cdot x_{0}^{2}x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}\\H^{1,1}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{4}\\H^{2,0}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{0}=\mathbb {C} \cdot 1\end{aligned}}}$$${\displaystyle R(g)_{4}}$$${\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrr}x_{0}^{2}x_{1}^{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{3},&x_{0}^{2}x_{2}^{2},&x_{0}^{2}x_{2}x_{3},&x_{0}^{2}x_{3}^{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{3},\\x_{0}x_{1}x_{2}^{2},&x_{0}x_{1}x_{2}x_{3},&x_{0}x_{1}x_{3}^{2},&x_{0}x_{2}^{2}x_{3},&x_{0}x_{2}x_{3}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}x_{3},&x_{1}^{2}x_{3}^{2},\\x_{1}x_{2}^{2}x_{3},&x_{1}x_{2}x_{3}^{2},&x_{2}^{2}x_{3}^{2}\end{array}}}$$${\displaystyle H^{1,1}(X)}$ ${\displaystyle [L]}$${\displaystyle H^{k,k}(X)}$${\displaystyle 1}$
• 前の同型性を使用して、次数平面曲線の種数を検証することもできます。は滑らかな曲線であり、エーレスマンのファイバ化定理により、種数 の他のすべての滑らかな曲線は微分同相であることが保証されるため、種数も同じであることがわかります。したがって、原始コホモロジーとヤコビアン環の次数付き部分の同型性を使用すると、次のことがわかります。これは、次元が目的どおりであることを意味します。${\displaystyle d}$${\displaystyle x^{d}+y^{d}+z^{d}}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle H^{1,0}\cong R(f)_{d-3}\cong \mathbb {C} [x,y,z]_{d-3}}$$$${\displaystyle {2+d-3 \choose 2}={d-1 \choose 2}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}}$$
• 完全交差のホッジ数も簡単に計算可能であり、フリードリヒ・ヒルツェブルッフによって発見された組み合わせ式がある。^[8]

ホッジ構造と混合ホッジ構造の概念に基づく仕組みは、アレクサンダー・グロタンディークによって構想された、まだ大部分が推測の域を出ないモチーフ理論の一部を形成している。特異でない代数多様体Xの算術情報は、そのl 進コホモロジーに作用するフロベニウス元の固有値によって符号化され、複素代数多様体として考えられるXから生じるホッジ構造と共通するところがある。セルゲイ・ゲルファンドとユーリ・マニンは1988 年頃、著書『ホモロジー代数の方法』の中で、他のコホモロジー群に作用するガロア対称性とは異なり、「ホッジ対称性」の起源は非常に謎に包まれているが、形式的には、かなり単純な群がド・ラーム・コホモロジーに作用することで表現されると述べている。それ以来、ミラー対称性の発見と数学的定式化により、謎は深まった。${\displaystyle R_{\mathbf {C/R} }{\mathbf {C} }^{*}}$

ホッジ構造のバリエーション( Griffiths (1968)、Griffiths (1968a)、Griffiths (1970)) は、複素多様体Xによってパラメータ化されたホッジ構造の族です。より正確には、複素多様体X上の重みnのホッジ構造のバリエーションは、 X上の有限生成アーベル群の局所定数層Sと、 S ⊗ O _X上の減少するホッジ濾過Fで構成され、次の 2 つの条件に従います。

• 濾過により、束Sの各茎に重みnのホッジ構造が生じる。
• （グリフィスの横断性） S ⊗ O _X上の自然な接続は、${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle F^{n-1}\otimes \Omega _{X}^{1}.}$

ここで、 S ⊗ O _X上の自然な（平坦な）接続は、 S上の平坦な接続とO _X上の平坦な接続dによって誘導され、 O _{X は}X上の正則関数の層であり、はX上の1-形式の層です。この自然な平坦な接続はガウス・マナン接続∇ であり、ピカール・フックス方程式で記述できます。 ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$

混合ホッジ構造のバリエーションも同様の方法で定義でき、 SにグレーディングまたはフィルタリングWを加えることで定義できます。典型的な例は代数的射から見つけることができます。たとえば、 ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=y^{6}-x^{6}\end{cases}}}$

繊維がある

${\displaystyle X_{t}=f^{-1}(\{t\})=\left\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{6}-x^{6}=t\right\}}$

これらは種数10の滑らかな平面曲線であり、で特異曲線に退化する。すると、コホモロジー層は ${\displaystyle t\neq 0}$${\displaystyle t=0.}$

${\displaystyle \mathbb {R} f_{*}^{i}\left({\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {C} ^{2}}\right)}$

混合ホッジ構造のバリエーションを示します。

ホッジ加群は、複素多様体上のホッジ構造の変分を一般化したものです。非公式には、多様体上のホッジ構造の層のようなものと考えることができます。Saito (1989) の正確な定義は、かなり技術的で複雑です。混合ホッジ加群や特異点を持つ多様体への一般化があります。

それぞれの滑らかな複素多様体には、それに関連付けられた混合ホッジ加群のアーベル圏が存在します。これらは形式的には多様体上の層の圏のように動作します。たとえば、多様体間の射fは、層の射に似た混合ホッジ加群(の導来圏) 間の関手f _∗、f*、f _!、f ^!を誘導します。

• 混合ホッジ構造
• ホッジ予想
• ヤコビアン理想
• ホッジ・テイト構造、ホッジ構造のp進類似体。

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